Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực Của Đoạn Thẳng

1. Mặt phẳng trung trực là gì?

1.1. Định nghĩa

Trong không gian cho điểm I và đoạn thẳng AB nhận I là trung điểm. Mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng AB thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 

1.2. Tính chất:     

Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực luôn cách đều hai đầu đoạn thẳng.

Như vậy, các em có thể thấy khái niệm mặt phẳng trung trực cũng tương tự như khái niệm về đường trung trực của đoạn thẳng trong mặt phẳng.

2. Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Bên trên, chúng ta đã hiểu thế nào là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng rồi, và từ đó để viết phương trình mặt phẳng trung trực trong không gian thì chúng ta sẽ dựa vào chính khái niệm này.

Từ định nghĩa nêu trên có thể thấy rằng nếu (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB thì véc-tơ AB chính là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) còn trung điểm I của đoạn AB là điểm thuộc mặt phẳng (P).

Khi đó, phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB được viết theo 3 bước sau:

- Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB (cách tìm tọa độ trung điểm là lấy trung bình cộng tọa độ điểm A và điểm B tương ứng).

- Bước 2: Tìm véc-tơ AB (cách tính véc-tơ AB là lấy tọa độ điểm cuối B trừ đi tọa độ điểm đầu A tương ứng). Ta sẽ có véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

- Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I nhận véc-tơ AB là véc-tơ pháp tuyến.

Ví dụ 1: Cho điểm A (2;1;1) và B (2;-1;-1) trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB.

Giải

Gọi I (x,y,z) là trung điểm của AB, khi đó:

• x =$\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$ => x = 2

• y =$\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$ => y = 0

• z =$\frac{z_{A}+z_{B}}{2}$ => z = 0

Ta có : 

$\overrightarrow{AB}=(0;-2;-2)$ 

Vậy mặt phẳng này trung trực (P) đi qua điểm I (2;0;0) có véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}= \overrightarrow{AB} = (0;-2;-2)$

Nên (P) có phương trình là:

$0(x-2) - 2(y-0)-2(z-0) = 0 $

$\Leftrightarrow y+z = 0$

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (0;2;-5) và B (2;-4;7). Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình:

A. $2x -6y + 12z - 10 = 0$

B. $-2x + 6y -12z +10 = 0$

C. $x - 3y +6z -10 = 0$

D. $-x + 3y - 6z +10 = 0$

Giải 

Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là (1;-1;1)

Véc-tơ AB có tọa độ là (2;-6;12) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Mặt phẳng có phương trình dưới đây:

     $2(x-1) - 6(y+1) +12(z-1) = 0$

     $\Leftrightarrow 2x - 6y + 12z -20 = 0$

     $\Leftrightarrow x - 3y + 6z -10 =0$

Chọn đáp án C

* Cách nhẩm nhanh phương trình mặt phẳng trung trực

Khi làm các bài toán trắc nghiệm về viết phương trình mặt phẳng trung trực ta có thể giản lược các bước nêu trên để cho ra kết quả ngay. Ta xét lại ví dụ sau:

“Viết phương trình tổng quát (P) biết trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và điểm B(3;6;1). Biết rằng đoạn thẳng AB nhận mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực.”

- Đầu tiên ta sẽ nhẩm ra véc-tơ AB (2;4;-2). Khi đó ta sẽ viết được một phần của phương trình là:

        2x + 4y - 2z + … = 0

- Sau đó ta sẽ nhẩm tọa độ trung điểm AB là I(2;4;2) ta thay luôn vào phần phương trình vừa tìm được ở bên trên. Ta được: 2.2 + 4.4 - 2.2 = 16. Lấy phần phương trình trên trừ đi kết quả vừa tìm được:

          $2x+4y-2z-16=0$

Dưới đây đây là cách nhẩm nhanh của phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. Các em học sinh hãy luyện tập để có thể làm bài một cách nhanh chóng và thành thạo hơn nhé.

Đăng ký ngay để được thầy cô tóm tắt kiến thức hình học không gian và xây dựng lộ trình học phù hợp nhất phục vụ quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

3. Một số bài tập viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Bài 1: Cho điểm A(1;2;3) và điểm B(3;6;1) trong không gian Oxyz, ta biết mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Viết phương trình tổng quát (P). 

Giải:

Đoạn thẳng AB có tọa độ (2;4;2) có trung điểm I.

Vecto AB có tọa độ (2;4;−2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

phương trình mặt phẳng (P) là:

     $2(x−2)+4(y−4)−2(z−2)=0$

⇔ $2x + 4y − 2z − 16 = 0$

⇔ $x + 2y − z − 8 = 0$

Bài 2: Trong không gian Oxyz, điểm A(-1,2,3) và điểm B(1,6,-1). Phương trình mặt phẳng trung trực AB có dạng như thế nào?

Giải:

Trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ (0;4;1).

Mặt phẳng trung trực đoạn AB vecto AB có tọa độ (2;4;−4) là một vecto pháp tuyến. Mặt phẳng ta cần tìm có phương trình như sau:

$2(x−0) + 4(y−4) − 4(z−1) = 0$

⇔ $x + 2y − 2z − 6 = 0$

⇔ $−x − 2y + 2z + 6 = 0$

Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng có chứa trục Oy, điểm Q(1;4;-3)

(Q) có chứa trục Oy và Q (1;4;-3)

+ (Q) chứa Oy ⇒ vecto chỉ phương là $\bar{j} = (0;1;0)$

+ (Q) chứa O (0;0;0) và Q (1;4;-3) ⇒ nhận $\bar{OQ} = (1;4;-3)$ là 1 vecto chỉ phương 

⇒ (Q) nhận $[\bar{j}, \bar{OQ}] = (-3;0;-1)$ là 1 vecto pháp tuyến

⇒ (Q): -3(x – 0) - 1.(z – 0) = 0

hay (Q): 3x + z = 0.

Nhận ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT độc quyền của VUIHOC

Bài 4: Đoạn AB có phương trình mặt phẳng trung trực với điểm A(2;3;7), B(4;1;3) là?

Giải:

Gọi trung điểm đoạn thẳng AB là điểm M.

Vậy ta có tọa độ của M là:

Đoạn thẳng AB có (P) là mặt phẳng trung trực nên mặt phẳng (P) đi qua M và nhận vecto $\bar{AB}$ là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của mặt phẳng (P):

Bài 5: Phương trình tổng quát mp (MNP) với M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1) là?

Giải:

⇒ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là  $\bar{n} (1;-4;5)$

Mặt phẳng (MNP) với M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1) có phương trình tổng quát là :

$(x-1) - 4(y-1) + 5(z-1) = 0$

Hoặc $x - 4y + 5z - 2 = 0$

Trên đây là toàn bộ kiến thức và tổng hợp đầy đủ các dạng bài tập về phương trình mặt phẳng trung trực. Hy vọng sau bài viết các em học sinh có thể áp dụng công thức toán hình 12 để giải các bài tập một cách dễ dàng. Để học tập và ôn tập kiến thức lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia, hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

• Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
• Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết Và Bài Tập