Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 chương trình mới
Khi biết số đo 1 cạnh và 1 góc trong tam giác vuông, chúng ta có thể dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông để tính số đo cạnh và góc còn lại. Tham khảo bài học hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông để áp dụng giải các bài tập liên quan.
![Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 chương trình mới](https://xcdn-cf.vuihoc.vn/upload/5c209fe6176b0/2024/07/23/c2a3_14.jpg)
1. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông
- Trong một tam giác vuông:
+ Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.
+ Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
b = a.sin B = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB;
b = c.tan B = c.cotC; c = b.tanC = b.cotB.
- Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán giải tam giác vuông.
2. Bài tập về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông
2.1 Bài tập về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 kết nối tri thức
Bài 4.8 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
a) Xét ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có: a2 = b2 + c2
(do c > 0).
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có:
Theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có:
b) b) Xét ABC vuông tại A, theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có:
Theo định lí 2, ta có:
Theo định lí 1, ta có AC = b = a.cosC
c) Xét ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có: a2 = b2 + c2
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:
Theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có:
Bài 4.9 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác cos, ta có:
.
Vậy góc nghiêng của thùng xe chở rác khoảng 36°52’.
Bài 4.10 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
Theo đề ta có hình vẽ:
Tứ giác BCDE là hình chữ nhật nên BE = CD = 15 m.
Xét ABE vuông tại E, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:
Theo định lí Pythagore, ta có: AB2 = AE2 + BE2.
Vậy góc nghiêng của mái nhà kho khoảng 3°26’ và chiều rộng của mái nhà kho khoảng 15,027 m.
Bài 4.11 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
Theo đề ta có hình vẽ:
Hình thoi ABCD có hai đường chéo lần lượt là ; BD = 2 và AC cắt BD tại O. Khi đó AC
BD; O là trung điểm của AC, BD.
Xét OAB vuông tại O, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:
Theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có
Hình thoi ABCD có AC, BD là đường chéo nên AC, BD lần lượt là tia phân giác của
Mà (tính chất hình thoi)
Bài 4.12 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
a) Ta có (hai góc nhọn trong
CDE vuông tại E) và
nên
(cùng phụ góc ˆ
).(1)
Xét ACD vuông tại C, ta có:
Xét ACE vuông tại E, ta có:
Từ (1), (2) và (3)
Hình thang ABCD có AD // BC và AB BC (do
) nên AB
AD.
Tứ giác ABCE có => ABCE là hình chữ nhật.
=> AE = BC = 4 cm (tính chất hình chữ nhật).
Khi đó, AC2 = 4.16 = 64 nên AC = 8 (cm) (do AC > 0).
b) Theo câu a, ta có:
Bài 4.13 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
Theo đề ta có hình vẽ:
Xét ABD vuông tại A, ta có:
Mà
Xét BCE vuông tại C, ta có:
Vậy chiều cao của cây là 6,6 m.
Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!
2.2 Bài tập về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 71 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo
Xét tam giác ABC vuông tại B có , ta có:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có AB = CD = 6 cm và BC = AD = 14,8 cm.
Bài 2 trang 71 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo
a) Gọi BH là đường cao hạ từ B xuống AC.
Khi đó, BH là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC.
Xét tam giác BHC có , ta có:
BH = BC . sin 30° = 20 . sin 30° = 10 (cm).
Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC là 10 cm.
b) Xét tam giác ABC, ta có:
Ta có:
Xét tam giác ABH vuông tại H có
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BHC, ta có: BC2 = CH 2 + BH2
Vậy độ dài các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC là:
c) Gọi AK là đường cao hạ từ A xuống BC.
Khi đó, AK là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Xét tam giác ACK có và AC
9,5 cm nên ta có:
Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC khoảng 4,8 cm.
Bài 3 trang 71 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo
Nhìn vào hình ta có tam giác vuông ABC như hình sau:
Xét tam giác ABC vuông tại B có nên
Vậy độ cao của vật so với mặt đất khoảng 2,3 m.
Bài 4 trang 71 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo
a) Đặt AH = x (m) (0 < x < 762).
Suy ra BH = 762 – x (m).
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:
h = x . tan 6° và h = (762 – x) . tan 4°.
=> x . tan 6° = (762 – x) . tan 4°
x . tan 6° = 762 . tan 4° – x . tan 4°
x . tan 6° + x . tan 4° = 762 . tan 4°
x . (tan 6° + tan 4°) = 762 . tan 4°
Vậy chiều cao h của con dốc khoảng 32 m.
b) Xét tam giác AHC vuông tại H có: nên h = AC . sin A.
Xét tam giác BHC vuông tại H có nên h = BC . sin B.
Thời gian An đi từ nhà đến trường là:
Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà và đến trường vào lúc:
6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.
Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ 6 phút.
2.3 Bài tập về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 cánh diều
Bài 1 trang 86 sgk toán 9/1 cánh diều
a) Từ hình ta có:
x = 6.cos56° 3,4 (cm).
y = 6.sin56° 5,0 (cm).
b) Từ hình ta có:
x = 1,5.cot32° 2,4 (cm).
c) Từ hình ta có:
y = 0,8.tan70° 2,2 (cm).
Bài 2 trang 86 sgk toán 9/1 cánh diều
Xét ABH vuông tại H, ta có:
Xét ACH vuông tại H, ta có:
Khi đó, BC = BH + HC 7,2 + 8,6 = 15,8 (cm).
Bài 3 trang 86 sgk toán 9/1 cánh diều
Xét ABC vuông tại A, ta có: AC = BC.sinB = BC.sin30o = 1/2BC.
Vậy AC = 1/2BC.
Bài 4 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều
Vì ABC vuông cân tại A nên
và AB = AC. Ta có:
Mà AB = AC nên
Bài 5 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều
a) Xét OAB vuông tại A, ta có: OA = AB.cotO = m.cot
.
b) Xét OAC vuông tại C, ta có:
c) Xét OAC vuông tại C, ta có:
Xét OCD vuông tại D, ta có:
Bài 6 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều
Xét OAB vuông tại B, có
, theo Bài 3, SGK Toám 9, Tập 1, trang 86, ta có:
Ta cũng có:
Tương tự, ta cũng có:
Vậy độ dài đường gấp khúc ABCDEGH là:
Bài 7 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều
Xét ABC vuông tại A, ta có:
Bài 8 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều
Vì AH BC và BD
BC nên AH // BD. Do đó
(so le trong).
Khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà là:
Do tứ giác ADBH có nên ADBH là hình chữ nhật.
=> AH = DB 127, 9 (m) và HB = AD = 68 (m).
Do AHC vuông tại H, ta có:
Chiều cao BC của tháp truyền hình là:
BC = BH + HC 68 + 119,3 = 187,3 (m).
Vậy khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà khoảng 127,9 mét và chiều cao BC của tháp
truyền hình khoảng 187,3 mét.
HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học
⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7
⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả
⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia
Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!
Trên đây là bài học Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán 9 THCS hiệu quả nhé!
>> Mời bạn tham khảo thêm: