Phân thức đại số| Toán 8 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 10:53 19/04/2024 6,831 Tag Lớp 8

Phân thức đại số toán 8 là phần kiến thức được nhiều học sinh quan tâm, được áp dụng để giải nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau này. Vậy phân thức đại số là gì? Cùng tham khảo bài viết để nắm được kiến thức về phân thức đại số toán 8 nhé.

Phân thức đại số| Toán 8 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Phân thức đại số là gì?

- Một phân thức đại số hay nói gọn là phân thức là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó:

A, B là hai đa thức
B khác đa thức 0
A là tử thức
B là mẫu thức

- Nhận xét: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng là những phân thức đại số.

Ví dụ:

$\large \frac{x+y}{z}$ là một phân thức đại số.

$\large \frac{5}{2}$ là một phân thức đại số.

$\large \frac{5 + x}{0}$ không phải phân thức đại số vì mẫu thức bằng 0.

2. Hai phân thức đại số bằng nhau, tính chất

- Hai phân thức $\large \frac{A}{B}$ và $\large \frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu AD = BC.

$\large \frac{A}{B}=\frac{C}{D}\Leftrightarrow AD=BC$

- Tính chất cơ bản của hai phân thức đại số:

$\large \frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$ với M là đa thức khác 0.

$\large \frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$ với N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0.

- Quy tắc đổi dấu:

$\large \frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}$

$\large \frac{A}{B}=-\frac{-A}{B}$

$\large \frac{A}{B}=-\frac{A}{-B}$

$\large \frac{A}{-B}=-\frac{A}{B}$

3. Các dạng bài tập phân thức đại số toán 8

- Dạng bài tìm điều kiện để phân thức xác định:

Cách làm: Phân thức: $\large \frac{A}{B}$ xác định khi B $\large \neq$ 0.

- Dạng bài tìm giá trị của biến số x sao cho phân thức $\large \frac{A}{B}$ nhận giá trị m cho trước.

Cách làm:
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: B $\large \neq$ 0
Bước 2: Ta có: $\large \frac{A}{B}=m$ => tìm x.
Bước 3: So sánh điều kiện để kết luận.

- Dạng bài chứng minh hai phân thức bằng nhau, tìm giá trị x để hai phân thức bằng nhau.

Ta có: $\large \frac{A}{B} (B\neq 0) ; \frac{C}{D}(D\neq 0)\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{C}{D}\Leftrightarrow AD=BC$

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

4. Giải bài tập phân thức đại số toán 8 chương trình mới

4.1 Bài tập phân thức đại số toán 8 kết nối tri thức

Bài 6.1 trang 7 toán 8/2 kết nối tri thức

Tử thức: 5x – 2

Mẫu thức: 3.

Bài 6.2 trang 7 toán 8/2 kết nối tri thức

Cặp phân thức có mẫu giống nhau là:

$\large \frac{x-1}{3x+6}$ và $\large \frac{x+1}{3(x+2)}$ vì: $\large \frac{x+1}{3(x+2)}=\frac{x+1}{3x+6}$

Bài 6.3 trang 7 toán 8/2 kết nối tri thức

a) Kết luận đúng vì –6.2y² = –4y.3y = –12y².

b) Kết luận đúng vì 5x.(x + 3) = 5.(x² + 3x) = 5x² + 15x.

c) Kết luận đúng vì 3x(4x + 1)(1 – 4x) = –3x(16x² – 1) = –48x³ + 3x.

Bài 6.4 trang 7 toán 8/2 kết nối tri thức

Điều kiện xác định: x + 2 $\large \neq$ 0 hay x $\large \neq$ –2.

Với x = 0, giá trị của phân thức là:

$\large \frac{0^{2}+0-2}{0+2}=-1$

Với x = 1, giá trị của phân thức là:

$\large \frac{1^{2}+1-2}{1+2}=0$

Với x = 2, giá trị của phân thức là:

$\large \frac{2^{2}+2-2}{2+2}=1$

Bài 6.5 trang 7 toán 8/2 kết nối tri thức

Vì mỗi đa thức được coi là phân thức với mẫu bằng 1, đặc biệt số 0 và số 1 cũng là phân thức bằng cách coi $\large 0=\frac{0}{1}; 1=\frac{1}{1}$ . Vì vậy cần chứng minh $\large \frac{0}{A}=\frac{0}{1}; \frac{A}{A}=\frac{1}{1}$

Ta có: A . 0 = 0 = 0 . 1 nên $\large \frac{0}{A}=\frac{0}{1}$

Tương tự, A . 1 = 1 . A nên $\large \frac{A}{A}=\frac{1}{1}$

Vậy $\large \frac{0}{A}=\frac{0}{1}; \frac{A}{A}=\frac{1}{1}$ .

Bài 6.6 trang 7 toán 8/2 kết nối tri thức

a) Thời gian ô tô chạy hết quãng đường 120 km là:

$\large t=\frac{120}{x}(h)$

b) Thời gian ô tô đi được 120 km với vận tốc là 60 km/h:

$\large t=\frac{120}{60}=2(h)$

Bài 6.7 trang 11 toán 8/2 kết nối tri thức

a. $\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}-2x}=\frac{(x-2)^{2}(x-2)}{x(x-2)}=\frac{(x-2)^{2}(x-2):(x-2)}{x(x-2):(x-2)}=\frac{(x-2^{2})}{x}$

b. $\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{-(x-1)}{-(5x-1)}=\frac{x-1}{5x-1}$

Bài 6.8 trang 12 toán 8/2 kết nối tri thức

Ta có:

$\frac{y-x}{4-x}=\frac{-(x-y)}{-(x-4)}=\frac{x-y}{x-4}$

Vậy đa thức cần tìm là x - y.

Bài 6.9 trang 12 toán 8/2 kết nối tri thức

a. $\frac{5x+10}{25x^{2}+50}=\frac{5(x+2)}{25(x^{2}+2)}=\frac{x+2}{5(x^{2}+2)}$

b. $\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^{3}}=\frac{-45x(x-3)}{15x(x-3)^{3}}=\frac{-3}{(x-3)^{2}}$

c. $\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x+1)(x^{3}+1)}=\frac{(x^{2}-1)(x^{2}-1)}{(x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}$

Bài 6.10 trang 12 toán 8/2 kết nối tri thức

a. $P=\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x-1}$

Vậy $Q=\frac{1}{x-1}$

b. $P(11)=\frac{11+1}{11^{2}-1}=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}$

$Q(11)=\frac{1}{11-1}=\frac{1}{10}$

Như vậy hai kết quả bằng nhau.

Bài 6.11 trang 12 toán 8/2 kết nối tri thức

Ta có:

$\frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}=\frac{-ax(1-x)}{(1-x)(x+1)}=\frac{-ax}{x+1}$

Để hai phân thức bằng nhau thì 5x = -ax => a = -5

Bài 6.12 trang 12 toán 8/2 kết nối tri thức

a. MTC: 2(x – 2)(x² + 2x + 4)

$\frac{1}{x^{3}-8}=\frac{2}{2(x-2)(x^{2}+2x+4)}$

$\frac{3}{4-2x}=\frac{-3}{2(x-2)}=\frac{-3(x^{2}+2x+4)}{2(x-2)(x^{2}+2x+4)}$

b. MTC: (x – 1)(x + 1)²

$\frac{x}{x^{2}-1}=\frac{x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)^{2}}$

$\frac{1}{x^{2}+2x+1}=\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)^{2}}$

Bài 6.13 trang 12 toán 8/2 kết nối tri thức

a) MTC: (x + 2)(x – 2)²

$\frac{1}{x+2}=\frac{(x-2)^{2}}{(x+2)(x-2)^{2}}$

$\frac{x+1}{x^{2}-4x+4}=\frac{x+1}{(x-2)^{2}}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)^{2}}$

$\frac{5}{2-x}=\frac{-5}{x-2}=\frac{-5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)^{2}}$
b) MTC: 3(x + y)(x – y)²

$\frac{1}{3x+3y}=\frac{1}{3(x+y)}=\frac{(x-y)^{2}}{3(x+y)(x-y)^{2}}$

$\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}=\frac{2x}{(x+y)(x-y)}=\frac{2x.3(x-y)}{3(x+y)(x-y)^{2}}$

$\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}}=\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{(x-y)^{2}}=\frac{3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{3(x+y)(x-y)^{2}}$

Bài 6.14 trang 12 toán 8/2 kết nối tri thức

a. Rút gọn:

$\frac{9x^{2}+3x+1}{27x^{3}-1}=\frac{9x^{2}+3x+1}{(3x)^{3}-1^{3}}=\frac{9x^{2}+3x+1}{(3x-1)(9x^{2}+3x+1)}=\frac{1}{3x-1}$

$\frac{x^{2}-4x}{16-x^{2}}=\frac{x(x-4)}{(x+4)(x-4)}=\frac{-x}{x+4}$

b. Quy đồng

$\frac{1}{3x-1}=\frac{x+4}{(3x-1)(x+4)}$

$\frac{-x}{x+4}=\frac{-x(3x-1)}{(3x-1)(x+4)}$

Khóa học DUO cung cấp cho các em nền tảng kiến thức toán vững chắc, bứt phá điểm 9+ trong mọi bài kiểm tra trên lớp.

4.2 Bài tập phân thức đại số toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 30 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

Trong các biểu thức trên, $\frac{3x+1}{2x-1}$ và 2x² – 5x + 3 là phân thức.

Biểu thức $\frac{x+\sqrt{x}}{3x+2}$ không phải là phân thức, vì có chứa biểu thức $\sqrt{x}$

Bài 2 trang 30 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{4x-1}{x-6}$ là x – 6 $\neq$ 0, hay x $\neq$ 6.

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x-10}{x+3y}$ là x + 3y $\neq$ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x + 3y $\neq$ 0).

c) Phân thức 3x² – x + 7 xác định với mọi giá trị x ∈ ℝ.

Bài 3 trang 30 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a. Phân thức: $A=\frac{3x^{2}+3x}{x^{2}+2x+1}=\frac{3x(x+1)}{(x+1)^{2}}$

Điều kiện xác định của phân thức A là (x + 1)² $\neq$ 0, hay x + 1 $\neq$ 0, do đó x $\neq$ –1.

Với điều kiện xác định x $\neq$ –1 thì: $A=\frac{3x^{2}+3x}{x^{2}+2x+1}=\frac{3x(x+1)}{(x+1)^{2}}=\frac{3x}{x+1}$

Tại x = ‒ 4 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$A=\frac{3.(-4)}{(-4)+1}=\frac{-12}{-3}=4$

b. Xét phân thức: $B=\frac{ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$

Điều kiện xác định của phân thức B là a² – b² $\neq$ 0 (nghĩa là các giá trị của a và b thỏa mãn a² – b² $\neq$ 0).

Với điều kiện xác định trên thì: $B=\frac{ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{b}{a+b}$

Tại a = 4 và b = ‒2 thì a² – b² = 12 $\neq$ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

$B=\frac{-2}{4+(-2)}=\frac{-2}{2}=-1$

Bài 4 trang 30 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) Xét hai phân thức $\frac{3ac}{a^{3}b};\frac{6c}{2a^{2}b}$ ta có:

3ac.2a²b = 6a³bc;

a³b.6c = 6a³bc.

Do đó 3ac.2a²b = a³b.6c

Vậy $\frac{3ac}{a^{3}b}=\frac{6c}{2a^{2}b}$

b) Ta có: $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}=\frac{3b(a-b)}{3b2b}=\frac{a-b}{2b}$

Bài 5 trang 30 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a. 2x² + 3x + 1.

b. x

Bài 6 trang 30 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a. $\frac{3x^{2}y}{2xy^{5}}=\frac{xy3x}{yx2y^{4}}=\frac{3x}{2y^{4}}$

b. $\frac{3x^{2}-3x}{x-1}=\frac{3x(x-1)}{(x-1)}=\frac{3x}{1}=3x$

c. $\frac{ab^{2}-a^{2}b}{2a^{2}+a}=\frac{a(b^{2}-ab)}{a(2a+1)}=\frac{b^{2}-ab}{2a+1}$

d. $\frac{12(x^{4}-1)}{18(x^{2}-1)}=\frac{6.2.(x^{2}+1)(x^{2}-1)}{6.3(x^{2}-1)}=\frac{2.(x^{2}+1)}{3}=\frac{2x^{2}+2}{3}$

4.3 Bài tập phân thức đại số toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 37 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Điều kiện xác định là 3y + 3 $\neq$ 0;

b) Điều kiện xác định là x² + 16 $\neq$ 0;

c) Điều kiện xác định là x – y $\neq$ 0.

Bài 2 trang 37 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Ta có: 3x . 10y = 30xy và 2 . 15xy = 30xy

Nên 3x . 10y = 2 . 15xy.

Do đó $\frac{3x}{2}=\frac{15xy}{10y}$

b) Ta có (3x – 3y) . 2 = 6x – 6y và –3(2y – 2x) = – 6y + 6x = 6x – 6y.

Nên (3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x).

Do đó $\frac{3x-3y}{2y-2x}=\frac{-3}{2}$

c) Ta có (x² – x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x² – x + 1) = x(x³ + 1);

Vì (x² – x + 1) . x(x + 1) = x(x³ + 1) nên $\frac{x^{2}-x+1}{x}=\frac{x^{3}+1}{x(x+1)}$

Bài 3 trang 37 SGK toán 8/1 cánh diều

a. $\frac{24x^{2}y^{2}}{16xy^{3}}=\frac{24x^{2}y^{2}:(8xy^{2})}{16xy^{3}:(8xy^{2})}=\frac{3x}{2y}$

b. $\frac{6x-2y}{9x^{2}-y^{2}}=\frac{6x-2y}{(3x)^{2}-y^{2}}=\frac{2(3x-y)}{(3x+y)(3x-y)}=\frac{2}{3x+y}$

Bài 4 trang 37 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Ta có MTC: (x – 3y)(x + 3y)

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\frac{2}{x-3y}=\frac{2(x+3y)}{(x-3y)(x+3y)}$

$\frac{3}{x+3y}=\frac{3(x-3y)}{(x-3y)(x+3y)}$

b) Ta có: 4x + 24 = 4(x + 6); x² – 36 = (x + 6)(x – 6).

Suy ra MTC: 4(x + 6)(x – 6).

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\frac{7}{4x+24}=\frac{7}{4(x+6)}=\frac{7(x-6)}{4(x+6)(x-6)}$

$\frac{13}{x^{2}-36}=\frac{13}{(x-6)(x+6)}=\frac{13.4}{(x-6)(x+6).4}=\frac{52}{4(x+6)(x-6)}$

Bài 5 trang 37 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Trong Hình 1:

• Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là x + 3 (cm); chiều rộng là x + 1 (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (x + 3)(x + 1) (cm²).

• Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài là x + 1 (cm); chiều rộng là x (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: x(x + 1) (cm²).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là:

$\frac{(x+3)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x+3}{x}$

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+3}{x}$ là x $\neq$ 0

• Ta thấy x = 2≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức $\frac{x+3}{x}$ tại x = 2 là: $\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$

• Ta thấy x = 5≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức $\frac{x+3}{x}$ tại x = 5 là: $\frac{5+3}{5}=\frac{8}{5}$

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là bài học phân thức đại số toán 8 chương trình mới. Bên cạnh đó VUIHOC cũng hướng dẫn các em cách giải các bài tập trong bài học trong các sách toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Hy vọng rằng qua bài học, các em có thể nắm được cách so sánh hai phân thức đại số, tìm điều kiện xác định...

>> Mời các em tham khảo thêm: