Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đơn giản - kiến thức Toán 10

Tác giả Minh Châu 11:29 08/10/2024 195,257 Tag Lớp 10

Phương trình tiếp tuyến đường tròn là phần kiến thức toán 10 quen thuộc và thường gặp trong các kỳ thi. Trong bài viết sau đây, VUIHOC sẽ cùng các em học sinh ôn tập lý thuyết tổng quan về phương trình tiếp tuyến, hướng dẫn cách viết phương trình tiếp tuyến đường tròn và luyện tập với bộ bài tập trắc nghiệm chọn lọc.

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đơn giản - kiến thức Toán 10

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Lý thuyết chung về phương trình tiếp tuyến đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm I (a; b), bán kính R là:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Phương trình đường tròn $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ có thể viết dưới dạng:

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ . Trong đó: $c = a^2 + b^2 - R^2$

Điều kiện để phương trình $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi $a^2 + b^2 - c > 0$ .

Khi đó đường tròn (C) có tâm I (a; b) và bán kính $R = a^2 + b^2 - c$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

2.1. Lý thuyết

Cho điểm $M_0 (x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn (C), tâm I (a; b). Gọi Δ là tiếp tiếp của (C) tại $M_0$ .

Ta có:

$M_0$ thuộc Δ và vectơ $IM_0 = (x_0 - a; y_0 - b)$ là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó phương trình của Δ là:

$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b) (y - y_0) = 0$ (1)

Vậy phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ tại điểm $M_0 (x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)

2.2. Phương pháp giải

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm thuộc đường tròn

Ta dùng công thức tách đôi tọa độ:

- Nếu phương trình đường tròn là: $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $xx_0 + yy_0 - a(x + x_0) - b(y + y_0) + c = 0$

- Nếu công thức đường tròn là: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x - a)(x_0 - a) + (y - b)(y_0 - b) = R^2$

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm ngoài đường tròn

Viết phương trình của đường thẳng (Δ) qua $M_0 (x_0; y_0)$ :

$y - y_0 = m(x - x_0) \Leftrightarrow mx - y - mx_0 + y_0 = 0$ (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn tới đường thẳng (Δ) = R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

*Chú ý: Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến song song với phương cho sẵn có hệ số góc k

Phương trình của (Δ) có dạng: y = kx + m (m chưa biết) ⇔ kx - y +m = 0

Cho khoảng cách từ tâm I đến (D) bằng R, ta tìm được m.

*Chú ý: Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp trọn bộ kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT

2.3. Ví dụ bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3;-4)

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2)

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; - 4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.

- Phương trình đường thẳng (d): Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm - Toán lớp 10

⇒ Phương trình (d) là: 2(x - 3) - 2(y + 4) = 0

⇔ (d) : 2x - 2y - 14 = 0 hay x - y - 7 = 0

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn $(C): x^2+ y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ , biết tiếp tuyến đi qua điểm B(4; 6) .

Hướng dẫn giải:

- Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 22+ 22-4 = 2

- Tiếp tuyến ∆: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm - Toán lớp 10

⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*)

- Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên $d(I; ∆) = R$

⇔ $|2a+2b-4a-6b| a^2+ b^2= 2 \Leftrightarrow |- 2a - 4b| = 2 a^2+ b^2$

⇔ $|a + 2b| = a^2+ b^2 \Leftrightarrow a^2+ 4ab + 4b^2 = a^2 + b^2$

⇔ 4ab + 3b2 = 0

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=0\\ 4a=-3b\end{matrix}\right.$

- Nếu b=0: chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0.

- Nếu 4a=-3b: chọn a=3 thì b=-4 thay vào (*) ta được: 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0

Ví dụ 3: Cho đường tròn $(x - 3)^2 + (y+1)^2 = 5$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là?

Hướng dẫn giải:

Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên

phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .

Đường tròn (C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R=5

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) khi :

d( I , ∆) = R ⇔ |2.3-1+m|5= 5 ⇔ |5 + m| = 5

⇔ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ví dụ 3

Vậy ∆1 : 2x + y = 0 , ∆2 : 2x + y - 10 = 0

3. Bài tập luyện viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Câu 1: Cho đường tròn $(C) :(x - 3)^2 + (y-1)^2 = 10$ . Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(4;4) là

A. x - 3y + 8 = 0. B. x + 3y – 16 = 0.

C. 2x - 3y + 5 = 0 . D. x + 3y - 16 = 0.

Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ , biết tiếp tuyến đi qua điểm B(4; 6):

A. x - 4 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 B. x - 4 = 0 hoặc y - 6 = 0.

C. y - 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 D. x - 4 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0

Câu 3: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn $(C): (x+2)^2 + (y+2)^2 = 25$ tại điểm M(2;1) là:

A. d: -y + 1 = 0 B. d: 4x + 3y + 14 = 0

C. d: 3x - 4y - 2 = 0 D. d: 4x + 3y - 11 = 0

Câu 4: Cho đường tròn $(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 2$ . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3;-4) .

A. d: x + y + 1 = 0 B. d: x - 2y - 11 = 0

C. d: x - y - 7 = 0 D. d: x - y + 7 = 0

Câu 5: Cho đường tròn $(C): (x+1)^2 + (y-1)^2 = 25$ và điểm M(9;-4). Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C), biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Câu 6: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn

$(C): x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0$ ?

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C): (x-1)^2+(y+2)^2=8$ , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(5; -2):

A. x - 5 = 0 . B. x + y - 3 = 0 hoặc x - y 7 = 0.

C. x- 5= 0 hoặc x + y - 3 = 0 . D. y + 2 = 0 hoặc x - y - 7 = 0 .

Câu 8: Cho đường tròn (C) có tâm I(1;3), bán kính $R= 5^2$. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn bài tập 8 và tọa độ M nguyên?

A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0

C. 2x - 3y - 19 = 0 D. Đáp án khácCâu 9: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C): x^2 + y^2-3x-y= 0$ tại điểm N(1;-1) là:

A. d: x + 3y - 2 = 0 B. d: x - 3y + 4 = 0

C. d: x - 3y - 4 = 0 D. d: x + 3y + 2 = 0

Câu 10: Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x + 8y - 23 = 0$ và điểm M(8;-3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M là :

A. 10 B. 210 C. 102 D. 10

Câu 11: Cho đường tròn $(C) : x^2+y^2-3x-y=0$ . Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(1;-1) là:

A. x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y + 1 = 0 C. 2x - y + 4 = 0 D. x + 3y + 2 = 0

Câu 12: Cho đường tròn $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 10$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là

A. x - 3y + 5 = 0 B. x + 3y - 4 = 0 C. x - 3y + 16 = 0 D. x + 3y - 16 = 0

Câu 13: Cho đường tròn $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 9$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là

A. x + y - 4 = 0; x - y - 2 = 0 . B. x = 5; y = -1.

C. 2x - y - 3 = 0; 3x + 2y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0; 2x + 3y + 5 = 0

Câu 14: Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là:

A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0. B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0.

C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0 D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0

Câu 15: Đường tròn (C) có tâm I (-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là:

A. (-15; -75) B. (15; 75) C. (15; -75) D. (-15; 75)

Câu 16: Cho đường tròn $(C): x^{2} + y^2 - 6x + 2y + 5 = 0$ và đường thẳng:

d: 2x + (m - 2)y - m - 7 = 0. Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C)?

A. m = 3 B. m = 15 C. m = 13 D. m = 3 hoặc m = 13.

Câu 17: Cho đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 29. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn câu 17 và tọa độ M nguyên?

A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0

C. 3x + 5y - 8 = 0 D. Đáp án khác

Câu 18: Cho đường tròn $(C): (x-3)^2+(y+3)^2=1$ . Qua điểm M(4;-3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Câu 19: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn (C): (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Câu 20: Cho đường tròn $(x-3)^2 + (y+1)^2=5$ . Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng $d : 2x + y + 7 = 0$ là

A. 2x + y = 0; 2x + y - 10 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y - 1 = 0

C. 2x - y + 1 = 0; 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0; x + 2y - 10 = 0

Đáp án gợi ý:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	D	D	C	B	A	B	C	D	D
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
D	D	B	A	B	D	B	B	C	A

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Bài viết đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết và phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn trong chương trình Toán 10. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin vượt qua các dạng bài tập liên quan đến kiến thức về phương trình tiếp tuyến. Để học nhiều hơn các kiến thức Toán 10 thú vị, các em truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô VUIHOC ngay hôm nay nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết