Toán học 11: Dãy số là gì?

Tác giả Minh Châu 10:51 06/12/2023 18,254 Tag Lớp 11

Dãy số là gì? Có những loại dãy số nào? Để hiểu hết lý thuyết dãy số trong chương trình toán 11, các em hãy theo dõi bài viết dưới đây của VUIHOC nhé. Những kiến thức trọng tâm về dãy số sẽ giúp các em học tập tốt hơn và giải quyết được các dạng bài tập liên quan.

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Dãy số là gì?

1.1 Định nghĩa

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn hay còn gọi tắt là dãy số.

- Kí hiệu: u: N* $\rightarrow$ R

n $\rightarrow$ u(n)

- Dãy số dưới dạng khai triển được viết u₁, u₂, u₃ ... u_n ... . Trong đó u_n = u(n) là số hạng tổng quát thứ n còn u₁ là số hạng đầu tiên của dãy số u(n)

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = { 1,2,3,...m} mới m $\in$ N* được gọi là dãy số hữu hạn. Dạng triển khai của dãy số này là u₁, u₂, u₃ ... u_m trong đó u₁ là số hạng đầu con u_m là số hạng cuối.

1.2 Ví dụ về dãy số

- Dãy số tự nhiên lẻ 1,3,5,7,9... có số hạng đầu là u₁ = 1, số hạng tổng quát là u_n = 2n - 1

- Dãy số chính phương 1,4,9,16... có số hạng đầu là u₁ = 1, số hạng tổng quát là u_n = n²

- Dãy số -1,5,8,15,30 là dãy số hữu hạn có u₁ = -1, u₅ là 30

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập toán thi THPT Quốc Gia nhé!

1.3 Biểu diễn hình học của dãy số

- Vì dãy số là một hàm số trên N* nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị có tọa độ (n,u_n)

- Ví dụ: Dãy số (u_n) với $u_{n}=\frac{n + 1}{n}$ có biểu diễn hình học như sau:

2. Cách cho một dãy số

2.1 Dạng tổng quát

- u_n = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N*

- Đây là dạng thông dụng gần giống với hàm số. Khi ta biết giá trị của n thì có thể tính được u_n

Ví dụ: Cho dãy số u_n = 1ⁿ.2ⁿ⁺¹khi viết dưới dạng triển khai ta được dãy số 4,8,16,32,...,1ⁿ.2ⁿ⁺¹

2.2 Phương pháp mô tả

- Đưa ra mệnh đề mô tả xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Phương pháp này thường không tìm được u_n với n tùy ý.

Ví dụ: Lập dãy số (u_n) với u_n là giá trị gần đúng của số $\large \pi$ với sai số tuyệt đối là 10^-n. Khi đó u₁ = 3,1 ; u₂ = 3,14 ; u₃ = 3,141 ...

2.3 Phương pháp quy hồi ( quy nạp)

- Cho số hạng thứ nhất hoặc vài số hạng đầu tiên

- Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng thứ nhất hoặc vài số hạng đứng trước nó.

Ví dụ: Dãy số Fibonacci là dãy số (u_n) được xác định như sau:

$\large \left\{\begin{matrix} u_{1}=u_{2} =1& \\ u_{n}=u_{n +1} + u_{n-2}, n\geqslant 3 & \end{matrix}\right.$

Nắm trọn kiến thức môn Toán 11 ôn thi tốt nghiệp THPT cùng khóa học DUO 11 bứt phá điểm thi 27+

3. Dãy số tăng, giảm và bị chặn

- Dãy số u_n là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n $\large \in$ N*

- Dãy số u_n là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n $\large \in$ N*

- Lưu ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Trường hợp đặc biệt dãy số không tăng cũng không giảm như dãy (u_n) = (-1)ⁿ tức là dãy -1,1,-1,1,-1,1..

- Dãy số bị chặn bao gồm dãy số chặn trên, chặn dưới và chặn hai đầu.

+ Dãy số bị chặn trên: Là dãy số tồn tại một số M mà u_n $\leqslant$ M, với mọi n $\large \in$ N*

+ Dãy số bị chặn dưới: Là dãy số tồn tại số m mà u_n $\geqslant$ m, với mọi n $\large \in$ N*

+ Dãy số bị chặn hai đầu: Là dãy số tồn tại số m, M mà m $\leqslant$ u_n $\leqslant$ M, với mọi $\large \in$ N*

4. Bài tập vận dụng lý thuyết dãy số

4.1 Dạng bài xác định số hạng của dãy số

Bài 1: Cho dãy số u(n) có số hạng tổng quát như sau: $u_{n}=\frac{2n +1 }{n + 2}$

+ Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số

+ Tìm số hạng thứ 50 và 150

+ Số 67/34 có thuộc dãy số đã cho không?

+ Dãy số trên có bao nhiêu số hạng là số nguyên?

Lời giải:

+ Bốn số hạng đầu tiên của dãy số là u₁ = 1, u₂ = 5/4, u₃ = 7/5, u₄ = 3/2

+ Số hạng thứ 50: $u_{50}=\frac{2.50+1}{50+2}=\frac{101}{52}$ ; số hạng thứ 150: $u_{150}=\frac{2.150+1}{150+2}=\frac{301}{152}$

+ Giả sử $u_{n}=\frac{67}{34} => \frac{2n+1}{n+2}=\frac{67}{34} => n=100$

Vậy số 67/34 là số hạng thứ 100 của dãy số u_n

+ Ta có: $u_{n}=\frac{2(n+2)-3}{n+2} = 2-\frac{3}{n+2}$

u_n nguyên khi 3 $\vdots$ (n+2) => n = 1

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng là số nguyên.

Bài 2: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát như sau: $u_{n}=2n+\sqrt{n^{2}+4}$

+ Viết 5 số hạng đầu của dãy số

+ Tính u₂₀₂₀, u₂₀₂₁

+ Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên?

Lời giải:

+ Ta có u₁ = 2 + $\sqrt{5}$ ; u₂ = 4 + $2\sqrt{2}$ ; u₃ = 6 + $\sqrt{13}$ ; u₄ = 8 + 2 $\sqrt{5}$ ; u₅ = 10 + $\sqrt{29}$

+ Ta có u₂₀₂₀ = 4040 + 2 $\sqrt{1020101}$ ; u₂₀₂₁ = 4042 + $\sqrt{4084445}$

+ u_n nguyên $\Leftrightarrow$ $\sqrt{n^{2}+4}=k$ $\Leftrightarrow (k-n)(k+n) =4$

=> vô nghiệm => không có số hạng nào là số nguyên.

Đăng ký để nhận ngay bộ sổ tay các môn học của VUIHOC nhé!

4.2 Dạng bài dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn

Bài 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

$u_{n}=\frac{3n^{2}-2n+1}{n+1}$

Lời giải:

$\large u_{n+1} - u_{n}=\frac{5n^{2}+10n+2}{(n+1)(n+2)} > 0$

=> Đây là dãy số tăng

Bài 2: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số $\large u_{n}=\frac{2n-13}{3n-2}$

Lời giải: Ta có

$\large u_{n+1} - u_{n}=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{34}{(3n+1)(3n-2)} >0$

=> u_n+1 > u_n với mọi n $\geqslant$ 1 => dãy số tăng.

Ngoài ra ta có:

$u_{n}=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)} => -11 \leqslant u_{n}\leqslant \frac{2}{3}$

Với mọi n $\geqslant$ 1 => dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 3: Cho dãy số (u_n)

$u_{n} = \frac{an+2}{2n-1}, n\geqslant 1$

a, Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy số trên

b, Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng

Cùng thầy cô VUIHOC tham khảo ngay một số bài tập thường gặp về dãy số

Đăng ký ngay khóa học PAS THPT để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dưng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT ngay từ sớm bạn nhé!

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về dãy số trong chương trình toán học 11 cùng một số dạng bài tập liên quan. Hy vọng sau bài viết này các em có thể hiểu rõ hơn về dãy số và có thể dễ dàng áp dụng kiến thức để giải bài tập. Đừng quên truy cập trang web giáo dục vuihoc.vn để học thêm nhiều kiến thức toán THPT nhằm chuẩn bị hành trang sớm cho kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: