Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 10

1. Các vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong oxyz

Có thể xảy ra các trường hợp xảy ra khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian như sau:

a) Thứ nhất: Hai đường thẳng đồng phẳng

Hai đường thẳng đồng phẳng hay còn gọi là hai đường thẳng ở trên cùng một mặt phẳng và có thể có các vị trí tương đối của 2 đường thẳng là:

1/ Cắt nhau là trường hợp 2 đường thẳng có duy nhất 1 điểm chung

2/ Song song là trường hợp 2 đường thẳng không có điểm chung

3/ Trùng nhau là trường hợp 2 đường thẳng có nhiều hơn hai điểm chung

b) Thứ hai: Hai đường thẳng không đồng phẳng

Đây là trường hợp mà hai đường thẳng không có điểm chung, còn có thể gọi là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ta có thể xét dựa trên hai tiêu chí đó là số điểm chung và sự đồng phẳng để xét được vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Tuy nhiên, trong Oxyz thì xét theo hai tiêu chí như vậy sẽ không hiệu quả và gặp nhiều khó khăn, tính toán dài dòng. Để thực hiện nhanh việc xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong Oxyz, ta sử dụng tính chất có hướng và xét theo sơ đồ.

2.1. Phương pháp xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số m để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

Phương pháp:

Cho 2 đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng 

Phương pháp:

+) Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.

Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức khác sau

+) Ta có: $y=ax+b$ với a ≠ 0, b ≠ 0 là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm A (0 ; b), cắt trục hoành tại điểm $B(\frac{-b}{a} ; 0)$

+) Điểm $M(x_0 ; y_0)$ thuộc đường thẳng $y=ax+b$ khi và chỉ khi $y_0=ax_0+b $

Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi tham số m 

Phương pháp:

Gọi M(x;y) là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm M(x ; y) thỏa mãn phương trình đường thẳng d.

Đưa phương trình đường thẳng d về phương trình bậc nhất ẩn m.

Từ đó để phương trình bậc nhất $ax+b=0$ luôn đúng thì $a=b=0$

Giải điều kiện ta tìm được x , y.

Khi đó M (x ; y) là điểm cố định cần tim.

2.2. Ví dụ cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) $y=2x+3$ và $y=-3x-5$

b) $y=5x-3$ và $y=5x+7$

c) $y=-2x-1$ và $y=(\frac{1}{2})x+1$

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số $y=2x+3$ có hệ số góc $k_1=2$

Đồ thị hàm số $y=-3x-5$ có hệ số góc $k_2=-3$

Vì $K_1$ ≠ $K_2$ nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau .

b) Đồ thị hàm số $y=5x-3$ có hệ số góc $k_1=5$

Đồ thị hàm số $y=5x+7$ có hệ số góc $k_2=5$

Vì $k_1=k_2$, nên đồ thị hai hàm số trên song song với nhau .

c) Đồ thị hàm số $y=-2x-1$ có hệ số góc $k_1=-2$

Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}x+1$ có hệ số góc $k_2=\frac{1}{2}$

Vì $k_1$ ≠ $k_2$ nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau .

Hơn nữa $k_1.K_2=-2.\frac{1}{2}=-1$ nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau .

Bài tập 2:

a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng $y=3x+2$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 .

b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng $y=(\frac{1}{2})x+1$ và đi qua A (2;1) 

 Lời giải :

a ) Gọi đường thẳng cần tìm là $(d): y=ax+b$

Vì ( d ) song song với đường thẳng $y=3x+2$ ⇒ $a=3$

Vì ( d ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 (tức $x=0$ và $y=5$) ⇒ $b=5$

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 3x + 5 .

b ) Gọi đường thẳng cần tìm là ( d ' ) : y = kx + m

Vì ( d " ) vuông góc với đường thẳng y = ( 1/2 ) x +1

⇒ k . ( 1/2 ) = -1 => k = -2

khi đó ( d ' ) có dạng : y = -2x + m

Vi ( d ' ) đi qua A ( 2 ; 1 ) nên ta có : 1 = -2.2 + m ⇒ m = 5

Vậy đường thẳng cần tìm là $y=-2x+5$

Bài tập 3: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình $y=(m+1)x+2x-m$ luôn đi qua một điểm cố định .

Lời giải:

Gọi $M(X_0;Y_0)$ là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua . Khi đó ta có :

$y_0=(m+1)x_0+2x_0-m$ , ∀m

$y_0=mx+x_0+2x_0-m$ , ∀m

$y_0=mx_0-3x_0-m=0$ , ∀m

$m(-x_0-1)+(Y_0- 3x_0)=0$ ,  ∀m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình $y=(m+1)x+2x-m$ luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1;3)

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

3. Bài tập luyện tập xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Câu 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1:x-2y+1=0$ và $d_2:-3x+6y-10=0$

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 2: Đường thẳng $(a): 3x - 2y - 7 = 0$ cắt đường thẳng nào sau đây?

A. $( d_1): 3x + 2y = 0$          B. $(d_2): 3x - 2y = 0$

C. $(d_3): -3x + 2y - 7 = 0$    D. $(d_4): 6x - 4y - 14 = 0$

Câu 3: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây: $(a):x-2y+1=0$ và $(b):- 3x + 6y - 1 = 0$

A. Song song.    B. Trùng nhau.    C. Vuông góc nhau.    D. Cắt nhau.

Câu 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1:  \frac{x}{3}-\frac{y}{4} = 1$ và $d_2: 3x + 4y - 10 = 0$.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 5: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

$(a): 3x + 4y + 10 = 0$ và $(b): (2m - 1)x + m2y + 10 = 0$ trùng nhau?

A. m = ± 2    B. m = ± 1    C. m = 2    D. m = -2

Câu 6: Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng $(a): 3x - 4y + 15 = 0$; $(b):5x + 2y - 1 = 0$ và $(c): mx - 4y + 15 = 0$ đồng quy?

A. m = -5    B. m = 5    C. m = 3    D. m = -3

Câu 7: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d: y = 2x - 1

A. 2x - y + 5 = 0    B. 2x - y - 5 = 0    C. - 2x + y = 0    D. 2x + y - 5 = 0

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng $(a): 2x - 3my + 10 = 0$ và $(b): mx + 4y + 1 = 0$ cắt nhau.

A. 1 < m < 10    B. m = 1    C. Không có m.    D. Với mọi m.

Câu 9: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng $(a) : 2x + y + 4 - m = 0$

và $(b) : (m + 3)x + y + 2m - 1 = 0$ song song?

A. m = 1    B. m = -1    C. m = 2    D. m = 3

Câu 10: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng $(a): mx + y - 19 = 0$ và $(b): ( m - 1).x + (m + 1).y - 20 = 0$ vuông góc?

A. Với mọi m.    B. m = 2    C. Không có m.    D. m = 1

Câu 11: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: 3x - 2y - 6 = 0$ và $d_2: 6x - 2y - 8 = 0$.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 12: Cho 3 đường thẳng $d_1:2x+y-1=0$ ; $d_2: x+2y+1=0$ và $d_3:mx-y-7=0$. Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:

A. m= -6    B. m = 6    C. m = -5    D. m = 5

Câu 13: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng $(a): 3mx + 2y + 6 = 0$ và $(b) : (m2 + 2)x + 2my + 6 = 0$ cắt nhau?

A. m ≠ ±3    B. m ≠ ±2    C. mọi m    D. m ≠ ±1.

Câu 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình

$(a): mx+(m-1)y+2m=0$ và $(b): 2x + y - 1 = 0$. Nếu a song song b thì:

A. m = 2    B. m = -1    C. m = - 2    D. m = 1 .

Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình $(a):3x–4y+15=0$, $(b):5x+2y-1=0$ và $(c):mx-(2m-1)y+9m -13=0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.

A. $m = \frac{1}{5}$    B. $m= -5$    C. m= $- \frac{1}{5} $   D. $m= 5$

Câu 16: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $(a):2x+4y-10=0$ và trục hoành.

A.(0;2)    B. (0; 5)    C. (2;0)    D. (5;0)

Câu 17: Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng $2x+3y-1=0$?

A. $4x + 6y + 10 = 0$     B. $3x - 2y + 1 = 0 $   C. $2x - 3y + 1 = 0$    D. $4x + 6y - 2 = 0$

Câu 18: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $(a): 2x - 3y + 2 = 0$ và $(b): y - 2 = 0$

A. Cắt nhau nhưng không vuông góc

B. Song song

C. Trùng nhau

D. Vuông góc

Câu 19: Nếu ba đường thẳng $(a): 2x + y- 4 = 0; (b) : 5x - 2y + 3 = 0 $ và $(c): mx + 3y - 2 = 0$ đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?

A. $ \frac{12}{5}$    B. $- \frac{12}{5}$    C. 12    D. - 12

Câu 20: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng $(a): (m- 3)x + 2y + m2 - 1 = 0$ và $(b): - x + my + m2 - 2m + 1 = 0$ cắt nhau?

A. m ≠ 1.    B. m ≠ 1 và m ≠ 2    C. m ≠ 2    D. m ≠ 1 hoặc m ≠ 2

Bảng đáp án:

VUIHOC đã soạn đề cương ôn tập về cả lý thuyết và bài tập tự luận các quy về các xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các em không còn gặp những khó khăn khi giải bài tập hoặc đề thi có câu hỏi về phần kiến thức. Để tham khảo thêm các dạng kiến thức Toán THPT, trong đó có Toán lớp 10, các em truy cập đường link online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô ngay tại đây nhé!