Bất phương trình Logarit cơ bản - đầy đủ và dễ hiểu nhất

Tác giả Minh Châu 14:44 15/10/2021 297 Tag Lớp 12

Bất phương trình Logarit cơ bản là dạng bài tập không thể thiếu trong các đề thi THPT Quốc gia. Tuy nhiên, không phải bạn nào cũng thành thạo dạng toán này, đặc biệt là các công thức bất phương trình logarit.

Bất phương trình Logarit cơ bản - đầy đủ và dễ hiểu nhất

Tổng quan về Bất phương trình Logarit cơ bản

1. Ôn tập định nghĩa bất phương trình Logarit cơ bản

Nếu phương trình Logarit có dạng $log_a{x}= b (a> 0; a\neq1)$ thì bất phương trình logarit sẽ có dạng $log_a{x}> b, log_a{x}\geqslant b, log_a{x}< b, log_a{x}\leqslant b$

Hướng dẫn một số cách tìm nghiệm cho bất phương trình Logarit $log_a{x}> b$

- Xét bất phương trình $log_a{x}> b$ 

+ Trường hợp a > 1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường hợp 0< 0<1 : $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

- Vẽ đồ thị minh họa bất phương trình  $log_a{x}> b$ với đồ thị hàm số $y = log_a{x}$ và đường thẳng y=b trên cùng một hệ trục tọa độ:

Từ đồ thị ta thấy:

+ Trường hợp a>1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường hợp 0<a<1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình được thể hiện như sau:

Trường hợp Tập nghiệm
a>1 0<a<1
$log_a{x}> b$ $(a^{b};+\infty)$ $[0,a^{b}]$
$log_a{x}\geqslant b$ $[a^{b};+\infty )$ $(0,a^{b}]$

Hướng dẫn một số cách tìm nghiệm cho bất phương trình Logarit logax<b:

- Xét bất phương trình $log_a{x}< b$

+ Trường hợp $a> 0:log_a{x}< b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

+ Trường hợp $0< a<  1: log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

Vẽ đồ thị minh họa bất phương trình $log_a{x}< b$  với đồ thị hàm số $y= log_a{x}$ và đường thẳng y=b trên cùng một hệ trục tọa độ:

Từ đồ thị ta thấy:

+ Trường hợp a>1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường hợp 0<a<1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$

- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình được thể hiện như sau:

Trường hợp Tập nghiệm
a>1 0<a<1
$log_a{x}< b$ $(0;a^{b})$        $(a^{b};+\infty)$
$log_a{x}\geqslant b$ $(0;a^{b}]$ $[a^{b};+\infty )$

2. Các công thức bất phương trình Logarit cơ bản và hướng dẫn cách giải chi tiết

2.1 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)$

Phương pháp giải

Để bất phương trình dạng $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)$ ta thực hiện phép biến đồi sau

Hoặc $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)\left\{\begin{matrix}
 a> 0&  & \\ 
 0< f(x)< g(x)&  & 
\end{matrix}\right.$

Hoặc $\left\{\begin{matrix}
 0< a< 1&  & \\ 
 f(x)>  g(x)< 0&  & 
\end{matrix}\right.$

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình $log_{\frac{1}{5}}(3x-5)> log_{\frac{1}{5}}(x+1)$

Điều kiện $(3x-5)> 0, x+1> 0\Rightarrow x> \frac{5}{3}$

Vì bất phương trình có cơ số <1 nên:

$log_{\frac{1}{5}}(3x-5)> log_{\frac{1}{5}}(x+1)\Leftrightarrow 3x-5< x+1\Leftrightarrow 2x< 6\Leftrightarrow x< 3$

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm $(\frac{5}{3};3)$

Ví dụ 2: 

Giải bất phương trinh $log_{3}(x^{2}-1)< 1-log_{\frac{1}{3}}(x-1)$

- Cách 1

Điều kiện $x^{2}-1> 0, x-1> 0\Leftrightarrow x> 1$

$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1) \Leftrightarrow log_{3}(x^{2}-1)< log_{3}(x-1))$

$\Leftrightarrow x^{2}-1< 3(x-1)\Leftrightarrow x_{2}-3x+2< 0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)< 0\Leftrightarrow 1< x< 2$

Kết hợp với điều kiện bất phương trình có nghiệm (1;2)

- Cách 2

$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1)) \Leftrightarrow log_{3}(x^{2}-1)<1+  log_{3}(x-1)$

$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1)) \Leftrightarrow 0< x^{2}-1< 3(x-1)$

$\left\{\begin{matrix}x^{2}-1>0&&\\x^{2}-3x+2<0&&\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left | x \right | > 1&  & \\ 1< x< 2&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1< x< 2$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (1;2)

2.2 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)< b$

Phương pháp giải

Để giải bất phương trình dạng $log_{a}f(x)< b$ ta thực hiện phép biến đổi sau

$log_{a}f(x)< b$ khi và chỉ khi hoặc:

+ $\left\{\begin{matrix}a> 1 &  & \\ 0< f(x) < a^{b}&  & \end{matrix}\right.$

+ $\left\{\begin{matrix}0< a< 1 &  & \\ 0< f(x)> g(x) < a& & \end{matrix}\right.$

Ví dụ

Giải phương trình: $log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$

Điều kiện $\left\{\begin{matrix}x^{2}-6x+10> 0&  & \\ x-4& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-3)^{2}+ 9> 0&  & \\ x> 4&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x> 4$

Ta có:

$log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$

$\Leftrightarrow -log_{3}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$

$\Leftrightarrow (x-4)^{2}< (x^{2}-6x+18)$

$\Leftrightarrow x^{2}-8x+16< x^{2}-6x+18$

$\Leftrightarrow 2x> -2\Leftrightarrow x> -1$

Kết hợp với điều kiện BPT có tập nghiệm: $x> 4$

2.3 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x) > b$

Phương pháp giải:

Để giải bất phương trình dạng $log_{a}f(x)> b$ ta thực hiện các phép đổi sau

$log_{a}f(x)> b$ khi và chỉ khi hoặc:

+ $\left\{\begin{matrix}a> 1 &  & \\ f(x)>a^{b} &  & \end{matrix}\right.$

+ $\left\{\begin{matrix}0< a< 1&  & \\ 0< f(x)< a^{b}&  & \end{matrix}\right.$

Ví dụ

Giải phương trình: $log_{8}(4-2x)\geqslant 2$

Điều kiện: $4-2x> 2\Rightarrow x< 2$

Ta có: $log_{8}(4-2x)\geqslant 2\Leftrightarrow log_{8}(4-2x)\geqslant log_{8}8^{2}$

$\Leftrightarrow 4-2x\geqslant 8^{2}\Leftrightarrow 2x\leqslant 60\Leftrightarrow x\leqslant -30$

Kết hợp với điều kiện BPT có tập nghiệm $(-\infty;30]$

3. Bài tập bất phương trình Logarit cơ bản - có đáp án

Các em tải bộ đề tại: Bài tập bất phương trình Logarit cơ bản

Các em cũng có thể xem thêm Livestream về Bất phương trình Logarit của thầy Thành Đức Trung tại:

 

Trên đây là toàn bộ công thức bất phương trình logarit cơ bản cũng như những dạng bài điển hình mà các em thường gặp nhất trong các đề thi THPTQG. Các em nhớ theo dõi các bài viết trên trang để có thêm nhiều kiến thức mới nhé! 

Khoá học liên quan

Toán 12 | Ôn thi THPTQG 2021 môn Toán

180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.

1.500.000
Chỉ còn 900.000
Chỉ còn 2 ngày
| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}
Toán 12 | Ôn thi THPTQG 2021 môn Toán

1.500.000

Chỉ còn 900.000

Chỉ còn nốt 2 ngày

ĐĂNG KÝ HỌC

Mục tiêu khóa học

  • - HIỂU SÂU 100% kiến thức Toán 12, một phần kiến thức Toán 11 có trong kì thi THPT QG. 
  • - Biết cách giải thông thường và một số cách giải nhanh theo phương thức trắc nghiệm.
  • - Cải thiện tư duy Toán học thông qua hệ thống các dạng bài tập vận dụng và vận dụng cao.
  • - Xâu chuỗi các kiến thức Toán cấp THPT để giúp học sinh hiểu sâu hơn, khả năng tự tìm được phương án giải trong mọi dạng Toán lần đầu gặp.
  • - Rèn luyện kỹ năng làm Toán với hệ thống bài tập ôn tập, luyện tập phân rõ các mức độ nhận thức.
  • - Đạt điểm 8+, 9+, 10 trong kì thi THPT QG 2021.

Thời gian học

  • - 12 tháng kể từ ngày kích hoạt 

Cấu trúc khóa học

  • - 180 clip bài giảng quay sẵn chất lượng cao
  • - Hơn 6700 câu hỏi luyện tập
  • - 20 đề ôn tập có video chữa chi tiết
  • - 30 đề tự luyện có lời giải chi tiết
  • - Các buổi livestream tổng ôn, chữa đề thi thử các tỉnh và thành phố, ...

Hỗ trợ

  • - Luôn có thầy cô trợ giảng trợ giúp trong nhóm facebook.
  • - Giải đáp thắc mắc liên quan dưới mỗi câu hỏi trên web.