Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số: Lý Thuyết & Bài Tập Trắc Nghiệm

Tác giả Cô Hiền Trần 13:50 30/11/2023 151,532 Tag Lớp 12

Hướng dẫn cách xét tính đơn điệu của hàm số, xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số thông qua việc ôn tập lý thuyết, quy tắc để áp dụng vào giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số: Lý Thuyết & Bài Tập Trắc Nghiệm

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Kiến thức về hàm số đơn điệu đã được đề cập tại các lớp học trước, tuy nhiên ở chương trình Toán 12, kiến thức này sẽ xuất hiện những dạng toán phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh có kiến thức chắc hơn về hàm số. Kiến thức này cũng thường xuyên xuất hiện trong quá trình ôn thi toán tốt nghiệp THPT QG những năm gần đây, vậy nên hiểu rõ dạng bài này này là rất quan trọng để dễ dàng “ăn điểm” trong kỳ thi. Cùng VUIHOC tìm hiểu để dễ dàng giải các dạng bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số nhé!

1. Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số

1.1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y= f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

Hàm số y=f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu $\forall X_{1,}X_{2}\in K,X_{1}<X_{2}\Rightarrow f(X_{1})<f(X_{2})\Rightarrow f(X_{1})<f(X_{2})$ .
Hàm số y=f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu $\forall X_{1,}X_{2}\in K$,$X_{1}<X_{2}\Rightarrow f(X_{1})>f(X_{2})\Rightarrow f(X_{1})>f(X_{2})$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

1.2. Các điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x)=0, $\forall x\in$ K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) 0, $\forall x\in$ K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f'(x) >0, $\forall x\in$ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K
Nếu f'(x) <0, $\forall x\in$ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K
Nếu f'(x)=0, $\forall x\in$ K thì hàm số không đổi trên khoảng K

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

2.1. Tìm tập xác định

Để tìm tập xác định của hàm số y=f(x) là tập giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa ta có:

Nếu P(x) là đa thức thì:

$\frac{1}{P(x)}$ có nghĩa $P(x)\neq 0$

$\frac{1}{\sqrt{P(x})}$ có nghĩa P(x) > 0

$\sqrt{P(x)}$ có nghĩa $P(x)\geq 0$

2.2. Tính đạo hàm

Bảng công thức tính đạo hàm của hàm số cơ bản:

$(x^{\alpha })' = \alpha .x^{\alpha - 1}$	$(u^{\alpha })' = \alpha .u^{\alpha - 1}.u'$
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$	$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}}$	$(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^{2}}$
$(sinx)' = cosx$	$(sinu)' = u'cosu$
$(cosx)' = -sinx$	$(cosu)' = -u'.sinu$
$(tanx)' = \frac{1}{cos^{2}x}$	$(tanu)' = \frac{u'}{cos^{2}u}$
$(cotx)' = -\frac{1}{sin^{2}x}$	$(cotu)' = -\frac{u'}{sin^{2}u}$
$(e^{x})' = e^{x}$	$(e^{u})' = u'.e^{u}$
$(a^{x})' = a^{x}.lna$	$(a^{u})' = u'.a^{u}.lna$
$(lnx)' = \frac{1}{x}$	$(lnu)' = \frac{u'}{xu}$
$(log_{a}x)' = \frac{1}{x.lna}$	$(log_{a}u)' = \frac{u'}{x.lna}$

2.3. Lập bảng biến thiên

Giả sử ta có hàm số y = f(x) thì:

f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số sẽ nghịch biến ở đấy.
f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số sẽ đồng biến ở đấy.

Quy tắc chúng sẽ là:

Ta tính f’(x), sau đó giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.
Lập bảng xét dấu f’(x).
Sau đó dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Minh họa về bảng biến thiên hàm số

2.4. Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Đây là bước quan trọng, ở bước này các em sẽ kết luận được sự đồng biến nghịch biến của hàm số trên khoảng nào. Để hiểu rõ hơn thì cùng tham khảo những ví dụ dưới đây nhé!

Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: $y=\frac{1}{3}x^{3}-3x^{2}+8x-2$

Giải:

TXĐ: D= R, $y'= x^{2}-6x^{2}+8$ , y’= 0

x= 2 hoặc x= 4

Ta có bảng biến thiên:

Kết luận hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(4;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng (2;4)

Dạng bài khảo sát tính đơn điệu của hàm số

3. Giải các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m

* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp:

Đối với hàm đa thức bậc ba: $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d; (a\neq 0)$ .

Tính $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ , khi đó

Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R $\Leftrightarrow \alpha >0$ và $\triangle '=b^{2}-3bc\leq 0$
Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R $\Leftrightarrow \alpha <0$ và $\triangle '=b^{2}-3bc\leq 0$

Đối với hàm phân thức bậc nhất: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$

Tính $y'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$ khi đó:

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hay (ad-bc)>0
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’<0 hay (ad-bc)<0

Ví dụ: Cho hàm số: $f(x)=x^{3}-3mx^{2}+3(2m-1)x+1$ . Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

Lời giải:

TXĐ: D = R
Tính $f'(x)=3x^{2}-6mx+3(2m-1)$

Đặt $g(x) = 3x^{2}-6mx+3(2m-1)$ có a = 3; b = -6m; c= 3(2m-1);

Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:

$\alpha >0$ và $\triangle '=b^{2}-a.c\leq 0$

$\Leftrightarrow \alpha =3>0$ và $\triangle '=9(m-1)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow m = 1$

Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R

* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG CHO TRƯỚC

Phương pháp:

Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).
Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để $f'(x)\geq 0$ hoặc $f'(x)\leq 0$ trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Cho hàm số $f(x)=x^{3}-3x^{2}-3(m+1)x-(m+1)$ (*)

Tìm m để hàm số đồng biến trên $[1;+\infty )$ .

Để hàm số đồng biến trên $[1;+\infty )$ thì $f'(x)\geq 0, x [1,+\infty)$ .

$\Rightarrow 3x^{2}-6x-3(m+1)\geq 0, \forall x\in [1;+\infty ]$

$\Rightarrow x^{2}-2x-m-1\geq 0$,$\forall x\in [1;+\infty ]$

$\Rightarrow x^{2}-2x-1\geq m,\forall x\in [1;+\infty ]$

Đặt $y(x)=\Rightarrow x^{2}-2x-1\Rightarrow y'=2x-2$
Cho $y' = 0 \Rightarrow x = 1$ . Ta có bảng biến thiên sau:

Bảng biến thiên tính đơn điệu của hàm số

Từ bảng biến thiên ta có $y(x) \geq m, x \in [1;+\infty ]$

Min $[y(x)]= -2 \geq m \Rightarrow \leq -2$

$x \in [1;+\infty )$

3.2. Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=|f(x)|

f(x) cụ thể cho trước. VD: $|x^{2}- 4x|$
f(x) có tham số dạng tách rời. VD: $|x^{3}-m|$

Bước 1: Khảo sát và lập bảng biến thiên của f(x)

Bước 2: Dùng phép suy bảng biến thiên của hàm số |f(x)|

Giữ nguyên phần nằm trên y = 0
Lấy đối xứng qua y = 0 phần bên dưới
Nhìn vào bảng biến thiên của |f(x)| suy ra đồng biến, nghịch biến

Ví dụ:

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=|x^{3}-3x^{2}+m -4|$

Giải:

Xét hàm số: $f(x)= x^{3}-3x^{2}+m -4$

Ta có $f'(x)= 3x^{2}-6x$ , f’(x) = 0 x= 0 hoặc x=2

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

Bảng biến thiên tính đơn điệu của hàm số

Vì đồ thị hàm số y=f(x) có được nhờ giữ nguyên phần đồ thị hàm số của y= f(x) ở trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở dưới lên trên qua trục Ox

Nên hàm số y=f(x) đồng biến trên $(3;+\infty )\Leftrightarrow f(3)\geq 0$

$m - 4\geq 0 \Leftrightarrow m\geq 4$

Đăng ký ngay để sở hữu bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài đạt 9+ thi Toán THPT Quốc Gia

3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số trên 1 khoảng

Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

Để hàm số nghịch biến trên [-1;3] thì f’(x)
$\leq 0,\forall x\in [-1,3]$ .

$\Rightarrow 3x^{2}-6x-3(m+1)\leq 0$,$\forall x\in [-1,3]$

$\Rightarrow -2x-m-1\leq 0$,$\forall x\in [-1,3]$ .

$\Rightarrow x^{2}-2x-1\leq m$,$\forall x\in [-1,3].$

Đặt $y(x) = x^{2}-2x-1 y'(x)=2x-2$
Cho $y'(x) = 0 \Rightarrow x=1$ . Ta có bảng biến thiên sau:

Bảng biến thiên tính đơn điệu của hàm số

Từ bảng biến thiên ta có: $y(x) \leq m$, $\forall x\in [-1,3]$

⇒ $Max[y(x)] = 2 \leq m \Rightarrow m \geq 2$

$x\in [-1,3]$

Kết luận: Vậy với $m\geq 2$ thì hàm số sẽ đồng biến trên khoảng [-1;3]

Bài tập tính đơn điệu của hàm số

Câu số 1: Hàm số y = -x³+ 3x² - 1 đồng biến trên khoảng nào?

A. $(-\infty ; 1)$

B. (0; 2)

C. $(2; +\infty )$

D. R

Câu số 2: Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2x³ - 6 là

A. $(-\infty , - 1); (1; +\infty )$

B. (-1; 1)

C. [-1; 1)

D. (0; 1) $(-\infty ; 0); (2; +\infty )$

Câu số 3: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x³ - 3x -1 là:

A. $(-\infty , - 1)$

B. $(1; +\infty )$

C. (-1; 1)

D. (0; 1)

Câu số 4: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 2x³- 6x + 20 là

A. $(-\infty ; -1); (1; +\infty )$

B. (-1; 1)

C. [-1; 1]

D. (0; 1)

Câu số 5: Các khoảng đồng biến của hàm số y = -x³ + 3x² + 1

A. $(-\infty ; 0); (2; +\infty )$

B. (0; 2)

C. [0; 2]

D. R

Câu số 6: Các khoảng đồng biến của hàm số có dạng y = x³ - 5x² + 7x - 3 là:

A. $(-\infty ; 1); (\frac{7}{3}; +\infty )$

B. $(1; \frac{7}{3})$

C. [-5; 7]

D. (7; 3)

Câu số 7: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x³ - 6x² + 9x là:

A. $(-\infty ; 1); (3; +\infty )$

B. (1; 3)

C. $[-\infty ; 1)$

D. $(3; +\infty )$

Câu số 8: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x³- x² + 2 là:

A. $(-\infty ; 0); (\frac{2}{3}; +\infty )$

B. $(0; \frac{2}{3})$

C. $(-\infty ; 0)$

D. $(8; +\infty )$

Câu số 9: Các khoảng đồng biến của hàm số y = 3x - 4x³

A. $(-\infty ; -\frac{1}{2}); (\frac{1}{2}; +\infty )$

B. $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

C. $(-\infty ; -\frac{1}{2})$

D. $(\frac{1}{2}; +\infty )$

Câu số 10: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3x - 4x³

A. $(-\infty ; -\frac{1}{2}); (\frac{1}{2}; +\infty )$

B. $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

C. $(-\infty ; -\frac{1}{2})$

D. $(\frac{1}{2}; +\infty )$

Câu số 11: Các khoản đồng biến của hàm số y = x³ -12x + 12 là

A. $(-\infty ; -2); (2; +\infty )$

B. (-2; 2)

C. $(-\infty ; -2)$

D. $(2; +\infty )$

Câu số 12: Hàm số y = -x³ + 3x² + 9x nghịch biến trên khoảng nào

A. R

B. $(-\infty ; -1) \cup (3; +\infty )$

C. $(3; +\infty )$

D. (-1; 3)

Câu số 13: Hàm số $y = \frac{1}{2}x^{4} + x^{3} -x + 5$ đồng biến trên

A. $(-\infty ; -1)$ và $(\frac{1}{2}; 2)$

B. $(-\frac{1}{2}; 1)$ và $(2; +\infty )$

C. $(-\infty ; -1)$ và $(2; +\infty )$

D. $(\frac{1}{2}; +\infty )$

Câu số 14: Khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{2 - x}{1 + x}$ là

A. R

B. $(2; +\infty )$

C. $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty )$

D. $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty )$

Câu số 15: Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng. Hàm số có dạng $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} -6x + 1$

A. Hàm số đồng biến trên (-2; 3)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 3)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; +\infty )$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -2 )$

>> Tham khảo thêm:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách xét tính đơn điệu của hàm số thường gặp. Tuy nhiên nếu em muốn đạt kết quả thì hãy làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Em có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

>> Xem thêm: