Phương pháp giải nhanh bất phương trình bậc 2 - Toán 10

Tác giả Minh Châu 11:40 08/10/2024 318,908 Tag Lớp 10

Bất phương trình bậc 2 là một trong những dạng toán khó thuộc chương trình Toán lớp 10 bởi tính đa dạng và phối hợp nhiều phương pháp giải của nó. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ cùng các em học sinh ôn tập lý thuyết và tham khảo các dạng bài tập bất phương trình bậc 2 điển hình.

Phương pháp giải nhanh bất phương trình bậc 2 - Toán 10

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Tổng ôn lý thuyết bất phương trình bậc 2

1.1. Định nghĩa bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc 2 ẩn x có dạng tổng quát là $ax^2+bx+c<0$ (hoặc ax² + bx + c > 0), trong đó a,b,c là những số thực cho trước, $a\neq 0$

Ví dụ về bất phương trình bậc 2: $x^2-2>0, 2x^2+3x-5>0$ ,...

Giải bất phương trình bậc 2 $ax^2+bx+c<0$ thực chất chính là quá trình tìm các khoảng thoả mãn $f(x)=ax^2+bx+c$ cùng dấu với a (a<0) hoặc trái dấu với a (a>0).

1.2. Tam thức bậc hai - dấu của tam thức bậc hai

Ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:

Cho $f(x)=ax^2+bx+c, =b^2-4ac$

Nếu $\triangle <0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $x\in \mathbb{R}$ )
Nếu $\triangle >0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (trừ trường hợp x=-b/2a)
Nếu $\triangle =0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$ ; trái dấu với hệ số a khi $x_1<x<x_2$ trong đó $x_1, x_2$ (với $x_1<x_2$ ) là 2 nghiệm của hàm số f(x)

Bảng xét dấu của tam thức bậc 2:

bảng xét dấu tam thức bậc hai bất phương trình bậc 2

Nhận xét:

$ax^{2} + bx +c > 0, \forall R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a > 0\\ \Delta < 0 \end{matrix}\right.$

$ax^{2} + bx +c < 0, \forall R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a < 0\\ \Delta < 0 \end{matrix}\right.$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Các dạng bài tập giải bất phương trình bậc 2 lớp 10

Trong chương trình Đại số lớp 10 khi học về bất phương trình bậc 2, VUIHOC tổng hợp được 5 dạng bài tập điển hình thường gặp nhất. Các em học sinh nắm vững 5 dạng cơ bản này sẽ có thể giải hầu hết tất cả các bài tập bất phương trình bậc 2 trong chương trình học hay trong các đề kiểm tra.

2.1. Dạng 1: Giải bất phương trình bậc 2 lớp 10

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình bậc 2 về dạng một vế bằng 0, một vế là tam thức bậc 2.
Bước 2: Xét dấu vế trái tam thức bậc hai và kết luận.

Ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK đại số 10): Giải các bất phương trình sau đây:

a) $4x^2-x+1<0$

b) $-3x^2+x+40$

c) $x^2-x-60$

Hướng dẫn giải:

a) $4x^2 - x+1<0$

– Xét tam thức $f(x) = 4x^2 - x + 1$

– Ta có: Δ= -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $-3x^2 + x + 4 \geq 0$

– Xét tam thức $f(x) = -3x^2 + x + 4$

– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm phân biệt là: x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

⇒ f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu với a, ngoài cùng dấu với a)

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]

c) $x^2 - x - 6 \leq 0$

– Xét tam thức $f(x)=x^2 - x - 6$ có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

⇒ f(x) ≤ 0 thỏa mãn khi -2 ≤ x ≤ 3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].

Ví dụ 2 (trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình bậc 2 sau:

a) $-5x^2 + 4x + 12 < 0$

b) $16x^2 + 40x +25 < 0$

c) $3x^2 - 4x+4 \geq 0$

Hướng dẫn giải:

a) Tam thức bậc hai -5x² + 4x + 12 có 2 nghiệm lần lượt là 2 và $-\frac{6}{5}$ và có hệ số a = -5 < 0 nên

$-5x^{2} + 4x + 12 < 0$

$\Leftrightarrow$ $x < -\frac{6}{5}$ hoặc x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

$S = (-\infty ; -\frac{6}{5}) \cup (2; +\infty )$

b)Tam thức $16x^2 +40x + 25$ có:

$\Delta ' = 20^2 - 16.25 = 0$ và hệ số a = 16 > 0

Do đó; $16x^2 +40x + 25$ ≥ 0; ∀ x ∈ R

Suy ra, bất phương trình bậc 2 $16x^2 +40x + 25 < 0$ vô nghiệm

Vậy S = ∅

c)Tam thức $3x^{2} - 4x +4$ có ∆’ = (-2)2 – 4.3 = -10 < 0

Hệ số a= 3 > 0

Do đó, $3x^2 - 4x +4 \geq 0; \forall x \in \mathbb{R}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đã cho là S = $\mathbb{R}$ .

Tham khảo ngay bộ sách ôn thi THPT tổng hợp kiến thức phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán

2.2. Dạng 2: Cách giải bất phương trình bậc 2 dạng tích

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình bậc 2 về dạng tích và thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2 đã biến đổi trên và kết luận nghiệm giải ra được.

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình bậc 2 dạng tích sau đây:

a) $(1 - 2x)(x^{2} - x - 1) > 0$

b) $x^{4} - 5x^{2} + 2x + 3 \leq 0$

Hướng dẫn giải:

a) Lập bảng xét dấu:

Bảng xét dấu bất phương trình bậc 2 dạng tích

Dựa vào bảng xét dấu trên, ta có tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 dạng tích đề bài là:

$S = (-\infty ; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

b) Bất phương trình tương đương có dạng:

$(x^{4} - 4x^{2} + 4) - (x^{2} - 2x + 1) \leq 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} -2)^{2} - (x - 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow (x^{2} + x - 3)(x^{2} - x - 1) \leq 0$

Ta có bảng xét dấu sau:

Bảng xét dấu bất phương trình bậc 2 dạng phương trình tích

Dựa vào bảng xét dấu trên, ta có tập nghiệm bất phương trình bậc 2 đã cho là:

$S = \left [\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right ] \cup \left [\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right ]$

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình bậc 2 sau đây có nghiệm:

$\sqrt{x - m^{2} - m} (3 - \frac{x + 1}{x^{3} - x^{2} - 3x + 3}) < 0$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\sqrt{x - m^{2} - m} (3 - \frac{x + 1}{x^{3} - x^{2} - 3x + 3}) < 0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3 - \frac{x + 1}{x^{3} - x^{2} - 3x + 3} < 0\\ x > m^{2} + m \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{(x - 2)(3x^{2} + 3x - 4)}{(x - 1)(x^{2} - 3)}\\x > m^{2} + m \end{matrix}\right. < 0$

Bảng xét dấu:

Bảng xét dấu bất phương trình bậc 2 dạng tìm tham số m

Tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đề bài là:

$S = \left ( \frac{-3 - \sqrt{57}}{6}; -\sqrt{3} \right ) \cup \left ( \frac{-3 + \sqrt{57}}{6}; 1 \right ) \cup (\sqrt{3}; 2)$

Do đó, bất phương trình bậc 2 đã có có nghiệm khi và chỉ khi:

$m^2+m<2 \Rightarrow m^2+m-2<0 \Rightarrow -2<m<1$

Kết luận: -2 < m < 1

2.3. Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi giải bất phương trình bậc 2 lớp 10 về dạng tích và thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
Bước 2: Xét dấu của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2 ở trên, kết luận nghiệm

Lưu ý: Cần lưu ý tới các điều kiện xác định của bất phương trình khi giải bất phương trình bậc 2 có ẩn ở mẫu.

Ví dụ 1 (trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình bậc 2 sau đây:

a) $\frac{x^{2} - 9x + 14}{x^{2} - 5x + 4} > 0$

b) $\frac{-2x^{2} +7x + 7}{x^{2} - 3x - 10} \leq -1$

Hướng dẫn giải:

a)Ta có:

x² - 9x + 14 = 0

$\Leftrightarrow$ x = 2 hoặc x = 7

và x² - 5x + 4 = 0

$\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = 4

Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 1
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 là: S = (-∞; 1) ∪ (7; + ∞)

b)Ta có:

Giải bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 1

Lại có: $-x^2+4x-3 = 0 \Rightarrow x=1; x=3$

Và: $x^2-3x-10=0 \Rightarrow x=5, x=-2$

Ta có bảng xét dấu sau đây:

Bảng xét dấu bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 1

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đã cho là: S = (-∞; -2) ∪ [1;3] ∪ (5; +∞)

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình bậc 2 sau:

Giải bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 2

Hướng dẫn giải:

a)Bảng xét dấu có dạng:

Bảng xét dấu bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 2

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình bậc 2 đã cho là:

Tập hợp nghiệm bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 2

Hướng dẫn giải bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 2

Ta có bảng xét dấu:

Bảng xét dấu giải bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 2

Dựa vào bảng xét dấu trên, ta có tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đề bài là:

Tập hợp nghiệm giải bất phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu ví dụ 2

2.4. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng

Phương pháp giải:

Ta sử dụng một số tính chất sau:

Nếu $\triangle <0$ thì tam thức bậc 2 sẽ cùng dấu với a.
Bình phương, giá trị tuyệt đối, căn bậc 2 của biểu thức luôn không bao giờ âm.

Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại số 10): Tìm các giá trị tham số m để phương trình sau đây vô nghiệm:

a) $(m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0$

b) $(3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0$

Hướng dẫn giải:

a) $(m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0$ (*)

• Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) biến đổi thành:

2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 => phương trình (*) có một nghiệm

⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

$\Delta ' = b'^2 - ac = (2m - 3)^2 - (m - 2)(5m - 6)$

$= 4m^2 - 12m + 9 - 5m^2 + 6m + 10m - 12$

$= -m^2 + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)$

Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (-m + 3)(m – 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) $(3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0$ (*)

• Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) biến đổi thành:

-6x + 5 = 0 ⇔ x = ⅚ ⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

$\Delta ' = b' - ac = (m + 3)^2 - (3 - m)(m + 2)$

$= m^2 + 6m + 9 - 3m - 6 + m^2 + 2m$

$= 2m^2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)$

Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2 (Trang 145 sgk Đại số lớp 10 nâng cao): Tìm các giá trị tham số m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm:

a) $(m-5)x^2-4mx+m-2=0$

b) $(m+1)x^2+2(m-1)x+2m-3=0$

Hướng dẫn giải:

a) $(m-5)x^2-4mx+m-2=0$

+ Khi m – 5 = 0 ⇒ m=5 phương trình trở thành:

-20x + 3 = 0⇒x = 3/20

+ Khi m – 5 ≠ 0⇒m ≠ 5, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

Δ’ =(-2m)^2– (m – 2)( m – 5)≥0

⇒ $4m^2-(m^2-5m-2m+10) \geq 0$ ⇒ $4m^2-m^2+7m-10 \geq 0$

$\Rightarrow 3m^{2} + 7m - 10 \geq 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m \geq 1\\ m \leq -\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$

Kết hợp 2 trường hợp trên, ta có tập hợp các giá trị m để phương trình có nghiệm là:

$m \in (-\infty ; \frac{10}{3}] \cup [1; +\infty )$

b) $(m+1)x^2+2(m-1)x+2m-3=0$

Khi m=-1 thì phương trình đã cho trở thành:

0.x²+ 2(-1-1)x + 2.(-1) - 3 = 0

Hay -4x-5=0 khi và chỉ khi x=-5/4

Do đó, m=-1 thoả mãn đề bài.

Khi $m\neq -1$ , phương trình đề bài có m nghiệm khi và chỉ khi:

$\Delta ' = (m - 1)^{2} - (m + 1)(2m - 3) \geq 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 - (2m^{2} - 3m + 2m -3) \geq 0$

$\Leftrightarrow -m^{2} - m + 4 \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \leq m \leq \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$

Kết hợp cả 2 trường hợp vậy các giá trị của m thỏa mãn đề bài lại:

$m \in \left [ \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right ]$

2.5. Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc 2

Phương pháp giải:

Bước 1: Giải từng bất phương trình bậc 2 có trong hệ.
Bước 2: Kết hợp nghiệm, sau đó kết luận nghiệm.

Ví dụ (Trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các hệ bất phương trình bậc 2 sau:

$a) \left\{\begin{matrix} 2x^{2} + 9x + 7 > 0\\ x^{2} + x - 6 < 0 \end{matrix}\right.$

$b) \left\{\begin{matrix} 4x^{2} - 5x - 6 \leq 0\\ -4x^{2} + 12x - 5 < 0 \end{matrix}\right.$

$c) \left\{\begin{matrix} -2x^{2} - 5x + 4 \leq 0\\ -x^{2} - 3x + 10 \geq 0 \end{matrix}\right.$

$d) \left\{\begin{matrix} 2x^{2} + x - 6 > 0\\ 3x^{2} - 10x + 3 > 0 \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải ví dụ giải hệ bất phương trình bậc 2

Hướng dẫn giải ví dụ giải hệ bất phương trình bậc 2 phần b

Hướng dẫn giải ví dụ giải hệ bất phương trình bậc 2 phần c

Hướng dẫn giải ví dụ giải hệ bất phương trình bậc 2 phần d

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Các em đã cùng VUIHOC ôn tập tổng quan lý thuyết bất phương trình bậc 2 kèm theo các dạng bài tập bất phương trình bậc 2 điển hình, thường xuất hiện trong chương trình Toán lớp 10 và các đề kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia. Để học nhiều hơn những kiến thức Toán THPT bổ ích, các em truy cập trang web trường học online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học ngay tại đây nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết