Lý thuyết hàm số bậc hai lớp 10 - đầy đủ và chi tiết nhất

1. Hàm số bậc hai lớp 10

1.1. Định nghĩa

Hàm số bậc hai lớp 10 được định nghĩa là dạng hàm số có công thức tổng quát là $y=ax^2+bx+c$, trong đó a,b,c là hằng số cho trước, $a\neq 0$.

Tập xác định của hàm số bậc hai lớp 10 là: $D=\mathbb{R}$

Biệt thức Delta: $\Delta =b^2-4ac$

1.2. Chiều biến thiên và bảng biến thiên

Cho hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$ với $a>0$, chiều biến thiên của hàm só bậc hai lớp 10 khi đó là:

• Đồng biến trên khoảng $(\frac{-b}{2a};+\infty )$

• Nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;\frac{-b}{2a})$

• Giá trị cực tiểu của hàm số bậc hai lớp 10 đạt tại $(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a})$. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{-\Delta }{4a}$ tại $x=\frac{-b}{2a}$

Cho hàm số $y=ax^2+bx+c$ với $a<0$, chiều biến thiên của hàm số bậc hai lớp 10 khi đó là:

• Đồng biến trên khoảng $(-\infty ;\frac{-b}{2a})$

• Nghịch biến trên khoảng $(\frac{-b}{2a};+\infty )$

• Giá trị cực đại của hàm số bậc hai lớp 10 đạt tại $(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a})$. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{-\Delta }{4a}$ tại $x=\frac{-b}{2a}$

Sau khi xét được chiều biến thiên, ta có thể vẽ được bảng biến thiên như sau:

2. Đồ thị hàm số bậc hai lớp 10

Đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 $y=ax^2+bx+c (a\neq 0)$ là đường parabol với:

• Đỉnh: I$(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a})$

• Trục đối xứng: đường thẳng $x=\frac{-b}{2a}$

• Nếu $a>0$, phần lõm của parabol quay lên trên; Nếu $a<0$, phần lõm của parabol quay xuống dưới.

• Giao điểm với trục tung: $A(0;c)$

• Hoành độ giao điểm với trục hoành (nếu có) là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$.

Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c (a\neq 0)$ có dạng như sau:

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 như sau:

Cách 1 (cách này có thể dùng cho mọi trường hợp):

• Bước 1: Xác định toạ độ đỉnh I

• Bước 2: Vẽ trục đối xứng của đồ thị

• Bước 3: Xác định toạ độ các giao điểm của Parabol lần lượt với trục tung và trục hoành (nếu có).

Cách 2 (sử dụng cách này khi đồ thị hàm số có dạng $y=ax^2$)

Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c (a\neq 0)$ được suy ra từ đồ thị hàm $y=ax^2$ bằng cách:

• Nếu $\frac{b}{2a}>0$ thì tịnh tiến song song với trục hoành $\left | \frac{b}{2a} \right |$ đơn vị về phía bên trái, về bên phải nếu $\frac{b}{2a}<0$.

• Nếu $\frac{-\Delta }{4a}>0$ thì tịnh tiến song song với trục tung $\left | \frac{-\Delta }{4a} \right |$ đơn vị lên trên, xuống dưới nếu $\frac{-\Delta }{4a}<0$.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

3. Các dạng bài tập hàm số bậc hai lớp 10

Hàm số bậc hai lớp 10 có rất nhiều các dạng bài tập với nhiều mức độ khác nhau. Để giúp các em học sinh có thể xử lý tất cả bài tập liên quan đến kiến thức hàm số bậc hai lớp 10, VUIHOC đã tổng hợp và phân chia thành 4 dạng bài tập điển hình với hướng dẫn giải chi tiết sau đây. 

3.1. Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai dạng $y = ax^2 + bx +c$

Cách bước giải:

• Bước 1: Gọi hàm số bậc hai cần tìm là $y=ax^2+bx+c (a\neq 0)$

• Bước 2: Dựa vào giả thiết ở đề bài đã cho, thiết lập các mối tương quan và tiến hành giải hệ phương trình với ẩn a, b, c.

• Bước 3: Suy ra hàm số bậc hai cần tìm.

Ví dụ 1: Xác định Parabol (P) $y=ax^2+bx+c (a/neq 0)$. Biết rằng (P) đi qua điểm $A(2;3)$ và có đỉnh $I(1;2)$

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2 (Hoạt động 1 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1): Cho hàm số $y=–0,00188(x – 251,5)^2+118$

a) Viết công thức xác định của hàm số y dưới dạng đa thức theo lũy thừa với số mũ giảm dần của x. 

b) Bậc của hàm số đề bài cho bằng bao nhiêu?

c) Hệ số của $x^2$, hệ số của x và hệ số tự do lần lượt bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$y=–0,00188(x–251,5)^2+118$

⇔ $y=–0,00188(x^2–503x + 63252,25)+118$

⇔ $y=–0,00188x^2+0,94564x–118,91423+118 $

⇔ $y=–0,00188x^2+0,94564x–0,91423$

Vậy công thức hàm số y được viết dưới dạng đa thức theo lũy thừa giảm dần của x là: $y=–0,00188x^2+0,94564x–0,91423$. 

b) Đa thức $–0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423$ có bậc là 2. (bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức)

c) Trong đa thức trên, ta có:

+ Hệ số của $x^2$ là: $–0,00188$

+ Hệ số của $x$ là: $0,94564$

+ Hệ số do là: $– 0,91423$

3.2. Dạng 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai lớp 10

Phương pháp giải

Để lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 $y=ax^2+bx+c (a\neq 0)$, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm toạ độ của đỉnh I$(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a})$

• Bước 2: Tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số theo công thức $x=\frac{-b}{2a}$

• Bước 3: Tìm hoành độ và tung độ của các điểm mà đồ thị hàm số giao nhau với trục hoành và trục tung (nếu có, tuỳ thuộc vào từng hàm số đề bài). Ngoài những điểm giao nhau, ta cần tìm thêm một số điểm đặc biệt khác của đồ thị (điểm cắt, điểm đối xứng,...) để vẽ đồ thị thêm chính xác hơn.

• Bước 4: Tiến hành vẽ đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 theo các điểm đã xác định được ở bước 3.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2+3x+2$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy ta có thể suy ra: Đồ thị hàm số $y=x^2+3x+2$ có đỉnh $I(-\frac{3}{2};-\frac{1}{4})$ và đi qua các điểm A(-2;0), B(-1;0), C(0;2), D(-3;2).

Đồ thị hàm số $y=x^2+3x+2$ nhận đường $x=-\frac{3}{2}$ làm trục đối xứng và có phần lõm hướng lên trên.

Ví dụ 2 (Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 10 tập 1): Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:

a) $y=x^2–4x–3$

b) $y=x^2+2x+1$

Hướng dẫn giải:

a) $y=x^2–4x–3$

Ta có: a=1, b=-4, c=-3, $\Delta =(-4)^2-4.1.(-3)=28.$

Toạ độ đỉnh: I(2;-7)

Trục đối xứng: $x=2$

Giao điểm của parabol với trục tung: A(0;-3)

Giao điểm của parabol với trục hoành: B(2-7;0) và C(2+7;0)

Điểm đối xứng với A(0;-3) qua trục $x=2$ là D(4;-3)

Vì $a>0$ nên phần lõm của đồ thị hướng lên trên.

Đồ thị của hàm số bậc hai lớp 10 $y=x^2–4x–3$ có dạng như sau:

b) $y=x^2+2x+1$

Ta có: a=1; b=2; c=1; =$2^2-4.1+1=0$

Toạ độ đỉnh: I(-1;0)

Trục đối xứng: $x=-1$

Giao điểm của parabol với trục tung là A(0;1)

Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh I.

Điểm đối xứng với A(0;1) qua trục đối xứng $x=-1$ là B(-2;0)

Lấy điểm C(1;4) thuộc đồ thị hàm số đề bài, điểm đối xứng C qua trục x=-1 là điểm D(-3;4)

Vì $a>0$ nên phần lõi của đồ thị hướng lên phía trên.

Đồ thị hàm số $y=x^2+2x+1$ có dạng sau đây:

3.3. Dạng 3: Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

Đây là dạng toán hàm số bậc hai lớp 10 nâng cao, thường khá ít gặp trong chương trình phổ thông. Đối với học sinh đặt mục tiêu đạt điểm 8+ môn Toán, các em cần nắm vững dạng toán tìm min max của hàm số bậc hai này.

Phương pháp giải:

Dựa theo đồ thị hoặc theo bảng biến thiên của hàm số $y=ax^2+bx+c (a\neq 0)$, học sinh sẽ xác định được các điểm max và điểm min của hàm số trong khoảng giá trị [a;b] tại $x=a$, $x=b$ hoặc $x=-\frac{b}{2a}$.

3.4. Dạng 4: Tìm tọa độ giao điểm hàm số bậc hai lớp 10

Để giải được bài toán dạng tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị $f(x)$ và $g(x)$. Các em học sinh cần giải phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=g(x)$. (1)

• Để tìm tung độ của giao điểm, các em thay x vào hàm số $y=f(x)$ hoặc $y=g(x)$ để tính giá trị y.

• Trường hợp (1) có n nghiệm thì 2 đồ thị $f(x)$ và $g(x)$ sẽ có n điểm chung.

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị bậc hai và đường thẳng sau:

(P):$y=x^2–2x–1$ và $d:y=x–1$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số (P) và đường thẳng (d), ta có:

Ví dụ 2 (Luyện tập 4 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1): Cầu cảng Sydney là một trong những hình ảnh biểu tượng của thành phố Sydney và nước Australia.

ộ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney có thể biểu thị theo độ dài  x (m) tính từ chân cầu bên trái dọc theo đường nối với chân cầu bên phải như sau (Hình 10): 

$y=–0,00188(x – 251,5)2+118$.

Độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Ta có: $y= –0,00188(x – 251,5)2+118$

Vì (x – 251,5)2 ≥ 0 với mọi x

⇒$–0,00188(x–251,5)^2 ≤ 0$ với mọi x 

⇒ $–0,00188(x–251,5)^2+118 ≤ 118$ với mọi x 

Hay y ≤ 118 với mọi x

Do đó giá trị lớn nhất của y là 118 khi $x–251,5=0$ hay $x=251,5$. 

Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118m.

Cách 2: Ta có: $y=–0,00188(x – 251,5)2+118$

Hay $y=–0,00188x^2+ 0,94564x–0,91423$, đây chính là hàm số bậc hai. 

Ta có: $a=–0,00188<0$ nên đồ thị hàm số trên có bề lõm hướng xuống dưới hay điểm đỉnh của đồ thị là điểm cao nhất, vậy giá trị lớn nhất cần tìm chính là tung độ của đỉnh. 

Ta có: $b=0,94564, c=–0,91423$

$∆ = (0,94564)2–4(– 0,00188)(– 0,91423)=0,88736$

Suy ra: -∆4a=0,887364.(-0.00188)=118

Vậy độ cao lớn nhất của cầu cảng Sydney là 118m.

Qua bài viết trên, VUIHOC hy vọng rằng các em học sinh sẽ nắm chắc được lý thuyết và không gặp khó khăn với các dạng bài tập hàm số bậc hai lớp 10. Để vững kiến thức Toán lớp 10, Toán THPT,... các em truy cập trang web giáo dục vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với VUIHOC ngay từ bây giờ nhé!