Tổng hợp bài tập bpt bậc nhất 2 ẩn Toán 10

Tác giả Minh Châu 15:29 21/10/2024 133,205

Bpt bậc nhất 2 ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là những dạng bài tập quen thuộc nhưng chắc chắn đã từng gây không ít khó khăn cho các bạn học sinh lớp 10. Trong bài viết dưới đây, cùng VUIHOC thực hành các dạng bài tập bpt bậc nhất 2 ẩn chọn lọc nhé!

Tổng hợp bài tập bpt bậc nhất 2 ẩn Toán 10

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Tổng quan lý thuyết bpt bậc nhất 2 ẩn

1.1. Định nghĩa

Bpt bậc nhất 2 ẩn x và y có dạng tổng quát như sau:

$ax+by\leq c(ax+by<c, ax+by\geq c, ax+by>c)$

Trong đó:

a, b, c là những số thực đề bài cho trước
a và b không cùng bằng 0
x và y là các biến (ẩn số)

Hai biến số $(x_0;y_0)$ sao cho $ax_0+by_0c$ là bất đẳng thức đúng thì cặp biến số đó được gọi là 1 nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn $ax+by\geq c$ .

Ví dụ về bpt bậc nhất 2 ẩn: $5x+y>1$ ; $2x-y<-1$ ;...

>>> Xem thêm: Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn - lý thuyết và bài tập Toán 10

1.2. Miền nghiệm

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn lớp 10 được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ chính là nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ: Miền nghiệm biểu diễn hình học (phần không bị gạch) của bpt bậc nhất 2 ẩn $3x-2y>-6$ được biểu diễn theo hình dưới đây:

Miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn 3x-2y>-6

Để xác định và biểu diễn miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn $ax+b+c<0$ , các em học sinh thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:ax+by+c=0$
Bước 2: Xét điểm $M(x_0;y_0)$ không thuộc đường thẳng d. Thường ở bước này, ta sẽ lấy điểm M là gốc toạ độ.
Bước 3: Tính $ax_0+by_0$ và so sánh giá trị với c.
Bước 4: Kết luận
- Nếu $ax_0+by_0<c$ thì nửa mặt phẳng chứa điểm $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình ax+byc
- Nếu $ax_0+by_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm $M_0$ chính là miền nghiệm của bất phương trình ax+byc

Lưu ý: Miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn $ax_0+by_0<c$ chính là miền nghiệm của bất phương trình $ax_0+by_0\leq c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=0$ .

1.3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 cũng tương tự như hệ bất phương trình một ẩn đã học ở các bài trước.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y mà ta cần tìm những nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là 1 nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

Cũng giống như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn miền nghiệm của hệ với các bước thực hiện giống như xét bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Để hiểu chi tiết hơn cách xét miền nghiệm dạng hệ bất phương trình, ta cùng xem ví dụ dưới đây:

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

$\left\{\begin{matrix} 3x + y \leq 6\\ x + y \leq 4\\ x \geq 0\\ y \geq 0 \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

Vẽ các đường thẳng sau đây:

$d_1: 3x+y=6$

$d_2: x+y=4$

$d_3: x=0(Oy)$

$d_4: y=0(Ox)$

Do điểm $M_0(1;1)$ có toạ độ thoả mãn mọi bất phương trình trong hệ, nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ $(d_1), (d_2), (d_3), (d_4)$ không chứa điểm $M_0$ . Miền không bị tô đậm trong hình dưới đây chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đề bài.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bpt bậc nhất 2 ẩn

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Bài tập luyện tập bpt bậc nhất hai ẩn

2.1. Bài tập giải chi tiết

Câu 1: Mô tả dạng hình học miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn sau:

$\frac{x-2y}{2}>\frac{2x+y+1}{3}$

Câu 2: Xác định miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn: $(x-y)(x^3+y^3)\geq 0$

Câu 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dưới đây không chứa một trong các điểm nào sau đây: A(3;2), B(6;3), C(6;4), D(5;4)?

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=y-x trên miền xác định bởi hệ bpt bậc nhất 2 ẩn sau đây là bao nhiêu?

$\left\{\begin{matrix} y - 2x \leq 2\\ 2y - x \geq 4\\ x + y \leq 5 \end{matrix}\right.$

Câu 5: Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của 2 loại vitamin A và B. Nhà khoa học đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, một người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không vượt quá 600 đơn vị vitamin A và không vượt quá 500 đơn vị vitamin B. Do tác động phối hợp của 2 loại vitamin trên nên mỗi ngày 1 người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để 1 người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá trị 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng.

Hướng dẫn giải:

Câu 1: Ta có $\frac{x - 2y}{2} > \frac{2x + y + 1}{3}$

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng : x+4y+2=0.

Xét điểm O(0;0), ta thấy rằng (0;0) không phải nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ (không kể đường thẳng ) và không chứa điểm O(0;0) (miền không được tô màu ở hình vẽ).

Hướng dẫn giải biểu diễn miền của hệ bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 1

Câu 2:

Ta có: $(x-y)(x^3+y^3) \geq 0$

$(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)\geq 0$

$(x-y)(x+y)\geq 0$

Giải hệ bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 2

Vậy, miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn đã cho gồm 2 miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (1) và (2).

Vẽ các đường thẳng (d): x + y = 0, (d’’): x - y = 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Xét điểm M(1;0): Điểm M là nghiệm của các bất phương trình của hệ (1) do đó M thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1).

Xét điểm N(-1;0), ta có (-1;0) là nghiệm của các bpt bậc nhất 2 ẩn hệ (2) do đó N(-1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2).

Vậy miền nghiệm cần tìm là mặt phẳng không được tô màu trong hình vẽ dưới đây:

Hướng dẫn tìm miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 2

Câu 3:

Vẽ 3 đường thẳng:

$(d_1):x-y=0$

$(d_2):x-3y=-3$

$(d_3):x+y=5$

Ta thấy (5;3) là nghiệm của cả 3 bpt bậc nhất 2 ẩn. Điều đó có nghĩa là điểm (5;3) thuộc cả 3 miền nghiệm của 3 bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đề bài cho.

hướng dẫn tìm miền của hệ bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 3

Câu 4:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bpt bậc nhất 2 ẩn đề bài trên hệ trục toạ độ như hình vẽ sau đây:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 4

Ta thấy, biểu thức F=y-x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc điểm C.

Ta có: F(A)=4-1=3; F(B)=2; F(C)=3-2=1.

Vậy, minF=1 khi x=2 và y=3.

Câu 5:

Gọi $x_0, y_0$ lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để 1 người cần dùng trong 1 ngày.

Trong 1 ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A và B nên ta có: $400\leq x+y\leq 1000$ .

Hằng ngày tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có: $x\leq 600, y\leq 500$ .

Mỗi ngày 1 người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A nên ta có: $0,5x\leq y\leq 3x$ .

Số tiền cần dùng mỗi ngày là: $T(x;y)=9x+7,5y$ .

Bài toán trở thành: Tìm $x_0, y_0$ thoả mãn hệ

$\left\{\begin{matrix} 0\leq x \leq 600, 0\leq y\leq 500\\ 400\leq x + y \leq 1000\\ 0,5x \leq y\leqslant 3x \end{matrix}\right.$

để $T(x;y)=9x+7,5y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải hệ, ta được x=100 và y=300

Vậy 1 người cần dùng 100 đơn vị Vitamin A và 300 đơn vị Vitamin B để chi phí rẻ nhất.

2.2. Bài tập bpt bậc nhất 2 ẩn dạng trắc nghiệm

Câu 1: Bất phương trình nào sau đây là bpt bậc nhất 2 ẩn?

A. $2x^2+3y>0$

B. $x^2+y^2<2$

C. $x+y^2 < 0$

D. $x+y < 0$

Câu 2: Miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn: $3x+2(y+3)>4(x+1)-y+3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. (3;0)

B. (3;1)

C. (2;1)

D. (0;0)

Câu 3: Điểm A(-1;3) là điểm thuộc miền nghiệm của bpt bậc nhất 2 ẩn nào sau đây?

A. $-3x+2y-4>0$

B. $x+2y<0$

C. $3x-y>0$

D. $2x-y+4>0$

Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình $x+y\leq 2$ là phần tô đậm trong hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

Bài tập trắc nghiệm bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 4

Câu 5: Phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bpt bậc nhất 2 ẩn sau đây?

Bài tập bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 5

A. 2x-y<3

B. 2x-y>3

C. x-2y<3

D. x-2y>3

Câu 6: Cho hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn Hệ bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 6 . Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. O(0;0)

B. M(1;1)

C. N(-1;1)

D. P(-1;-1)

Câu 7: Miền nghiệm của hệ bất phương trình Hệ bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 7 là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau đây?

Bài tập trắc nghiệm hệ bpt bậc nhất 2 ẩn - câu 7

Câu 8: Trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương hiệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo.

Để pha được 1 lít nước cam cần 30g đường, 1g hương hiệu và 1 lít nước và 1g hương liệu;
Để pha được 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu.

Mỗi lít nước cam sẽ nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm cao nhất?

A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo

B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo

C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo

D. 4 lít nước cam và 6 lit nước táo

Câu 9: Công ty bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc $B_1$ , được cao Sao vàng và đựng “Quy sâm đại bồ hoàn”. Để sản xuất các loại hộp giấy trên, công ty dùng các tấm bìa kích thước như nhau. Mỗi tấm bìa có 2 cách cắt khác nhau.

Cách thứ nhất cắt được 3 hộp $B_1$ , 1 hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
Cách thứ hai cắt được 2 hộp $B_1$ , 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm.

Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp $B_1$ tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao Sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án nào sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?

A. Cắt theo cách 1 được x - 2 < 0 tấm, cắt theo cách 2 được 300 tấm.

B. Cắt theo cách 1 được 150 tấm, cắt theo cách hai được 300 tấm.

C. Cắt theo cách 1 được 50 tấm, cắt theo cách 2 được 300 tấm.

D. Cắt theo cách 1 được 100 tấm, cắt theo cách 2 được 200 tấm.

Câu 10: Giá trị nhỏ nhất $F_{min}$ của biểu thức $F(x;y)=4x+3y$ trên miền xác định bởi hệ bất phương trình hai ẩn sau là bao nhiêu?

$\left\{\begin{matrix} 0 \leq y \leq 4\\ x \geq 0\\ x - y - 1 \leq 0\\ x + 2y - 10 \leq 0 \end{matrix}\right.$

A. $F_{min}=6$

B. $F_{min}=8$

C. $F_{min}=10$

D. $F_{min}=12$

Đáp án:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	C	A	A	B	C	A	C	A	C

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Các em vừa cùng VUIHOC ôn tập lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập bpt bậc nhất 2 ẩn. Để học thêm nhiều kiến thức bổ ích về Toán lớp 10, Toán THPT,... truy cập ngay vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học tại đây ngay nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

ĐÁP ÁN SỰ KIỆN "TRUY TÌM NHÀ THÔNG THÁI" LỚP 5 - TUẦN 2 THÁNG 12

ĐÁP ÁN SỰ KIỆN "TRUY TÌM NHÀ THÔNG THÁI" LỚP 4 - TUẦN 2 THÁNG 12

ĐÁP ÁN SỰ KIỆN "TRUY TÌM NHÀ THÔNG THÁI" LỚP 3 - TUẦN 2 THÁNG 12

ĐÁP ÁN SỰ KIỆN "TRUY TÌM NHÀ THÔNG THÁI" LỚP 2 - TUẦN 2 THÁNG 12