Phép tịnh tiến - Toán 11

Tác giả Nhã Lân 10:52 06/12/2023 23,736 Tag Lớp 11

Phép tịnh tiến là phần kiến thức quan trọng trong Toán hình 11 và được ứng dụng rất nhiều trong quá trình giải bài tập. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu hay kiến thức về chuyên đề này.

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Định nghĩa về phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng (P), cho vectơ v (a;b). Phép tịnh tiến theo vecto v = (a;b) là được gọi là phép biến hình, biến một điểm M cho trước thành điểm M’ sao cho vecto MM’ = vecto v.

Kí hiệu: $\small T_{\vec{v}}$

Ta có: $\small T_{\vec{v}} (M) = M' \Rightarrow \vec{MM'} = \vec{v}$

Các tính chất của phép tịnh tiến

Tính chất số 1

Khi sử dụng phép tịnh tiến biến lần lượt 2 điểm M và N thành M’ và N’ thì ta có MN = M’N’

Ta có: $\small \left\{\begin{matrix} T_{\vec{v}} (M) = M'\\ T_{\vec{v}} (N) = N' \end{matrix}\right.$ $\small \Rightarrow \vec{MN} = \vec{M'N'}$

Từ đó ta có: MN = M'N'

Tính chất số 2

Khi sử dụng phép tịnh tiến 3 điểm thẳng hàng sẽ thành 3 điểm thẳng hàng khác với thứ tự các điểm lần lượt không đổi

Hệ quả của phép tịnh tiến

Thông qua các tính chất của phép tịnh tiến, ta có một số hệ quả như sau:

Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng khác với thứ tự các điểm lần lượt tương ứng không đổi
Phép tịnh tiến biến 1 tia thành 1 tia.
Phép tịnh tiến biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng trùng hoặc song song với nó (Trong trường hợp vecto chỉ phương của đường thẳng có cùng phương với vecto tịnh tiến thì sẽ biến đường thẳng thành một đường thẳng trùng với nó; nếu vecto tịnh tiến không cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng thì phép tịnh tiến sẽ biến thành đường thẳng song song với đường thẳng cho trước).
Phép tịnh tiến biến 1 tam giác thành 1 tam giác mới bằng nó (bên cạnh đó các điểm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng).
Phép tịnh tiến biến 1 đường tròn thành một đường tròn khác có cùng bán kính.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm

Công thức phép tịnh tiến

Giả sử cho $\small \vec{v}$ (a;b) và phép tịnh tiến $\small T _{\vec{v}}$

Ta có một điểm M có tọa độ (x;y)

Phép tịnh tiến theo $\small \vec{v}$ biến điểm M thành M’ với M’ có tọa độ:

$\small M (x;y) \rightarrow M' = T_{\vec{v}} (M) = (x';y') \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x' = x + a\\y' = y + b \end{matrix}\right.$

Một số dạng bài tập liên quan tới phép tịnh tiến

Dạng bài tập số 1: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng d qua một phép tịnh tiến theo vectơ v cho trước

1. Xác định ảnh của đường thẳng d thông qua một phép tịnh tiến theo vectơ v

Phương pháp giải:

+ Lấy một điểm M bất kì trên đường thẳng d

+ Tìm ảnh M’ của điểm M từ phép tịnh tiến qua vecto v

+ Tạo đường thẳng d’ là đường thẳng qua điểm M’ đã tìm được và song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Ví dụ: Cho vecto $\small \vec{v}$ = (1; -5), đường thẳng d: 3x + 4y - 4 =0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vecto $\small \vec{v}$

Hướng dẫn giải

+ Ta có đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1)

+ Gọi M' là ảnh của M qua $\small T_{\vec{v}}$ . Vậy ta có tọa độ của M' được tính như sau:

$\small \left\{\begin{matrix} x_{M'} = x_{M} + 1 = 1\\ y_{M'} = y_{M} - 5 = -4 \end{matrix}\right.$

Vậy điểm M' (1; -4)

d' là ảnh của d qua $\small T_{\vec{v}}$ nên d' đi qua điểm M' và song song hoặc trùng với đường thẳng d

Vậy ta có phương trình của d' là: 3(x - 1) + 4(y + 4) = 0

Vậy d': 3x + 4y + 13 = 0

2. Xác định tạo ảnh của đường thẳng d thông qua phép tịnh tiến theo vectơ v

Phương pháp giải:

+ Lấy một điểm M' bất kì trên đường thẳng d'

+ Tìm điểm M sao cho điểm M' là ảnh của M

+ Tạo đường thẳng d là đường thẳng qua điểm M đã tìm được và song song hoặc trùng với đường thẳng d'.

Ví dụ: Phép tịnh tiến qua vectơ $\small \vec{v}$ = (3; 1) biến đường thẳng d thành đường thẳng d'. Biết đường thẳng d' có dạng: x - 2y = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d

Hướng dẫn giải

Ta có điểm O (0; 0) $\small \in$ d'. $\small T_{\vec{v}} (I) = O \Leftrightarrow \vec{v} = \vec{IO} \Rightarrow I(-3; -1)$

Từ đó suy ra: $\small d: 1(x + 3) - 2(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0$

Vậy phương trình của đường thẳng d: x - 2y + 1 = 0

Dạng bài tập số 2: Tìm ảnh, tạo ảnh của một đường tròn qua một phép tịnh tiến

Xác định ảnh của đường tròn (C) qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .

Phương pháp giải:

+ Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) đã cho.

+ Thông qua phép tịnh tiến theo vecto v, tìm ảnh I’ của tâm I

+ Vẽ đường tròn tâm I’ bán kính R

+ Ta có đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vecto v

Ví dụ. Cho đường tròn (C) có tâm I (-2; 3) và bán kính R = 5. Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\small \vec{u}$ (2; -3).

Hướng dẫn giải

Ta có đường tròn (C) có tâm I (-2; 3) và bán kính R = 5

Ta có ảnh của tâm I qua phép tịnh tiến theo $\small \vec{u}$ (2; -3) là I' (0; 0)

Ta có đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo $\small \vec{u}$ (2; -3) có tâm là I' và bán kính R' = R = 5

Vậy phương trình (C') có dạng: x² + y² = 25

Dạng bài tập số 3: Tạo ảnh, tìm ảnh của một đường cong (khác với dạng tìm ảnh đường tròn) qua một phép tịnh tiến theo vecto v (a,b)

1. Tìm ảnh của đường cong (Q) qua phép tịnh tiến theo vecto v (a;b)

Phương pháp giải:

+ Xét điểm A (x;y) thuộc đường cong (Q). Ta tìm ảnh của điểm A là A’ (x’;y’) qua phép tịnh tiến theo vecto v (a;b)

Khi đó ta có:

$\small \left\{\begin{matrix} x' = x + a\\ y' = y + b \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = x' - a\\ y = y' - b \end{matrix}\right.$

+ Do điểm A (x;y) thuộc đường cong (Q) nên x,y thỏa mãn phương trình Q

+ Thay 2 x, y bằng x’ và y’ theo hệ thức trên ta sẽ được đẳng thức theo x’ và y’

+ Đẳng thức mới theo x’ và y’ chính là phương trình của đường cong Q’ là ảnh của đường con (Q) theo vecto v (a,b)

Bài tập ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một parabol P có dạng: y = -x² + 2x + 1. Hãy viết phương trình ảnh của (P) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\small \vec{v}$ (0; 1)

Hướng dẫn giải

Giả sử có điểm A (x; y) $\small \in$ (P) và A' (x'; y') là ảnh của a theo phép tịnh tiến $\small \vec{v}$

Khi đó ta có: $\small \left\{\begin{matrix} x' = x\\y' = y + 1 \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = x'\\y = y' - 1 \end{matrix}\right.$

$\small A (x; y) \in (P) \Leftrightarrow y = -x^{2} + 2x + 2 \Leftrightarrow y' - 1 = -(x')^{2} + 2x' + 1$

$\small \Leftrightarrow y' = -(x')^{2} + 2x' + 2$

Vậy A' (x'; y') di động trên parabol (P'): y = -x² + 2x + 2

Vậy ảnh của parabol P là P': y = -x² + 2x + 2

2. Tìm tạo ảnh của đường cong (Q) qua phép tịnh tiến theo vecto v (a;b)

+ Xét điểm A (x;y) thuộc đường cong (Q). Ta tìm ảnh của điểm A là A’ (x’;y’) qua phép tịnh tiến theo vecto v (a;b)

$\small \left\{\begin{matrix} x = x' + a\\ y = y' + a \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có:

+ Do điểm A (x;y) thuộc đường cong (Q) nên x,y thỏa mãn phương trình Q

+ Thay 2 x, y bằng x’ và y’ theo hệ thức trên ta sẽ được đẳng thức theo x’ và y’

+ Đẳng thức mới theo x’ và y’ chính là phương trình của đường cong Q’ là tạo ảnh của đường cong (Q) theo vecto v (a,b)

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một parabol P có dạng: y = -x² + 2x + 1. Hãy viết phương trình ảnh của (P') sao cho qua phép tịnh tiến theo vectơ $\small \vec{v}$ (1; 1) thì (P') là ảnh của (P)

Giả sử có điểm A (x; y) $\small \in$ (P) và A' (x'; y') là ảnh của a theo phép tịnh tiến $\small \vec{v}$

Khi đó ta có: $\small \left\{\begin{matrix} x' = x + 1\\y' = y + 1 \end{matrix}\right.$

$\small A (x; y) \in (P) \Leftrightarrow y = -x^{2} + 2x + 1 \Leftrightarrow y' + 1 = -(x' + 1)^{2} + 2 (x' + 1) + 1$

$\small \Leftrightarrow y' = -(x')^{2} + 1$

Vậy A' (x'; y') di động trên parabol (P'): y = -x² + 1

Phương trình của parabol (P'): y = -x² + 1

Dạng bài tập số 4: Xác định phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) có 2 parabol (P) y = x²và (Q): y = x² + 2x + 2. Hãy tính phép tịnh tiến T biến (Q) thành (P)

Hướng dẫn giải

Gọi vectơ tịnh tiến $\small \vec{v}$ (a; b) với ảnh của (Q) là parabol (P)

Gọi điểm M (x; y) $\small \in$ (Q) và $\small T_{\vec{v}} (M) = M' (x'; y')$

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: $\small \left\{\begin{matrix} x' = x + a\\y' = y + b \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = x' - a\\ y = y' - b \end{matrix}\right.$

Ta có: M' $\small \in$ (R) $\small \Leftrightarrow y' - b = (x' - a)^{2} + 2(x' - a) + 2$

$\small \Leftrightarrow y' = (x')^{2} + 2 (1 - a)x' + a^{2} - 2a + b + 2$

Vậy phương trình (R): $\small y' = (x')^{2} + 2 (1 - a)x' + a^{2} - 2a + b + 2$

Để parabol (R) trùng (P) khi và chỉ khi $\small \left\{\begin{matrix} 2 (1 - a) = 0\\ a^{2} - 2a + b + 2 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = 1\\ b = -1 \end{matrix}\right.$

Vậy chỉ duy nhất một phép tịnh tiến biến (Q) thành (P) theo vecto $\small \vec{v}$ (1; -1)

Tham khảo ngay bộ tại liệu tổng ôn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia

Các dạng bài toán chứng minh

Phương pháp giải chung

Để có thể giải được các dạng bài tập này, ta thường thực hiện theo 2 bước

– Bước 1: Thực hiện phép dời hình phù hợp

– Bước 2: Vận dụng các tính chất của phép dời hình vừa thực hiện để giải quyết và thực hiện yêu cầu mà đề bài đã ra.

Việc lựa chọn vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến hoặc tâm quay O của phép quay sẽ phụ thuộc vào các giả thiết mà đề bài đưa ra. Thông thường, trong dữ kiện của bài toán đã cho hoặc theo tính chất của hình đòi hỏi các em học sinh phải thiết lập hoặc điều kiện đòi hỏi ở hình cần dựng có những yếu tố hay mối liên hệ đặc biệt liên quan đến một phép dời hình nào đó. Từ đó, ta thực hiện phép dời hình và giải quyết vấn đề bài toán yêu cầu.

Các dạng bài toán liên quan tới quỹ tích

Phương pháp thực hiện:

Giả sử ta cần tìm quỹ tích tất cả những điểm M có tính chất a nào đó. Với một phép dời hình theo vecto v bất kì nào đó, với mỗi điểm M có tính chất a sẽ biến thành điểm M’ với tính chất a’ và ngược lại, mỗi điểm M’ có tính chất a’ cũng sẽ biến thành điểm M có tính chất a. Thông thường trong dạng bài tập này, việc tìm quỹ tích các điểm M’ có tính chất a’ sẽ dễ dàng hơn so với việc trực tiếp tìm quỹ tích điểm M có tính chất a. Khi đó, nếu quỹ tích của các điểm M’ là hình (H’) thì ta có thể suy ra được quỹ tích điểm M sẽ là hình (H), tạo ảnh của hình (H’) qua theo vecto v.

Khi sử dụng phép dời hình để giải các bài toán liên quan tới quỹ tích, ta chỉ cần làm phần thuận do phép dời hình là phép biến đổi 1-1. Và để tìm được quỹ tích những điểm M, các em học sinh cần thực hiện theo 2 cách sau:

Cách số 1:

– Bước 1: Chỉ ra phép dời hình phù hợp biến điểm M’ thành điểm M.

– Bước 2: Xác định quỹ tích của điểm M’ (thông thường với những đặc điểm của đề bài thì việc xác định quỹ tích của điểm M’ là tương đối dễ dàng).

– Bước 3: Từ đó suy ra những điểm M là ảnh của quỹ tích những điểm M’ thông qua phép dời hình nói trên. (điều phải chứng minh)

Cách số 2:

– Bước 1: Thông qua thực nghiệm, các em học sinh dự đoán về đường cong hoặc hình dạng đặc biệt của quỹ tích. (Dựng một số hữu hạn các điểm M khác nhau mà ta cần tìm quỹ tích, thông thường nếu thực nghiệm 3 điểm di động của M nếu thấy 3 ảnh M’ thẳng hàng thì ta có thể dự đoán quỹ tích mà đề bài yêu cầu là đường thẳng, còn nếu 3 điểm ảnh M’ không thẳng hàng thì khả năng cao quỹ tích cần tìm có dạng đường tròn). Giả sử đó là đường cong (C).

– Bước 2: Các em học sinh xác định đường cong (C’) sao cho tồn tại một phép dời hình theo vecto v biến đường cong (C’) thành (C).

– Bước 3: Xét các điểm M thuộc đường cong (C), chúng ta thử xác định M’ là tạo ảnh của M qua phép dời theo vecto v, nếu thành công thì ta đã giải quyết được bài toán. Nếu trong trường hợp ngược lại, chúng ta sẽ thử một dự đoán khác.

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là kiến thức về phép tịnh tiến trong chương trình Toán 11. Hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức và các phương pháp giải mọi dạng bài tập liên quan tới phép tịnh tiến trong quá trình học hay trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia. Để tham khảo thêm kiến thức của các môn học khác, các em có thể truy cập vuihoc.vn. Chúc các em đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới.

Các bài viết tham khảo thêm:

Phép biến hình

Phép đối xứng trục

Phép đối xứng tâm

Phép quay

Phép vị tự