Công Thức Tính Số Tổ Hợp Chập K Của N Phần Tử Và Ví Dụ

1. Tổ hợp chập k của n phần tử là gì?

Tổ hợp chập k của n phần tử là số gồm k phần tử được từ n phần tử mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp của các phần tử.

2. Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử và ví dụ

2.1. Cách tính

Tổ hợp chập k của n phần tử được được kí hiệu là $C_{n}^{k}4$

Ta có cách tính tổ hợp chập k của n như sau:

$C_{n}^{k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k.(k-1)...1}$

Ngoài ra với kí hiệu giai thừa thì p!=p(p-1)...1 ta viết lại như sau:

$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

2.2. Ví dụ

Giải bài tập số tổ hợp chập k của n phần tử

a, $C_{6}^{3}=\frac{6.5.4}{3.2.1}=20$

b, $C_{9}^{5}=\frac{9.8.7.6.6}{5.4.3.2.1}=126$

c, $C_{100}^{2}=\frac{100.99}{2.1}=4950$

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT Quốc gia

3. Một số tính chất liên quan

3.1. Tính chất cơ bản

Các tính chất cơ bản của tổ hợp chập k của n như sau:

1. $C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1$

2. $C_{n}^{1}=C_{n}^{n-1}=n$

3. $C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2}$

4. $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$

5. $C_{n}^{k}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}$

6. $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=n^{2}$

3.2. Công thức Pascal

$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$

Ví dụ:

$C_{7}^{3}+C_{7}^{4}=C_{8}^{4}=70$

$C_{9}^{5}+C_{9}^{6}=C_{10}^{6}=210$

4. Một số bài tập tính tổ hợp chập k của n phần tử

Ví dụ 1: Ban chấp hành đoàn có 7 người, cần chọn 3 người vào trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của ba người trong ban thường vụ thì sẽ có bao nhiêu cách chọn?

Giải:

Vì không xét sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ vì vậy mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Ta có:

$C_{7}^{5}=\frac{7!}{2!.5}=35$ cách

Vậy ta có 35 cách để chọn ban thường vụ.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng sẽ có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 4 đường thẳng phân biệt và song song với nhau. Và 5 đường thẳng phân biệt vuông góc với 4 đường thẳng song song đó.

Giải:

Cứ 2 vuông góc với 2 đường thẳng song song với chúng cắt nhau ở 4 điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật.

Lấy 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc với 4 đường đó và lấy 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song ta có số hình chữ nhật là:

$C_{4}^{2}. C_{5}^{2}=60$

Vậy sẽ có 60 hình chữ nhật thỏa mãn.

Ví dụ 3: Một băng ghế có 5 chỗ và xếp 5 người vào. Hỏi sẽ có bao nhiêu cách?

Giải:

Ta có mỗi cách đổi chỗ một trong 5 người trên chiếc băng ghế là một hoán vị. 

Vậy sẽ có P = 5! = 120 cách.

Trên đây là toàn bộ công thức tính tổ số tổ hợp chập k của n và các dạng thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết này các em có thể tự tin khi làm bài tập phần này. Để học nhiều hơn kiến thức về toán 11 hay các kiến thức chuẩn bị ôn thi Toán THPT Quốc gia, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!

>>> Xem thêm: Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp Và Bài Tập Vận Dụng