Alo! Giờ nào còn dùng phiên bản này nữa Cập nhật ngay

Lý Thuyết Và Bài Tập Về Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ

Tác giả Cô Hiền Trần 16:22 08/03/2022 1,089 Tag Lớp 10

Tổng và hiệu của hai vectơ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán 10. Các em học sinh cần nắm rõ kiến thức để không bị mất điểm ở phần này. Trong bài viết dưới đây, Vuihoc.vn sẽ giới thiệu lý thuyết, các dạng bài tập tổng và hiệu của hai vectơ thường gặp để các em tham khảo. Chúc các em học tốt!

Lý Thuyết Và Bài Tập Về Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ

1. Tổng và hiệu của hai vectơ

1.1. Tổng của hai vectơ

1.1.1. Định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ

1.1.1.1. Định nghĩa tổng của hai vectơ 

Ví dụ minh họa sau đây: 

Mô tả ví dụ tổng và hiệu của hai vectơ

Hình trên đây là mô tả cách cộng hai vectơ:

  • Để cộng hai vectơ, đầu tiên ta cần xác định ngọn của một vectơ, rồi từ đó ta dựng giá của vectơ thứ hai đi qua ngọn của vectơ đầu tiên. 
  • Tiếp theo, ta sử dụng tính chất của hai vectơ bằng nhau để chập ngọn của vectơ thứ nhất với gốc của vectơ thứ hai. 

Định nghĩa tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$. Lấy một điểm A, vẽ $\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{BC}=\vec{b}$, vectơ $\vec{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ (hay $\vec{AB},\vec{BC}$) => $\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}$

Ví dụ : Cho hình vuông ABCD hãy tính:

a. $\vec{AB}+\vec{BC}$
b. $\vec{AB}+\vec{CD}$
c. $\vec{AB}+\vec{DC}$

Hình ảnh minh họa cho phép tính cộng vectơ - tổng và hiệu của hai vectơ

Lời giải:

a. $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
b. $\vec{AB}+\vec{CD}=\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{AA}=\vec{0}$
c, Dựng $\vec{BE}=\vec{DC}$ thì B là trung điểm AE. Khi đó, $\vec{AB}+\vec{DC}=\vec{AB}+\vec{BE}=\vec{AE}$

1.1.1.2. Định nghĩa hiệu của hai vectơ 

Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho 2 vectơ $\vec{a},\vec{b}$. Vectơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu $\vec{a}-\vec{b}$ là vectơ $\vec{a}+(-\vec{b})$.

=> $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là tâm hình chữ nhật. Tính các hiệu:

a. $\vec{CB}-\vec{AB}$
b. $\vec{AD}-\vec{AB}$
c. $\vec{CO}-\vec{DO}$

Hình ảnh minh họa tổng và hiệu của hai vectơ

Lời giải:

a, $\vec{CB}-\vec{AB}=\vec{CB}+(-\vec{AB})=\vec{CB}+\vec{BA}=\vec{CA}$

b, Áp dụng quy tắc ba điểm A,D,B có: $\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{BD}$

c, $\vec{CO}-\vec{DO}=\vec{CO}+(-\vec{DO})=\vec{CO}+\vec{OD}=\vec{CD}$

1.1.2. Tính chất của tổng các vectơ 

Với các vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ tùy chọn ta có:

  • Tính chất giao hoán: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

  • Tính chất kết hợp: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

  • Tính chất của $\vec{0}$: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$

1.1.3. Quy tắc hình bình hành

1.1.3.1. Quy tắc 

Với tứ giác ABCD là hình bình hành thì $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

Quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ

1.1.3.2. Ví dụ 

VD1: Chóp S.ABCD ( đáy ABCD là hình bình hành). Chứng minh: $\vec{SA}+\vec{SC}=\vec{SB}+\vec{SD}$

               Hình ảnh minh họa quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ

Lời giải: 

Ví dụ về quy tắc hình bình hành -tổng và hiệu của hai vectơ

VD2: Cho hình bình hành ABCD tâm I. Khẳng định nào sau đây là sai?

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ

1. $\vec{IA}+\vec{IC}=0$
2. $\vec{AB}=\vec{DC}$
3. $\vec{AC}=\vec{BD}$
4. $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ

Lời giải:

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ

VD3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH với I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H lên AB và AC. Khẳng định nào sau đây là sai?

1. $\vec{AH}=\vec{AI}+\vec{AK}$
2. $\vec{AH}=\vec{KH}+\vec{AK}$
3. $\vec{AH}=\vec{IH}+\vec{AI}$
4. $\vec{AH}=\vec{AB}+\vec{AK}$

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ 

Lời giải:

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ

VD4: Cho hình bình hành ABCD (E là TĐ của AD, F là TĐ BC). Khẳng định sai là?

1. $\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{BC}$
2. $\vec{BD}=\vec{BE}+\vec{BF}$
3. $\vec{BD}=\vec{AC}$
4. $\vec{BD}=\vec{CD}+\vec{AD}$ 

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ​​​

Lời giải:

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu hai vectơ

1.2. Hiệu của hai vectơ

1.2.1. Vectơ đối

  • Vectơ đối có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\vec{a}$, kí hiệu $-\vec{a}$.

  • Vectơ đối của $\vec{0}$ là vectơ $\vec{0}$.

1.2.2. Hiệu của hai vectơ

Ví dụ minh họa sau đây:

Ví dụ mô tả bài toán tổng và hiệu của hai vectơ

Cũng giống với phương pháp cộng ở trên, ta tính hiệu hai vectơ bằng cách cộng với vectơ đối. 

Có quy tắc hiệu vectơ như sau: $\vec{AB}$ là một vectơ đã cho và 1 điểm O bất kỳ thì ta luôn có:

$\vec{AB}=\vec{OB}+\vec{OA}$

VD1: Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt. Chứng minh rằng: $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DC}-\vec{BC}$

Lời giải: 

Ta có: $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DB}$ (1) (áp dụng quy tắc về hiệu hai vectơ)

Lại có: $\vec{DC}-\vec{BC}=\vec{DC}+(\vec{-BC})$ (vectơ đối)

$\vec{DC}+\vec{CB}=\vec{DB}$ (2) (áp dụng quy tắc ba điểm về tổng hai vectơ)

Từ (1) và (2) => $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DC}-\vec{BC}$ (dpcm) 

VD2: Tính $\vec{MN}-\vec{QP}+\vec{RN}-\vec{PN}+\vec{QR}$ 

Lời giải:

Ví dụ phép hiệu - tổng hiệu của hai vectơ

2. Áp dụng vào tổng và hiệu của hai vectơ

- Trung điểm của đoạn thẳng: 

I là trung điểm của đoạn thẳng

$\Leftrightarrow \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$

- Trọng tâm của tam giác:

Với H là trọng tâm của tam giác MNP

$\Leftrightarrow \vec{HM}+\vec{HN}+\vec{HP}=\vec{0}$

- Tính chất của vectơ không: 

   AB+0=0+AB=AB

3. Các dạng bài tập về tổng và hiệu của hai vectơ

3.1. Xác định độ dài tổng và hiệu của 2 vectơ

3.1.1.  Phương pháp giải

Đưa tổng hoặc hiệu của các vectơ về một vectơ có độ dài là một cạnh của đa giác để tính độ dài của vectơ.

3.1.2. Ví dụ minh họa 

VD1: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính: $\left | \vec{AB}+\vec{AD}\right |$

Ví dụ của tổng và hiệu của hai vectơ

Lời giải: 

$\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$ (quy tắc hình bình hành) 

$\Rightarrow \left | \vec{AB}+\vec{AD}\right|=\left | \vec{AC} \right |=AC$

Vì ABCD là hình chữ nhật BC=AD=2a

Xét tam giác ABC vuông tại B 

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$AC^{2}=\left ( 4a \right )^{2}+\left ( 2a \right )^{2}=20a^{2}$
$\Rightarrow AC=\sqrt{20a^{2}}=2\sqrt{5}a$

VD2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\left | \vec{CA}-\vec{BA}\right |$

Ảnh minh họa của tổng và hiệu của hai vectơ 

Lời giải:

Vì $\vec{BA}=\vec{AB}=AB$ và $\left | \vec{BA} \right |$ ngược hướng với $\left | \vec{AB} \right |$

$\Rightarrow \vec{AB}=-\vec{BA}$

Ta có: $\vec{CA}-\vec{BA}=\vec{CA}+\left ( -\vec{BA} \right )=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$
$\Rightarrow \left | \vec{CA}-\vec{BA}\right |=\left | \vec{CB} \right |=CB=a$

VD3: Cho hình vuông ABCD cạnh, M là một điểm bất kỳ. Tính $\left | \vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}+\vec{MD}\right |$

Lời giải:

Lời giải cho ví dụ xác định độ dài tổng và hiệu của 2 vectơ

3.2. Chứng minh các đẳng thức các vectơ từ việc biến đổi

3.2.1. Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, trọng tâm, trung điểm để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức vectơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

3.2.2. Ví dụ minh họa

VD1: Cho sáu điểm tùy ý  A,B,C,D,E,F. Chứng minh đẳng thức sau:

$\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{AE}+\vec{BF}+\vec{CD}$

Lời giải: 

- Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{CD}$

Vế trái $=\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{AC}+\vec{CD}+\vec{BE}+\vec{CF}$

$=(\vec{AC}+\vec{CF})+\vec{CD}+\vec{BE}=\vec{AF}+\vec{CD}+\vec{BE}$

- Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\vec{AF}=\vec{AE}+\vec{EF}$

Vế phải $=\vec{AE}+\vec{EF}+\vec{CD}+\vec{BE}=\vec{AE}+(\vec{BE}+\vec{EF})+\vec{CD}$

$=\vec{AE}+\vec{BF}+\vec{CD}$ =Vế trái (điều phải chứng minh). 

VD2: Cho tam giác ABC. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và  BC. Điểm O bất kì. Chứng minh đẳng thức: $=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OM}+\vec{ON}+\vec{OP}$

Ví dụ về bài toán chứng minh đẳng thức - tổng hiệu của hai vectơ

Lời giải:

Giả sử $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OM}+\vec{ON}+\vec{OP}$ là đúng 

=> $\vec{OM}-\vec{OC}+\vec{ON}-\vec{OA}+\vec{OP}-\vec{OB}=\vec{0}$

=> $\vec{CM}+\vec{AN}+\vec{BP}=\vec{0}$ (1) 

Ví dụ về chứng minh đẳng thức - tổng và hiệu của hai vect

VD3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn: $\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AB}-\vec{AC}$ thì tam giác ABC là tam giác vuông

Lời giải:

Ví dụ chứng minh đẳng thức - dạng tổng và hiệu của hai vectơ

Trên đây là toàn bộ kiến thức và các dạng bài tập về tổng và hiệu của hai vectơ Hy vọng sau bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh xử gọn các dạng bài về tổng và hiệu của 2 vectơ một cách dễ dàng. Các em hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để luyện thêm đề, bài tập và theo dõi bài giảng hấp dẫn nhất nhé!

| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}