Bất phương trình logarit - Đầy đủ lý thuyết và bài tập tuyển chọn

Để nắm được lý thuyết và cách giải bài tập về bất phương trình Logarit hãy tìm hiểu kiến thức tổng quát về bất phương trình Logarit trước nhé. Xem tại bảng dưới đây:

1. Phương trình và bất phương trình Logarit

1.1. Phương trình Logarit

Phương trình Logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu Logarit, có dạng $log_{a}x=b (a> b; a\neq 1; x> 0)$ trong đó, x là ẩn số cần đi tìm. 

Chứng minh phương trình trên có nghiệm: 

- Áp dụng định nghĩa Logarit ta có: $log_{a}x=b \Leftrightarrow x=a^{b}$

- Minh họa bằng đồ thị hàm số, ta có:

Ta có thể thấy đồ thị của các hàm số $y=log_{a}x$  và y=b luôn cắt nhau tại một điểm $\forall b\in R$

Như vậy, phương trình Logarit $log_{a}x=b (a> b; a\neq 1; x> 0)$ luôn có nghiệm duy nhất là $x=a^{b}$ với mọi b

- Ví dụ: $log_{3}x=2 \Leftrightarrow x=3^{2}=9$

1.2. Bất phương trình Logarit 

Tương tự như phương trình Logarit, bất pt Logarit có dạng $log_{a}x> b; log_{a}x\geqslant b; log_{a}x< b; log_{a}x\leqslant b$ với điều kiện $a> 0; a\neq 1; x> 0$

Chứng minh bất phương trình Logarit $log_{a}x> b$ có nghiệm

- Xét bất phương trình Loga, ta có:

+ Trường hợp $a>1: log_{a}x> b \Leftrightarrow x> a^{b}$

+ Trường hợp $0<a<1: log_{a}x> b \Leftrightarrow 0< x<  a^{b}$

- Minh họa bất phương trình $log_{a}x> b$ bằng đồ thị với 2 trường hợp, ta có:

Như vậy:

+ Trường hợp a>1: $log_{a}x> b$ khi và chỉ khi $x> a^{b}$

+ Trường hợp 0<a<1: $log_{a}x> b$ khi và chỉ khi $0< x<  a^{b}$

- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình Logarit $log_{a}x> b$ bao gồm

Ví dụ: $log_{3}x> 5 \Leftrightarrow x> 3^{5} \Leftrightarrow x= 243$

Xem thêm: Bất phương trình Logarit cơ bản - đầy đủ và dễ hiểu nhất

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia

2. Các cách giải bất phương trình logarit 

Để giải các bất pt Logarit, chúng ta có các cách sau:

2.1. Giải bất PT Logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

Ví dụ 1: (THPT Hàm Rồng 2019) Bất phương trình $log_{4}(x+7)> log_{2}(x+1)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên

A. 3          B.1          C.4          D.2

Lời giải: Chọn D

Điều kiện xác định của bất phương trình Logarit là: 

$\left\{\begin{matrix}x+7> 0 &  & \\ x+1> 0 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x> -7 &  & \\ x> -1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x> -1$

Ta có: $log_{4}(x+7)> log^{2}(x+1)\Leftrightarrow \frac{1}{2}log_{2}(x+7)> log^{2}(x+1)\Leftrightarrow log_{2}(x+7)> log_{2}(x+1)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x-6< 0\Leftrightarrow -3< x< 2$

Kết hợp điều kiện bpt logarit ta được: $-1< x< 2$

Vì $x\in Z $ nên tìm được x=0, x=1

Ví dụ 2: (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bpt logarit $log_{\frac{1}{2}}[log_{2}(2-x^{2})]> 0$

A. Vô số          B.1          C.0          D.2

Lời giải: Chọn C

$log_{\frac{1}{2}}[log_{2}(2-x^{2})]> 0$

$\Leftrightarrow 0< log_{2}(2-x^{2})< 1$

$\Leftrightarrow 1< 2-x^{2}< 2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2-x^{2}< 2 &  & \\  2-x^{2}> 1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}> 0&  & \\  x^{2}< 1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq 0 &  & \\ -1< x< 1 &  & \end{matrix}\right.$

Kết hợp với giả thiết x là số nguyên, ta thấy không có số nguyên x nào thỏa mãn bpt logarit $log_{\frac{1}{2}}[log_{2}(2-x^{2})]> 0$

Từ 2 ví dụ trên cho thấy, để áp dụng phương pháp đưa về cùng cơ số, ta chỉ cần phân tích, biến đổi các cơ số về thành cơ số chung. Từ đó ta đưa về dạng bất phương trình cơ bản và giải như bình thường.

2.2. Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: (Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm S của bpt logarit $log_{2}^{2}x-5log_{2}x+4\geqslant 0$

A. $S=(-\infty;1]\cup [4;+\infty ]$

B. $S=[2;16]$

C. $S=(0;2]\cup [16;+\infty]$

D. $S= (-\infty;2)\cup[16;+\infty)$

Lời giải: Chọn C

- Điều kiện x>0

- BPT tương đương: $log_{2}x\geqslant 4$ hoặc $log _{2}x\geqslant 1log _{2}x\geqslant 1$

$x\geqslant 16$ hoặc $x\leqslant 2$

- Kết hợp điều kiện ta có: $S=(0;2]\cup [16;+\infty ]$

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $log_{x}2(2+log_{2}x)> \frac{1}{log_{2x}2}$

Lời giải:

Điều kiện $\left\{\begin{matrix}x> 0 &  & \\  x\neq 1&  & \\ x\neq \frac{1}{2}&  & \end{matrix}\right.$

(4) $log_{x}2(2+log_{2}x)> log_{2}(2x)\Leftrightarrow log_{x}2(2+log_{2}x)> 1+log_{2}x$

Đặt $t=log_{2}x$, ta có:

$\frac{1}{t}(2+t)> 1+t\Leftrightarrow \frac{2+t-t(1+t)}{t}> 0\Leftrightarrow \frac{-t^{2}+2}{t}> 0$ khi và chỉ khi: $0< t< \sqrt{2}$ hoặc $t< -\sqrt{2}$

+ Với trường hợp $0< t< \sqrt{2}\Rightarrow 0< log_{2}x< \sqrt{2}\Leftrightarrow 1< x< 2^{\sqrt{2}}$

+ Với trường hợp $t< -\sqrt{2}\Rightarrow log_{2}x< -\sqrt{2}\Leftrightarrow 0< x< 2^{-\sqrt{2}}$

Vậy tập nghiệm của BPT (4) là $x\in (0;2^{-\sqrt{2}})\cup (1;2^{\sqrt{2}})$

Từ các ví dụ minh họa trên, ta có thể thấy mục đích của phương pháp này chính là chuyển đổi bất pt logarit ở đề bài về các dạng bất phương trình logarit đại số quen thuộc. Để làm được như vậy, chúng ta chỉ cần phân tích và tìm ra điểm chung giữa các cơ số. Sau đó đặt tên cho cơ số chung rồi đưa về dạng bất phương trình $ax^{2}+bx+c \geqslant 0$ rồi giải như bình thường.

2.3. Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp hàm số

Ví dụ 1: Cho bất phương trình: $x+ log_{2}\sqrt{x+1}+log_{3}\sqrt{x+9}> 1 (5)$

Lời giải:

Điều kiện $x> -1$

Bất pt Logarit

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}log_{2}(x+1)+\frac{1}{2}log_{3}(x+9)> 1\Leftrightarrow g(x)=2x+log_{2}(x+1)+ log_{3}(x+9)> 2$

$g'(x)= 2+ \frac{1}{(x+1)In2}+\frac{1}{(x+9)In3}> 0\Rightarrow g(x)$ đồng biến trên $(-1;+\infty )$

BPT $\Leftrightarrow g(x)> g(0)\Leftrightarrow x> 0$

Vậy nghiệm của BPT là $(0;+\infty )$

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $2x^{2}-10x+10> log_{2}\frac{2x-2}{(x-2)^{2}}$ (6)

Lời giải

Điều kiện: $x> \frac{1}{2};x\neq 2$

Khi đó BPT $\Leftrightarrow 2(x-2)^{2}+ log_{2}(x-2)^{2}> 2.\frac{2x-1}{2}+log_{2}\frac{2x-1}{2}$

Ta có: $f[(x-2)^{2})] > g \frac{2x-1}{2}\Leftrightarrow (x-2)^{2}> \frac{2x-1}{2}$

Đáp số: $x> \frac{5+\sqrt{7}}{2}; \frac{5-\sqrt{7}}{2}> x> \frac{1}{2}$

Bên cạnh phương pháp đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ, chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm ra tập nghiệm của các bất phương trình Logarit.

Xem thêm: Cách giải bất phương trình Logarit - có ví dụ dễ hiểu

3. Các bài tập về bất pt Logarit hay nhất, có lời giải 

Tải trọn bộ đề + đáp án bài tập Bất phương trình logarit tại: Tuyển chọn BT bất phương trình logarit

Bạn cũng có thể xem thêm livestream Bất phương trình logarit của thầy Thành Đức Trung để nắm trọn các dạng bài phần kiến thức này nhé: 

Trên đây là những công thức cũng như bài tập vận dụng về bất phương trình Logarit mà các em có thể tham khảo. Chúc em học tốt!