Lý Thuyết Dạng Lượng Giác Của Số Phức Và Ứng Dụng

1. Định nghĩa Acgumen của số phức

• Cho số phức z≠0. Với M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Một acgumen của z được hiểu là số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM.

• Như vậy nếu j là một acgumen của z thì mọi acgumen đều có dạng: $\psi +2k\pi ,k\epsilon Z$

2. Dạng lượng giác của số phức

2.1 Định nghĩa

Dạng z= r(cosφ+isinφ), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z≠0. Còn dạng z=a+bi (a, b∈R) được gọi là dạng đại số của số phức z.

Trong đó: 

• r: là mô đun của số phức

• φ: là acgumen của số phức

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Biến đổi các số phức sang đây sang dạng lượng giác: 

a. $z_{1}=6+6i$

b. $z_{1}=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$

c. $z_{1}=\frac{5\sqrt{3}}{4}+\frac{5}{2}i$

Lời giải:

Ví dụ 2: Xác định phần thực và phần ảo của các số phức sau: 

a, $\frac{\left ( 1-i \right )^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

b, $\left ( cos\frac{\pi }{3} -isin\frac{\pi }{3}\right )i^{-5}(i+\sqrt{3}i)^{7}$

Lời giải: 

2.2. Nhận xét

Để tìm dạng lượng giác r (cosφ+i sinφ) của số phức z=a+bi (a,b∈R) khác 0 cho trước, ta cần: 

1) Tìm r: đó là mô-đun của z, r=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.

2) Tìm φ: đó là 1 acgumen của z; φ là số thực sao cho cosφ= ar và sinφ=br; số φ đó cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu Ox, tia cuối OM.

2.3. Chú ý 

1, |z|=1 khi và chỉ khi z=cosφ+isinφ (φ∈R).  

2, Khi z = 0 thì |z|=r=0 nhưng acgumen của x không xác định (acgumen của 0 là số thực tùy ý). 

3, Cần để ý r>0 trong dạng lượng giác r(cosφ+isinφ) của số phức z≠0.

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập với bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC ngay

3. Bài tập nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

3.1. Định lý

Nếu: z=r(cosφ+isinφ)

        z′=r′(cosφ′+isinφ′)(r⩾0,r′⩾0)

Thì: zz′=rr′[cos(φ+φ′)+isin(φ+φ′)

       zz'=rr'[cos(φ′−φ)+isin(φ′−φ)] (khi r>0)

3.2. Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Biến đổi số phức sau sang dạng lượng giác: z = $\left ( 1-i\sqrt{3} \right ).\left ( 1+i \right )$

Lời giải:

Có: $1-i\sqrt{3}=2.\left [ cos(-\frac{\pi }{3})+isin(-\frac{\pi }{3}) \right ]$

$1+i=\sqrt{2}\left [ cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4} \right ]$

Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta được:

z=$(1-i\sqrt{3})(1+i)=2\sqrt{2}\left [ cos(-\frac{\pi }{2})+isin(-\frac{\pi }{2})\right]$

Ví dụ 2: Biến đổi số phức sau dưới dạng: z= $\frac{1-i}{(\sqrt{3}+i)(2+2i)}$

Lời giải:

$\sqrt{3}+i=2(cos\frac{\pi }{6}+isin\frac{\pi }{6})$

2 + 2i =$2\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$

=> $\left ( \sqrt{3}+1\right )(2+2i)=4\sqrt{2}(cos\frac{5\pi }{12}+isin\frac{5\pi }{12})$

Lại có: 1- i =$\sqrt{2}(cos\left ( -\frac{\pi }{4} \right )+isin(-\frac{\pi }{4}))$

Suy ra: z=$\frac{1-i}{(\sqrt{3}+i)(2+2i)}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}.\left [ cos(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12})+isin(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12}) \right ]+isin(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12})$

=$\frac{1}{4}\left [ cos(-\frac{2\pi }{3})+isin(-\frac{2\pi }{3})\right ]$

4. Công thức Moivre và ứng dụng

4.1. Công thức Moivre

Với mọi n∈N* ta có:

$\left [ r(cos\varphi  )+isin\varphi\right ]^{n}=r^{n}(cos\varphi  +isin\varphi )$

Khi r=1 ta có: 

(cosφ+i sin φ)n=cos nφ+isin nφ

Hai công thức này được gọi là công thức Moivre

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Biến đổi số phức sau sang dạng lượng giác: z=$(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{10}$

Lời giải:

$\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2.(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$

Do đó: z=$(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{10}=\left [ 2.(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4}) \right ]^{10}$

=$2^{10}(cos\frac{10\pi }{4}+isin\frac{10\pi }{4})=2^{10}(cos\frac{5\pi }{2}+isin\frac{5\pi }{2})$

Ví dụ 2: Biến đổi số phức sau sang dạng lượng giác: z=$\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho số phức sau: z=$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}i^{5})(1+\sqrt{3}i)^{7}$. Tìm phần ảo của số phức.

Lời giải: 

Ta có: $1+\sqrt{3}i=2.(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}) $ và $i^{4}=1$

$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3})i^{5}(1+\sqrt{3}i)^{7}$

=$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}).i.\left [ 2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}) \right ]^{7}$

=$2^{7}(cos(-\frac{\pi }{3}+isin(-\frac{\pi }{3})).i(cos\frac{7\pi }{3}+isin\frac{7\pi }{3})$

=$2^{7}\left [ cos2\pi +isin2\pi  \right ]i=2^{7}i$

Vậy phần ảo bằng $2^{7}$=128

4.2. Ứng dụng vào lượng giác

Ta có công thức khai triển lũy thừa bậc 3 của nhị thức cosφ+isinφ cho ta:

$(cos\varphi +isin\varphi )^{3}=cos^{3}\varphi -3cos\varphi sin^{2}\varphi +i(3cos^{2}\varphi sin\varphi -sin^{3}\varphi )$

Mặt khác theo công thức Moivre:

$(cos\varphi +isin\varphi )^{3}=cos3\varphi =isin3\varphi $

Từ đó suy ra:

$cos3\varphi =cos^{3}\varphi -3cos\varphi sin^{2}\varphi =4cos^{3}\varphi -3cos\varphi $

$sin3\varphi =3cos^{2}\varphi sin\varphi -sin^{3}\varphi =3sin\varphi -4sin^{3}\varphi $

Tương tự, bằng cách đối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức cosφ+i sinφ với công thức Moivre, ta có thể biểu diễn cos nφ và sin nφ theo các lũy thừa của cosφ và sinφ. 

4.3. Căn bậc hai của số phức dạng lượng giác

Từ công thức Moivre, dễ thấy số phức z=r(cosφ+isinφ),r>0 có 2 căn bậc hai là:

$\sqrt{r}(cos\frac{\varphi }{2}+isin\frac{\varphi }{2})$ và $-\sqrt{r}(cos\frac{\varphi }{2}+isin\frac{\varphi }{2})=\sqrt{r}(cos(\frac{\varphi }{2}+\pi )+isin(\frac{\varphi }{2}+\pi ))$

Ví dụ 1: Căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i là kết quả nào sau đây?

A. $z_{0}=3+2i,z_{1}=3-2i$

B. $z_{0}=3-2i,z_{1}=-3+2i$

C. $z_{0}=2-3i,z_{1}=-2+3i$

D. Một kết quả khác 

Lời giải: 

Gọi v=x+iy là căn bậc hai của z, ta có:

$v^{2}=z\Leftrightarrow (x+iy)^{2}=5+12i$
$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xy=5+12y$

Vậy z=5+12i có căn bậc hai là $z_{0}=3+2i$, $z_{1}=-3-2i$

=> Chọn A

Ví dụ 2: Căn bậc hai của số phức 4 + 65i là: 

Lời giải: 

Giả sử v là một căn bậc hai của $4+6\sqrt{5}i$. Ta có:

$v^{2}=4+6\sqrt{5}i\Leftrightarrow w^{2}=(3+\sqrt{5}i)^{2}\Leftrightarrow w=\pm (3+\sqrt{5})i$

Đăng ký ngay để được thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi phù hợp, đạt hiểu quả tốt nhất!

5. Một số dạng lượng giác của số phức thường gặp và ví dụ minh hoạ

5.1. Dạng 1: Chuyển số phức về dạng lượng giác

Cho số phức: z=a+bi, viết z dưới dạng z=r(cosφ+isinφ)

• Phương pháp: 

Bước 1: Tính r=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Bước 2: Tính φ thỏa mãn $cos\varphi =\frac{a}{r},sin\varphi =\frac{b}{r}$ 

• Lưu ý:

Ví dụ 1: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác:

a, 5

b, -7

c, 6i

d, -10i 

Lời giải:

a, 5 = 5(1+0i) = 5(cos0+i sin0)

b, -7 = 7(-1+0i) = 7(cos$\pi $+sin$\pi $i)

c, 6i=6(0+i)=6(cos$\frac{\pi }{2}$+isin$\frac{\pi }{2}$)

d, -10i=10(0-i)=10(cos$-\frac{\pi }{2}$+isin$-\frac{\pi }{2}$)

Ví dụ 2: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác:

a, $(1+3i)(i+2i)$

b, $(1+i)\left [ 1+(\sqrt{3}-2) i\right ]$

c, $(\sqrt{2}-2i)\left [ \sqrt{2} +(3\sqrt{2}-4)i\right ]$

Lời giải:

Ví dụ 3: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác:

a, $1+\frac{i}{\sqrt{3}}$

b, $1+\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})i$

Lời giải: 

Ví dụ 4: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác:

a, $\frac{1}{2+2i}$

b, $\frac{3-i}{1-2i}$

c, $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$

Lời giải: 

5.2. Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức

Phương pháp: 

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn biểu thức.

Ví dụ 1: Tính số phức sau: z=$\frac{(1-i)^{10}(\sqrt{3}+1)^{5}}{(-1-i\sqrt{3})^{10}}$

Lời giải: 

Vdụ 2: Giải phương trình: $z^{5}+z^{4}+x^{3}+x^{2}+z+1=0 (1)$

Lời giải: 

(1) <=> $z^{4}(z+1)+z^{2}(z+1)+(z+1)=0$

<=>  $(z+1)(z^{4}+z^{2}+1)=0$

<=> z= -1 hoặc $(z^{4}+z^{2}+1)=0$

Xét phương trình:

Tóm lại, phương trình có tất cả 5 nghiệm: $z=-1,z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

6. Một số bài tập dạng lượng giác của số phức và phương pháp giải

Ví dụ 1: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác: 

a, $(1-i)(1+i)$

b, $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$ 

c, $\frac{1}{2+2i}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 

a, $\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

b, $(cos\frac{\pi }{6}-isin\frac{\pi }{6})i^{-5}(1+\sqrt{3}i)^{7}$

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho số phức: z =$1-cos\frac{\pi }{8}+i.sin\frac{\pi }{8}$. Tính $z^{1012}$

Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp các số nguyên n và $n\epsilon \left [ 1;10 \right ]$ sao cho số phức $z=(1+i\sqrt{3})^{n}$ là số thực. Số phần tử của tập S là? 

Lời giải: 

Ta có: $1+i\sqrt{3}=2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3})$

z=$2^{n}(cos\frac{n\pi }{3}+isin\frac{n\pi }{3})$

Để $z\epsilon \Rightarrow 2^{n}sin\frac{\pi }{3}=0\Rightarrow sin\frac{\pi }{3}=0$

 ⇒ n chia hết cho 3 và n nguyên dương $n\epsilon \left [ 1;10 \right ]$

⇒ $n\epsilon \left \{ 3;6;9 \right \}$

Tập S có ba phần tử

Ví dụ 5: Tìm số phức z sao cho $z^{5},\frac{1}{z^{2}}$ là hai số phức liên hợp?

Lời giải:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng lượng giác của số phức. Để đạt được kết quả tốt nhất các em cần làm thêm nhiều dạng bài tập khác. Mong rằng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức lớp 12 phục vụ ôn thi THPT QG ngay từ hôm nay nhé!

>> Xem thêm: Lý thuyết số phức và cách giải các dạng bài tập cơ bản