Định lí Pythagore và ứng dụng| Toán 8 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 08:42 23/04/2024 292 Tag Lớp 8

Tìm hiểu về định lý pythagore và ứng dụng để hiểu rõ về mối liên hệ giữa độ dài ba cạnh của tam giác vuông. Qua kiến thức này, các em có thể áp dụng giải quyết các dạng bài tập liên quan.

Định lí Pythagore và ứng dụng| Toán 8 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định lý pythagore toán 8

- Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

- Chứng minh định lý:

Giả thiết: $\large \Delta ABC; \widehat{A}=90^{o}$

Kết luận: BC² = AB² + AC²

Chứng minh:

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

Hai tam giác ABC và HBA có: $\large \widehat{BAC}=90^{o}=\widehat{BHA}; \widehat{B}$ chung.

Vậy $\large \Delta ABC \sim \Delta HBA(g.g)$

$\large \Rightarrow \frac{AB}{HB}=\frac{BC}{AB}$ hay $\large AB^{2}=HB.BC$ (1)

Tương tự, $\large \Delta ABC \sim \Delta HAC(g.g)$

$\large \Rightarrow \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}$ hay $\large AC^{2}=HC.BC$ (2)

Từ (1) và (2) => AB² + AC² = (HB + HC).BC = BC²

2. Định lý pythagore đảo toán 8

- Nếu một tam giác có bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng cách bình phương độ dài của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

3. Ứng dụng của định lý pythagore toán 8

3.1 Tính độ dài đoạn thẳng

Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm. Hãy tính độ dài cạnh BC, đường cao AH và các đoạn thẳng BH, CH.

Lời giải:

Áp dụng định lý pythagore cho tam giác vuông ABC, ta được:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100 hay BC = 10cm.

Vì diện tích của tam giác ABC bằng $\large \frac{AB.AC}{2}=\frac{AH.BC}{2}$

$\large \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=4,8cm$

Áp dụng định lý pythagore cho tam giác vuông AHB, ta được:

BH² = AB² - AH² = 6² - 4,8² = 12,96 => BH = 3,6cm.

=> CH = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4cm

Nhận xét: Nếu tam giác vuông ABC cân tại A có đường cao AH = h, các cạnh BC = a, AC = b, AB = c thì h.a = b.c

3.2 Chứng minh tính chất hình học

Bài toán: Một chiếc cột có chiều cao h dựng thẳng đứng trên mặt đất tại điểm M, người ta kéo căng các sợi dây từ đỉnh cột (điểm A) lần lượt đến các điểm C và D trên mặt đất. Biết rằng CM = c; DM = d và c < d. Hãy chứng minh rằng a < b.
Lời giải:

Áp dụng định lý pythagore cho hai tam giác vuông AMC và AMD, ta được:

AC²= AM² + CM², hay a² = h² + c² (1)

và AD² = AM² + DM², hay b² = h² + d² (2)

Vì c < d nên từ (1) và (2) => a² < b². Do đó a < b.

Lộ trình khóa học DUO sẽ được thiết kế riêng cho từng nhóm học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước đạt điểm 9, 10 trong mọi bài kiểm tra.

4. Bài tập về định lý pythagore toán 8

4.1 Bài tập về định lý pythagore toán 8 kết nối tri thức

Bài 9.17

Tam giác ABC vuông tại A thì BC là cạnh huyền.

Khi đó, theo định lí Pythagore, ta có BC² = AB² + AC² => BC² – AC² = AB² hay BC² − AB² = AC².

Do đó b) và d) là khẳng định đúng; a) và c) là khẳng định sai.

Bài 9.18

Do 1 + 1 = 2 và 2 + 4 = 6 < 20 nên các bộ ba trong a) , b) đều không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Vì 5² = 3² + 4² và $\large (2\sqrt{2})^{2}=2^{2}+2^{2}$ nên các bộ ba trong c), d) là độ dài ba cạnh của tam giác vuông (theo định lí Pythagore đảo).

Bài 9.19

Các tam giác trong hình đều là các tam giác vuông nên ta áp dụng định lí Pythagore.

+) x² = 4² + 2² = 20. Suy ra x = $\large 2\sqrt{5}$ .

+) 5² = 4² + y² nên y² = 5² − 4² = 9. Suy ra y = 3.

+) z² = $\large (\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}$ = 25. Suy ra z = 5.

+) t² = 1²+ 2² = 5. Suy ra t = $\large \sqrt{5}$ .

Bài 9.20

Vì tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường trung tuyến hay H là trung điểm BC. Suy ra HB = HC = BC : 2 = 10 : 2 = 5 cm.

Xét tam giác AHB vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có

AB² = AH² + HB² = 3² + 5² = 34.

Suy ra AB = $\large \sqrt{34}$ cm.

Do tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = $\large \sqrt{34}$ cm.

Bài 9.21

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại B ta có: AB² + BC² = AC².

Suy ra BC² = AC² – AB² = 17²– 8²= 225.

Do đó, BC = 15 (cm).

Diện tích của hình chữ nhật là: AB . BC = 8 . 15 = 120 (cm²)

Bài 9.22

- Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABE vuông tại B, có

AE² = AB² + BE² = 5² + 3² = 34.

Suy ra AE = $\large \sqrt{34}$ m < 6 m.

Suy ra chú cún có thể chạy đến điểm E do khoảng cách AE ngắn hơn sợi dây.

- Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ADF vuông tại D, có

AF² = AD² + DF² = 5² + 4² = 41.

Suy ra AE = $\large \sqrt{41}$ m > 6 m.

Suy ra chú cún không thể chạy đến điểm F do khoảng cách AF dài hơn sợi dây.

- Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ADC vuông tại D, có

AC² = AD² + DC² = 5² + 5² = 50.

Suy ra AE = 5 $\large \sqrt{2}$ m > 6 m.

Suy ra chú cún không thể chạy đến điểm C do khoảng cách AC dài hơn sợi dây.

Vậy chú cún không thể chạy hết tất cả các điểm của mảnh vườn. Chú chó chỉ có thể chạy đến điểm B, D, E.

4.2 Bài tập về định lý pythagore toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25².

Vậy BC = 25 cm.

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC².

Suy ra AB² = BC² – AC² = $\large (\sqrt{13})^{2}$ – 2² = 13 – 4 = 9 = 3².

Vậy AB = 3 cm.

c) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC².

Suy ra: AC² = BC² – AB² = 25² – 15² = 625 – 225 = 400 = 20².

Vậy AC = 20 cm.

Bài 2

Đặt các điểm A, B, C như hình vẽ trên.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC².

Suy ra: AC² = BC² – AB² = 50² – 25² = 2 500 – 625 = 1 875 .

Do đó AC = $\large \sqrt{1875}$ (m).

Độ cao của con diều so với mặt đất là:

1 + $\large \sqrt{1875}$ $\large \approx 44,3$ (m).

Vậy độ cao của con diều so với mặt đất khoảng 44,3 m.

Bài 3

Áp dụng định lí Pythagore lần lượt cho các tam giác vuông có cạnh huyền a, b, c, d trong Hình 12 ta có:

• a² = 1² + 1² = 2, suy ra a = $\large \sqrt{2}$ ;

• b² = a² + 1² = 2 + 1 = 3, suy ra b = $\large \sqrt{3}$ .

• c² = b² + 1² = 3 + 1 = 4, suy ra c = $\large \sqrt{4}$ = 2.

• d² = c² + 1² = 4 + 1 = 5, suy ra d = $\large \sqrt{5}$ .

Dự đoán kết quả của các cạnh huyền còn lại:

e = $\large \sqrt{6}$ ; f = $\large \sqrt{7}$ ; g = $\large \sqrt{8}$ ; h = $\large \sqrt{9}$ = 3; i = $\large \sqrt{10}$ ; j = $\large \sqrt{11}$ ; k = $\large \sqrt{12}$ ; l = $\large \sqrt{13}$ ; m = $\large \sqrt{14}$ .

Bài 4

a) Ta có: 17² = 8² + 15². Suy ra BC² = AB² + AC².

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

b) Ta có 29² = 20² + 21². Suy ra AB² = BC² + AC².

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

c) Ta có 37² = 12² + 35². Suy ra AC² = AB² + BC².

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Bài 5

Đặt các điểm A, B, C, H như hình vẽ trên.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại C, ta có:

AB² = AC² + BC².

Suy ra: AC² = AB² – BC² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144 = 12².

Do đó AC = 12 m và AH = 12 + 3 = 15 (m).

Vậy chiều cao mà thang có thể vươn tới là 15 m.

Bài 6

Đặt các điểm A, B lần lượt là vị trí của đỉnh tháp hải đăng, chân tháp hải đăng và C là vị trí của con thuyền.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC² = 25² + 180² = 625 + 32 400 = 33 025.

Suy ra AC ≈ 181,73 (m).

Vậy khoảng cách từ thuyền đến ngọn hải đăng khoảng 181,73 m.

4.3 Bài tập về định lý pythagore toán 8 cánh diều

Bài 1

Do tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² (1)

a) Từ (1) suy ra AC² = BC² – AB² = 17² – 8² = 289 – 64 = 225 = 15²

Do đó AC = 15 (cm).

b) Từ (1) suy ra BC² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29²

Do đó BC = 29 (cm).

c) Từ (1) suy ra BC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72

Do đó: $\large BC=\sqrt{72}=\sqrt{36.2}=6\sqrt{2}$

Bài 2

a) Ta có: 12² + 35² = 144 + 1 225 = 1 369 và 37² = 1 369.

Suy ra 12² + 35² = 37²

Do đó theo định lí Pythagore đảo, tam giác có độ dài ba cạnh 12 cm, 35 cm, 37 cm là tam giác vuông.

b) Ta có: 7² + 8² = 49 + 64 = 113 và 10² = 100.

Suy ra 7² + 8² ≠ 10².

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh 10 cm, 7 cm, 8 cm không phải là tam giác vuông.

c) Ta có: 6² + 7² = 36 + 49 = 85 và 11² = 121.

Suy ra 6² + 7² ≠ 11².

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh 11 cm, 6 cm, 7 cm không phải là tam giác vuông.

Bài 3

Do tam giác đã cho là tam giác vuông cân nên độ dài hai cạnh góc vuông cùng bằng 1 dm

Khi đó theo định lí Pythagore, độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân đó là:

$\large \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} (dm)$

Bài 4

a) Vẽ đường cao AH của tam giác đều ABC.

Khi đó H là trung điểm của BC nên HB = HC = 1/2a.

Xét tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AH² + HC²

Suy ra AH² = AC² – HC²

$\large =a^{2}-\left ( \frac{1}{2}a \right )^{2}=a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}=\frac{3}{4}a^{2}=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}.a^{2}=\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^{2}$

Do đó: $\large AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Diện tích của tam giác ABC là:

$\large S=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Bài 5

Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AB² = AC² + BC²

Suy ra BC² = AB² – AC² = 3,5² – 2,1² = 12,25 – 4,41 = 7,84 = 2,8²

Do đó BC = 2,8 m.

Vậy khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là 2,8 mét.

Bài 6

Ta có: AB = BH – AH = BH – CK = 7 – 6 = 1 (m).

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² = 1² + 5² = 1 + 25 = 26.

$\large \Rightarrow BC=\sqrt{26}=5,09901\approx 5,10(m)$

Vậy chiều dài của mái che sân khấu đó khoảng 5,10 mét.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là lý thuyết Định lý pythagore toán 8 chi tiết cùng hướng dẫn giải bài tập cuối sách toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Tham khảo thêm các bài học khác trong chương trình toán 8 tại trang web vuihoc.vn bạn nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: