Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
img

Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

Tác giả Cô Hiền Trần 14:31 08/10/2024 285,147 Tag Lớp 12

Nguyên hàm In x là dạng bài tập khiến nhiều học sinh bị mất điểm. Vì vậy để ăn trọn điểm bài tập phần này các em cần nắm chắc toàn bộ công thức cũng như luyện tập thật nhiều dạng bài tập. Hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây để không bị mất điểm phần này nhé!

Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập
Mục lục bài viết
1. Khái niệm nguyên hàm lnx
2. Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)
3. Cách tính nguyên hàm lnx
3.1. Nguyên hàm ln(x+1)
3.2. Nguyên hàm 1+ln/x
3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)
3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx
3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x
3.6. Tính nguyên hàm của ln(lnx)/x

1. Khái niệm nguyên hàm lnx

Ta có hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số f(x) chính là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu f(x)=f(x) với xK. Nguyên hàm của lnx sẽ được tính như sau:

Đặt {u=lnxdv=dx{du=1xdxv=x

Ta có lnxdx=xlnxdx=xlnxx+C

2. Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)

Ta có bảng công thức nguyên hàm In x và một số nguyên hàm cơ bản thường gặp.

Bảng nguyên hàm Inx và một số nguyên hàm cơ bản

3. Cách tính nguyên hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Với 21ln(x+1)dx=aln3+bln2+c, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính S=a+b=c.

Giải:

Đặt  {u=ln(x+1)dv=dx{du=1x+1dxv=x+1

Lúc này ta có:

21ln(x+1)dx=(x+1)ln(x+1)|2121dx=3ln32ln21

Như vậy: a=3; b=-2; c=-1

S=a+b+c=0

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: B=x2Inxdx

Giải: 

B=x2lnxdx=lnxd(x33)

=x33lnxx33.d(lnx)

=x33lnxx33.dx3=x33lnxx39+C

Nắm trọn kiến thức về nguyên hàm và các kiến thức Toán thi THPT Quốc Gia khác với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm J=(lnx+1)lnx(lnx+1+x)dx

Giải:

Ta có: J=lnx+1x(lnx+1x+1)3.lnxx2dx

Đặt t=lnx+1xdt=lnxx2dxJ=tdt(t+1)3=[1(t+1)31(t+1)2]dt

=12(t+1)2+1t+1+C

=x22(lnx+1+x2)+xlnx+x+1+C

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của:

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Giải:

a) Đặt {u=xdv=2xdx{du=dxv=2xln2.

Ta có: x2xdx=x.2xln22xln2dx=x.2xln22xln22+C

b) Đặt {u=x21dv=exdx{du=2xdxv=exdx

Suy ra ta có f(x)dx=(x21)ex2x.ex dx

Đặt {u=2xdv=exdx{du=2dxv=exdx

Ví dụ 3: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=(3x2+1).lnx

A. f(x)dx=x(x2+1)lnxx33+C

B. f(x)dx=x3lnxx33+C

C. f(x)dx=x(x2+1lnxx33x+C

D. f(x)dx=x3lnxx33x+C

Giải:

Đặt {u=lnxdv=(3x2+1)dx{du=1xdxv=(3x2+1)dx=x3+x

I=(x3+x)lnx(x3+x)1xdx=x(x2+1)lnx(x2+1)dx=x(x2+1lnxx33x+C.

=> Đáp án C.

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:

Bất phương trình In(2x2+3)>In(x2+ax+1) nghiệm đúng với mọi số thực khi?

Giải:

Giải bài toán nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm:

a) 2xln(x1)dx

b) ln(x+1)x2

Giải:

a) Đặt {u=ln(x1)dv=2xdx{du=1x1dxv=x21

Ta có 2xln(x1)dx

=(x21)ln(x1)(x+1)dx

=(x21)ln(x1)(x+1)dx

=(x21)ln(x1)x22x+C

Đặt {u=ln(1+x)dv=1x2dt{du=1(1+x)dxv=1x1=1+xx

=> F(x)=1+xx.ln(1+x)+1xdx

1+xxln(1+x)+ln|x|+C

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm I=xIn(x2+1)x2+1dx

Giải:

Tính nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 2:

Cho 21ln(1+x)x2dx=aln2+bln3, với a và b là các số hữu tỉ. Tính P=ab

A. P=32

B. P=0

C. P=92

D. P=-3

Giải:

Ta có I=21ln(1+x)x2dx=aln2+bln3

Đặt {u=ln(1+x)dv=1x2dx{du=11+xdxv=1x

Khi đó I=1xln(1+x)|21+211x(1+x)dx=12ln3+ln2+21(1x11+x)dx

=12ln3+ln2+(lnxx+1)|21=12ln3+ln2+2ln2ln3=3ln232ln3

Suy ra a=3, b=32. Vậy P=ab=92

Chọn đáp án C.

 

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích  

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô  

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

 

3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x+In(x)x

Giải:

Ta có: 

y’= 1x2+ln(x)xln(x)xx2

=1x2+1+ln(x)x2=ln(x)x2

Ví dụ 2:

Giả sử tích phân I=5111+3x+1dx=a+bln3+cln5. 

Lúc đó:

A. a+b+c=53

B. a+b+c=43

C. a+b+c=73

D. a+b+c=83

Giải:

Đặt t = 3x+1dx=23tdt

Đổi cận

x 1 5
t 2 4

Ta có I=5111+3x+1dx=4111+t.23tdt=2342tt+1dt=2342(11t+1)dt=23(tln|1+t|)|42=43+23ln323ln5

Do đó a=43;b=23;c=23

Vậy a+b+c=43

=> Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Biết tích phân ln60ex1+ex+3dx=a+bln2+cln2, với a, b, c là các số nguyên. Tính T=a+b+c

A. T=-1

B. T=0

C. T=2

D.T=1

Giải:

Đặt t=ex+3t2=ex+32tdt=exdx

Đổi cận {x=ln6x=0{t=3t=2

Suy ra ln60ex1+ex+3dx=322tdt1+tdt=(2t2ln|t+1|)|32

=(62ln4)(42ln3)=24ln2+2ln3{a=2b=4c=2

Vậy T=0

=> Chọn đáp án B

3.6. Tính nguyên hàm của ln(lnx)/x

Tính nguyên hàm I=ln(lnx)xdx được kết quả nào sau đây?

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số  I=ln(lnx)xdx

Giải:

Đặt lnx=t => dt = dxx

Suy ra I=ln(lnx)xdx=lntdt

Đặt {u=lntdv=dt{du=dttv=t

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

I=tlntdt=tlntt+C=lnx.ln(lnx)lnx+C

Ví dụ 2:

Cho I=e1lnxx(lnx+2)2dx=aln3+bln2+c3 với a, b, c Z. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. a2+b2+c2=1

B. a2+b2+c2=11

C. a2+b2+c2=9

D. a2+b2+c2=3

Giải:

Ta có I=e1lnxx(lnx+2)2dx,đtlnx+2=t=>dxx=dt

I=32t2t2dt=321tdt2321t2dt

=lnt|32+2t|32

=ln3ln2+2322=ln3ln213

Suy ra a=1;b=-1;c=-1

Vậy a2+b2+c3=3

Bên cạnh đó, thầy Trường Giang đã có bài giảng cực hay về nguyên hàm tích phân cùng những tip giải bài tập rất hữu ích để giải đề thi THPT Quốc gia. Các em cùng xem trong video dưới đây nhé!

 
Nắm trọn bí kíp đạt 9+ thi Toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia ngay

Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm Inx, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức hay em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

 

     Tham khảo thêm:

Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

 

>> Xem thêm:

Banner afterpost tag lớp 12
2.6 | 5 đánh giá
Hotline: 0987810990