Đường trung bình của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 10:43 19/04/2024 40,236 Tag toán 8

Trong chương trình toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo, cánh diều các em sẽ được học các kiến thức về đường trung bình của tam giác. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp kiến thức các em cần nắm trong bài đường trung bình của tam giác. Mời các em cùng theo dõi.

Đường trung bình của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định nghĩa đường trung bình của tam giác

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

2. Tính chất đường trung bình của tam giác

- Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

- Chú ý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

3. Bài tập đường trung bình của tam giác toán 8 chương trình mới

3.1 Bài tập đường trung bình của tam giác toán 8 kết nối tri thức

Bài 4.6 trang 83 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

- Hình 4.18a)

Ta có: DH = HF, H ∈ DF nên H là trung điểm của DF;

EK = KF, K ∈ EF nên K là trung điểm của EF.

Xét tam giác DEF có H, K lần lượt là trung điểm của DF, EF nên HK là đường trung bình của tam giác DEF.

$\large \Rightarrow HK=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}x$

Do đó x = 2HK = 2 . 3 = 6.

- Hình 4.18b)

Vì MN ⊥ AB, AC ⊥ AB nên MN // AC.

Mà M là trung điểm của AB (vì AM = BM = 3)

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó N là trung điểm của BC nên y = NC = BN = 5.

Vậy x = 6; y = 5.

Bài 4.7 trang 83 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // BC.

Tứ giác BMNC có MN // BC nên tứ giác BMNC là hình thang (đpcm).

b) Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC suy ra NP // AB hay NP // MB.

Tứ giác MNPB có MN // BP (do MN // BC); BM // NP (chứng minh trên).

Do đó, tứ giác MNPB là hình bình hành.

Bài 4.8 trang 83 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

a) Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Ta có BE = DE và E ∈ BD nên E là trung điểm của BD.

Xét tam giác BCD có E, M lần lượt là trung điểm của BD, BC nên EM là đường trung bình của tam giác BCD.

Do đó DC // EM (tính chất đường trung bình).

b) Ta có D là trung điểm của AE (vì AD = DE, D ∈ AE).

Mà DI // EM (vì DC // EM).

Do đó DI là đường trung bình của tam giác AEM.

Suy ra I là trung điểm của AM.

Bài 4.9 trang 83 SGK Toán 8/1 kết nối tri thức

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\large \widehat{BAD}=90^{o}$ và hai đường chéo AC, BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

=> AB ⊥ AD; O là trung điểm của AC và BD.

Vì O, H lần lượt là trung điểm của BD và AB nên OH là đường trung bình của $\large \Delta$ ABD.

=> OH // AD mà AB ⊥ AD nên OH ⊥ AB hay $\large \widehat{AHO}=90^{o}$

Tương tự, ta chứng minh được: OK ⊥ AD hay $\large \widehat{AKO}=90^{o}$

Ta có $\large \widehat{BAD}+\widehat{AHO}+\widehat{AKO}+\widehat{HOK}=360^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{HOK}=360^{o}-90^{o}-90^{o}-90^{o}=90^{o}$

=> Tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

Khóa học DUO cung cấp cho các em nền tảng kiến thức toán vững chắc, bứt phá điểm 10 trong mọi bài kiểm tra trên lớp.

3.2 Bài tập đường trung bình của tam giác toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 54 SGK toán 8/2 Chân trời sáng tạo

a) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có:

BC = 2MN => x = BC = 12.

b) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có:

BC = 2MN => 2x + 3 = 14 => x = 5,5

c) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có:

BC = 2MN => 58 = 2(5x − 1)

=> 58 = 10x – 2 => x = 6

Bài 2 trang 54 SGK toán 8/2 Chân trời sáng tạo

Xét tam giác ABC có:

AP = PB = 8 cm

AQ = QC = 7 cm

Khi đó, PQ là đường trung bình tam giác ABC.

Do đó $\large PQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.9=4,5cm$ .

Bài 3 trang 54 SGK toán 8/2 Chân trời sáng tạo

Ta có:

$\large AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$

$\large AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$

$\large BC=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$

Xét $\large \Delta$ ABC có:

P là trung điểm của BC

Q lần lượt là trung điểm của AC

Do đó PQ là đường trung bình $\large \Delta$ ABC.

Khi đó:

$\large PQ=\frac{1}{2}AB =\frac{1}{2}.2\sqrt{5}=\sqrt{5}$

Tương tự:

$\large PR=\frac{1}{2}AC =\frac{1}{2}.2\sqrt{5}=\sqrt{5}$

$\large RQ=\frac{1}{2}BC =\frac{1}{2}.2\sqrt{10}=\sqrt{10}$

Vậy $PQ=\sqrt{5}; PR=\sqrt{5}; RQ=\sqrt{10; AB = 2\sqrt{5}}; AC=2\sqrt{5}; BC=2\sqrt{10}$

Bài 4 trang 54 SGK toán 8/2 Chân trời sáng tạo

a) Xét $\large \Delta$ FBA và FCK ta có:

$\large \widehat{F_{1}}=\widehat{F_{2}}$ (hai góc đối đỉnh)

FB = FC (giả thiết)

$\large \widehat{FBA}=\widehat{FCK}$ (AB // CD, hai góc so le trong)

Do đó $\large \Delta$ FBA = ΔFCK (g.c.g)

b) $\large \Delta$ FBA = $\large \Delta$ FCK => FA = FK

Xét $\large \Delta$ ADK có:

EA = ED

FA = FK

=> EF là đường trng bình tam giác ABC.

=> EF // DK

Mà AB // CD nên EF // CD // AB.

c) EF là đường trung bình $\large \Delta$ ADK.

$\large \Rightarrow EF=\frac{1}{2}DK=\frac{1}{2}(CD+CK)$

Mà CK = BA (do $\large \Delta$ FBA = $\large \Delta$ FCK)
$\large \Rightarrow EF=\frac{AB+CD}{2}$

Bài 5 trang 54 SGK toán 8/2 Chân trời sáng tạo

Xét $\large \Delta$ ABC ta có:

M là trung điểm của AB (gt);

N là trung điểm của AC (gt);

Do đó MN là đường trung bình của $\large \Delta$ ABC nên MN // BC.

=> tứ giác MNPH là hình thang.

Xét $\large \Delta$ ABC ta có:

M là trung điểm của AB (gt);

P là trung điểm của BC;

Do đó MP là đường trung bình của $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC$

Vì $\large \Delta$ ACH vuông tại H có HN là trung tuyến (N là trung điểm của AC)

$\large \Rightarrow NH=\frac{1}{2}AC$

Lại có $\large MP=\frac{1}{2}AC\Rightarrow NH=MP$

Hình thang MNPH (MN // PH) có MP = NH nên là hình thang cân.

Bài 6 trang 54 SGK toán 8/2 Chân trời sáng tạo

Xét $\large \Delta$ ABH có:

AD = BD

BE = EH

Do đó DE là đường trung bình tam giác ABH

$\large \Rightarrow DE=\frac{1}{2}AH$

$\large \Rightarrow x=\frac{1}{2}.2,8=1,4m$

Bài 7 trang 54 SGK toán 8/2 Chân trời sáng tạo

Xét $\large \Delta$ ADE có:

B là trung điểm AD

C là trung điểm AE

Do đó BC là đường trung bình của $\large \Delta$ ADE.

Khi đó DE = 2BC = 2.232 = 464 (m).

3.3 Bài tập đường trung bình của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 65 SGK toán 8/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABCvới MN // BC, ta có: $\large \frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ (định lí Thalès)

Mà AM = MB (do M là trung điểm của AB) nên AN = NC.

Xét $\large \Delta$ ABCvới MN // BC, ta có: $\large \frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Mà $\large AM=\frac{1}{2}AB$ (do M là trung điềm của AB)

$\large \Rightarrow MN=\frac{1}{2}BC$

Bài 2 trang 65 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Do PN = NB nên N là trung điểm của BP.

Do AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên M là trung điểm của BC.

Xét $\large \Delta$ BCP có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BP nên MN là đường trung bình của ∆BCP

=> MN // CP.

b) Do AP = PN nên P là trung điểm của AN.

Mà MN // CP, Q ∈ CP nên MN // PQ.

Xét $\large \Delta$ AMN có PQ đi qua P là trung điểm của AN và PQ // MN

=> Q là trung điểm của AM nên AQ = QM.

c) Xét $\large \Delta$ AMN có P, Q lần lượt là trung điểm của AN, AM nên là đường trung bình của $\large \Delta$ AMN.

$\large \Rightarrow PQ=\frac{1}{2}MN$

Lại có MN là đường trung bình của $\large \Delta$ BCP

$\large \Rightarrow MN=\frac{1}{2}CP$

Khi đó $\large PQ=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}CP=\frac{1}{4}CP$

=> CP = 4PQ.

Bài 3 trang 65 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Xét $\large \Delta$ ABC có M, N lần lượt là trung điểm AB, BC nên MN là đường trung bình của ∆ABC

=> MN//AC và $\large MN=\frac{1}{2}AC$ (1)

Xét $\large \Delta$ ADC có P, Q lần lượt là trung điểm DC, AD nên PQ là đường trung bình của $\large \Delta$ ADC

=> PQ//AC và $\large PQ=\frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) => MN // PQ; MN = PQ.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ; MN = PQ nên MNPQ là hình bình hành.

b) Xét $\large \Delta$ ABD có M, Q lần lượt là trung điểm AB, AD nên MQ là đường trung bình của $\large \Delta$ ABD

=> MQ // BD và $\large MQ=\frac{1}{2}BD$

Mà $\large MN=\frac{1}{2}AC$ và AC = BD nên MN = MQ.

Hình bình hành MNPQ có MN = MQ nên MNPQ là hình thoi.

c) Ta có MN // AC (câu a), MQ // BD (câu b) và AC ⊥ BD (giả thiết)

Suy ra MN ⊥ MQ hay góc NMQ = 90^o

Hình bình hành MNPQ có góc NMQ = 90^o nên là hình chữ nhật.

Bài 4 trang 65 SGK toán 8/1 cánh diều

Xét ∆ABH có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BH nên MN là đường trung bình $\large \Delta$ ABH.

Suy ra MN//AH (1)

Tương tự, xét ∆AHC ta cũng có PQ là đường trung bình $\large \Delta$ AHC nên PQ//AH (2)

Từ (1) và (2) ta có MN // PQ // AH.

Chứng minh tương tự như trên với $\large \Delta$ ABC và $\large \Delta$ HBC, ta cũng có MQ, NP lần lượt là đường trung bình của $\large \Delta$ ABC và $\large \Delta$ HBC.

Do đó MQ // BC và NP // BC. Suy ra MQ // NP // BC.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ và MQ // NP nên MNPQ là hình bình hành.

⦁ Ta có MN//AH và AH ⊥ BC (do H là trực tâm của ∆ABC) nên MN ⊥ BC

Lại có NP // BC nên => MN ⊥ NP hay góc MNP =90°.

Hình bình hành MNPQ có góc MNP =90° nên MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 5 trang 65 SGK toán 8/1 cánh diều

Xét ∆ABC có MN là đường trung bình của ∆ABC nên MN=1/2BC

=> BC = 2MN = 2.4,5 = 9(m).

Vậy khoảng cách giữa hai mép dưới của mái khoảng 9 m.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức về đường trung bình của tam giác trong chương trình toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Bên cạnh đó VUIHOC hướng dẫn các em cách giải các bài tập trong sách giáo khoa. Truy cập vuihoc.vn để cập nhật thêm nhiều kiến thức toán 8 bổ ích nhé các em!

>> Mời bạn tham khảo thêm: