Phân tích đa thức thành nhân tử| Toán 8 chương trình mới

1. Phân tích đa thức thành nhân tử

Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử hay thừa số là biến đổi đa thức đố thành một tích của những đa thức. 

Ví dụ: 9x² - 4y² = (3x - 2y)(3x + 2y) là phân tích đa thức thành nhân tử vì phép biến đổi đó đã biến đa thức 9x² - 4y² thành tích của hai đa thức.

2. Các cách phân tích đa thức thành nhân tử

2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung là cách tìm nhân tử chung của mỗi hạng tử trong đa thức để viết thành tích của nhân tử đó với một đơn thức. Sau đó sử dụng các tính chất phân phối của phép nhân, phép cộng để viết thành tích của nhân tử đó và đa thức. 

A.B + A.C + A.D = A(B + C + D)

- Lưu ý: Với phương pháp phân tích này, các em cần chú ý đến quy tắc dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "−" đứng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "−“ thành dấu "+" và dấu "+” thành dấu "−". Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đứng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử

- Cách làm: 

Bước 1: Chọn và nhóm các hạng tử vào một nhóm sao cho các nhóm sau khi phân tích thành nhân tử có thừa số chung hoặc liên hệ các nhóm lá hằng đẳng thức. 

Bước 2: Nếu các nhóm có thừa số chung thì đặt chúng làm nhân tử chung ra ngoài khi đó trong ngoặc là tổng các thừa số của nhóm còn lại. 

Ví dụ: x² - y² + 2x + 2y = (x² - y²) + (2x + 2y)

= (x - y)(x + y) + 2(x + y) = (x + y)( x - y + 2)

2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

- Cách làm: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Lưu ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức phù hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ: x² - 8x + 16 = (x - 4)²

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách: Bài tập

3.1 Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử sách chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) x³ + 4x = x.x² + x.4 = x(x² + 4).

b) 6ab – 9ab² = 3ab.2 – 3ab.3b = 3ab(2 – 3b).

c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x) = 2a(x – 1) + 3b[– (x – 1)]

= 2a(x – 1) – 3b(x – 1) = (x – 1)(2a – 3b).

d) (x – y)² – x(y – x) = (x – y)² + x(x – y)

= (x – y)(x – y + x) = (x – y)(2x – y).

Bài 2 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) 4x² – 1 = (2x)² – 1² = (2x + 1)(2x –1).

b) (x + 2)² – 9 = (x + 2)² – 3²

= (x + 2 + 3)(x + 2 – 3) = (x + 5)(x – 1).

c) (a + b)² – (a – 2b)²

= [(a + b) + (a – 2b)] . [(a + b) – (a – 2b)]

= [a + b + a – 2b] . [a + b – a + 2b]

= (2a – b).3b.

Bài 3 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) 4a² + 4a + 1 = (2a)² + 2.2a.1 + 1² = (2a + 1)².

b) –3x² + 6xy – 3y² = –3(x² – 2xy + y²) = –3(x – y)².

c) (x + y)² – 2(x + y)z + z² = [(x + y) – z]² = (x + y – z)².

Bài 4 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) 8x³ – 1= (2x)³ – 1³ = (2x – 1)[(2x)² + 2x.1 + 1²]

= (2x – 1)(4x² + 2x + 1).

b) x³ + 27y³ = x³ + (3y)³

= (x + 3y)[x² – x.3y + (3y)²]

= (x + 3y)(x² – 3xy + 9y²).

c) x³ – y⁶ = x³ – (y²)³

= (x – y²)[x² + x.y² + (y²)²]

= (x – y²)(x² + xy² + y⁴).

Bài 5 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) 4x³ – 16x = 4x(x² – 4) = 4x(x² – 2²)

= 4x(x + 2)(x – 2).

b) x⁴ – y⁴ = (x²)² – (y²)²

= (x² + y²)(x² – y²)

= (x² + y²)(x + y)(x – y).

c) 

d) x² + 2x – y² + 1

= (x² + 2x + 1) – y²

= (x + 1)² – y²

= (x + 1 + y)(x + 1 – y).

Bài 6 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

a) x² – xy + x – y = (x² – xy) + (x – y)

= x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1).

b) x² + 2xy – 4x – 8y = (x² + 2xy) – (4x + 8y)

= x(x +  2y) – 4(x + 2y) = (x +  2y)(x – 4).

c) x³ – x² – x + 1 = (x³ – x²) – (x – 1)

= x²(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(x² – 1)

= (x – 1)(x + 1)(x – 1) = (x – 1)²(x + 1).

Bài 7 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo

Giả sử hình vuông có độ dài cạnh bằng a (a > 0), khi đó diện tích của hình vuông là a².

=> 49y² + 28y + 4 = a².

Ta phân tích đa thức 49y² + 28y + 4 thành nhân tử có dạng a².

49y² + 28y + 4 = (7y)² + 2.7y.2 + 2² = (7y + 2)²

Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y² + 28y + 4 là 7y + 2.

Duy nhất khóa học DUO tại VUIHOC dành riêng cho cấp THCS, các em sẽ được học tập cùng các thầy cô đến từ top 5 trường chuyên toàn quốc. Nhanh tay đăng ký thôi !!!!

3.2 Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử sách cánh diều

Bài 1 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

a) 4x² – 12xy + 9y² = (2x)² – 2 . 2x . 3y + (3y)² = (2x – 3y)²;

b) x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3 . x² . 2 + 3 . x . 2² + 2³ = (x + 3)³;

c) 8y³ – 12y² + 6y – 1 = (2y)³ – 3 . (2y)² . 1 + 3 . 2y . 1 – 1³ = (2y – 1)³;

d) (2x + y)² – 4y² = (2x + y + 4y)(2x + y – 4y) = (2x + 5y)(2x – 3y);

e) 27y³ + 8 = (3y)³ + 2³ = (3y + 2)[(3y)² – 3y . 2 + 2²]

= (3y + 2)(9y² – 6y + 4);

g) 64 – 125x³ = 4³ – (5x)³ = (4 + 5x)[4² + 4 . 5x + (5x)²]

= (4 + 5x)(16 + 20x + 25x²).

Bài 2 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

a) x² – 25 + 4xy + 4y² = (x² + 4xy + 4y²) – 25

= (x + 2y)² – 5² = (x + 2y + 5)(x + 2y – 5);

b) x³ – y³ + x²y – xy² = (x³ + x²y) – (y³ + xy²)

= (x³ + x²y) – (y³ + xy²) = x²(x + y) – y²(x + y)

= (x + y)(x² – y²) = (x + y)(x + y)(x – y) = (x + y)²(x – y);

c) x⁴ – y⁴ + x³y – xy³ = (x⁴ + x³y) – (y⁴ + xy³)

= x³(x + y) – y³(x + y) = (x + y)(x³ – y³)

= (x + y)(x – y)(x² + xy + y²).

Bài 3 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Ta có A = x⁴ – 2x²y – x² + y² + y

= (x⁴ – 2x²y + y²) – (x² – y)

= [(x²)² – 2x²y + y²] – (x² – y)

= (x² – y)² – (x² – y).

Giá trị của mỗi biểu thức A với x² – y = 6 là:

A = (x² – y)² – (x² – y) = 6² – 6 = 36 – 6 = 30.

b) B = x²y² + 2xyz + z² = (xy)² + 2xyz + z² = (xy + z)².

Giá trị của mỗi biểu thức tại xy + z = 0 là: B = (xy + z)² = 0² = 0.

Bài 4 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Ta có M = 32^{2 023} – 32^{2 021} = 32² . 32^{2 021} – 32^{2 021}

= (32² – 1) . 32^{2 021} = (1024 – 1) . 32^{2 021} = 1023 . 32^{2 021}

Vì 1023 ⋮ 31 nên (1023 . 32^{2 021}) ⋮ 31.

Do đó M = 32^{2 023} – 32^{2 021} chia hết cho 31;

b) Ta có N = 7⁶ + 2 . 7³ + 8²⁰²² +1 = (7³)² + 2 . 7³ +1 + 8²⁰²²

= (7³ + 1)² + 8²⁰²² = 344² + 8²⁰²².

Vì 344 ⋮ 8; 8 ⋮ 8 nên 344² ⋮ 8; 8²⁰²² ⋮ 8.

Do đó (344² + 8²⁰²²) ⋮ 8

Vậy N = 7⁶ + 2 . 7³ + 8²⁰²² +1 chia hết cho 8.

Bài 5 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diều

a) Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau 12 tháng là: a . r% (đồng)

Do đó, công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng là:

a + a . r% = a . (1 + r%) (đồng).

b) Sau kì hạn 12 tháng, bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo, tức là bác Hoa gửi tiếp 12 tháng với số tiền gốc là a . (1 + r%) (đồng).

Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) . r% (đồng).

Do đó, công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) + a . (1 + r%) . r% = a(1 + r%)(1 + r%) = a(1 + r%)² (đồng).

3.3 Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử sách kết nối tri thức

Bài 2.22 trang 44 SGK toán 8/1 kết nối tri thức

a) x² + xy = x(x + y);

b) 6a²b – 18ab = 6ab(a – 3);

c) x³ – 4x = x(x² – 4) = x(x + 2)(x – 2);

d) x⁴ – 8x = x(x³ – 8) = x(x³ – 2³)

= x(x – 2)(x² + 2x + 2²) = x(x – 2)(x² + 2x + 4).

Bài 2.23 trang 44 SGK toán 8/1 kết nối tri thức

a) x² – 9 + xy + 3y = (x² – 9) + (xy + 3y)

= (x + 3)(x – 3) + y(x + 3)

= (x + 3)(x + y – 3).

b) x²y + x² + xy – 1 = (x²y + xy) + (x² – 1)

= xy(x + 1) + (x + 1)(x – 1) = (x + 1)(xy + x – 1).

Bài 2.24 trang 44 SGK toán 8/1 kết nối tri thức

a) x² – 4x = 0

x(x – 4) = 0

x = 0 hoặc x – 4 = 0

x = 0 hoặc x = 4.

Vậy x ∈ {0; 4}.

b) 2x³ – 2x = 0

2x(x² – 1) = 0

2x(x + 1)(x – 1) = 0

x = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

x = 0 hoặc x = – 1 hoặc x = 1.

Vậy x ∈ {– 1; 0; 1}.

Bài 2.25 trang 44 SGK toán 8/1 kết nối tri thức

a) Đặt tên các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q như hình vẽ.

Diện tích hình vuông ABCD là: x² (m).

Hình vuông MNPQ có độ dài một cạnh là: x – y – y = x – 2y (m).

Diện tích hình vuông MNPQ là: (x – 2y)² (m²).

Diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn là:

S = x² – (x – 2y)² = x² – (x² – 4xy + 4y²)

= x² – x² + 4xy – 4y² = 4xy – 4y² (m²).

Vậy diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn là 4xy – 4y² (m²).

b) Phân tích đa thức S thành nhân tử, ta được:

S = 4xy – 4y² = 4y(x – y).

Thay x = 102 m, y = 2 m vào biểu thức S, ta được:

S = 4 . 2 . (102 – 2) = 8 . 100 = 800 (m²).

Trên đây là kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình toán 8 chân trời sáng tạo, kết nối tri thức và cánh diều. Để tham khảo thêm nhiều bài học khác, các em hãy truy cập vào trang web vuihoc.vn nhé

>> Mời bạn tham khảo thêm: 

Đơn thức và đa thức nhiều biến 

Các phép toán với đa thức nhiều biến

Hằng đẳng thức đáng nhớ