Tổng ôn chuyên đề phương trình mũ và logarit

Để hiểu hơn về chuyên đề phương trình mũ và logarit, các em đọc bảng nhận xét chung dưới đây để có cái nhìn tổng quan nhất nhé!

Dưới đây là file tổng hợp lý thuyết chuyên đề phương trình mũ và logarit giúp các bạn học sinh thuận tiện hơn trong ôn tập. Đừng quên tải về và lưu lại học dần nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết chuyên đề phương trình mũ và logarit

1. Điểm lại toàn bộ lý thuyết về phương trình mũ và logarit

1.1. Lý thuyết phương trình mũ

Về định nghĩa:

Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ. 

Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau:

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $0<a\neq 1$

Phương trình mũ có nghiệm khi:

• Với $b>0$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$

• Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm

Các công thức phương trình mũ cơ bản cần nhớ:

Để giải các bài toán thuộc chuyên đề phương trình mũ và logarit, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau:

Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải chuyên đề phương trình mũ và logarit. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:

Các em cần lưu ý, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!

1.2. Lý thuyết phương trình logarit thuộc chuyên đề phương trình mũ và logarit

Về định nghĩa:

Với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $\mathbb{R}$. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là $x=a^b$

Với điều kiện 0<a ≠ 1, ta có các phương trình logarit cơ bản như sau:

Hai quy tắc tính logarit quan trọng dùng để biến đổi phương trình logarit mà các em cần ghi nhớ:

•  Quy tắc logarit của 1 tích:

– Công thức logarit của một tích như sau: $log(ab)=log(a)+log(b)$. 

– Điều kiện: a, b đều là số dương

– Đây là logarit hai số a và b thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số a = 10 là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số e là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

– Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

• Quy tắc logarit của 1 luỹ thừa:

– Ta có công thức logarit như sau: $log_{\alpha}ab=log_{\alpha}a+log_{\alpha}b$

– Điều kiện với mọi số α và  $0<a\neq 1,b>0$ 

Đối với phương trình logarit, chúng ta cần lưu ý thêm các công thức dưới đây:

2. Các dạng bài tập phương trình mũ và logarit thuộc chuyên đề phương trình mũ và logarit

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Đây là phương pháp rất phổ biến trong các bài tập thuộc chuyên đề phương trình mũ và logarit. Các em cần nắm được hai dạng cơ bản sau:

Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện $f(x)>0$ hoặc $g(x)>0$ tuỳ thuộc vào độ phức tạp của f(x)>0 và g(x)>0

Các em cùng VUIHOC xét ví dụ minh hoạ về phương pháp giải chuyên đề phương trình mũ và logarit này:

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán đạt 9+ sớm ngay từ bây giờ

2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ - chuyên đề phương trình mũ và logarit

Đây là phương pháp giải chuyên đề phương trình mũ và logarit thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Đưa phương trình mũ và logarit về dạng ẩn phụ quen thuộc
• Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
• Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện
• Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình
• Bước 5: Kết luận

Đối với phương trình mũ, các phép ẩn phụ thường gặp như sau:

Dạng 1: Các số hạn trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua $a^{f(x)}$ nên ta đặt $t=a^{f(x)}$

Lưu ý trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Dạng 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc n đối với $a^{nf(x)}$ và  $b^{nf(x)}$

Với dạng này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho anf(x) hoặc bnf(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.

Dạng 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

• Loại 1: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0 với a.b=1$

=> Đặt ẩn phụ $t=a^{f(x)}\Rightarrow b^{f(x)}=\frac{1}{t}$

• Loại 2: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0$ với $a.b=c^2$

=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho $c^{f(x)}$ và đưa về cùng cơ số.

Đối với phương trình logarit, khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần chú ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau:

Phương trình dạng: $Q[log_af(x)]=0$ -> Đặt $t=log_ax (x\in \mathbb{R})$

Ta cùng xét một số ví dụ chuyên đề phương trình mũ và logarit dạng đặt ẩn phụ như sau:

2.3. Giải chuyên đề phương trình mũ và logarit bằng phương pháp mũ hóa - logarit hóa

Ta có thể giải một phương trình có 2 vế luôn dương bằng cách lấy logarit/mũ hai vế theo cùng một cơ số thích hợp:

Lưu ý: Phương pháp này rất hiệu quả khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa

Ta cùng xét những ví dụ minh hoạ về bài tập chuyên đề phương trình mũ và logarit như sau:

2.4. Dùng phương pháp hàm số giải bài tập chuyên đề phương trình mũ và logarit

Ta sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm $f(x)$ tăng (hoặc giảm) trong khoảng $(a;b)$ thì phương trình $f(x)=k$ có không quá 1 nghiệm trong khoảng $(a;b)$.

Các bước thực hiện cụ thể:

- Bước 1: Chuyển phương trình về dạng $f(x)=k$

- Bước 2: Xét hàm số $y=f(x)$. Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến)

- Bước 3: Nhận xét

• Với $x=x_0$ khi và chỉ khi $f(x)=f(x_0)=k$, do đó $x=x_0$ là nghiệm

• Với $x>x_0$ khi và chỉ khi $f(x)>f(x_0)$ khi và chỉ khi $f(x)>k$, do đó phương trình vô nghiệm

• Với $x<x_0$ khi và chỉ khi $f(x)<f(x_0)$ khi và chỉ khi $f(x)<k$, do đó phương trình vô nghiệm

- Bước 4: Vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Tính chất 2: Nếu $f(x)$ tăng trong khoảng $(a;b)$ và hàm $g(x)$ là hàm hằng hoặc là 1 hàm giảm trong khoảng $(a;b)$ thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(a;b)$ (do đó nếu tồn tại $x_0(a;b):f(x_0)=g(x_0)$ thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=g(x)$

Áp dụng kiến thức trên, các em cùng xét các ví dụ minh hoạ dưới đây:

3. Bài tập áp dụng

Để thành thạo các dạng chuyên đề phương trình mũ và logarit khó nhằn trong các đề luyện thi và quan trọng hơn là đề thi THPTQG, VUIHOC gửi tặng các em file tổng hợp bài tập thuộc chuyên đề phương trình mũ và logarit. Các em nhớ lưu về để thêm vào kho tài liệu của mình nhé!

Tải xuống file bài tập chuyên đề phương trình mũ và logarit (có đáp án)

Để giúp các em học sinh luyện tập chuyên đề phương trình mũ và logarit, cùng VUIHOC xem ngay bài giảng của thầy Trung dưới đây và học hỏi thêm những tips làm bài cực nhanh của thầy nhé!

Bài viết tổng hợp toàn bộ kiến thức thuộc chuyên đề phương trình mũ và logarit. Chúc các em luôn ôn tập thật tốt nhé!