Đường thẳng và mặt phẳng song song
Đường thẳng và mặt phẳng song song là kiến thức cơ bản trong hình học không gian. Đây là kiến thức nền tảng giúp các em giải quyết các dạng bài tập liên quan tới hình hình không gian. Hãy vuihoc tìm hiểu
1. Vị trí tương đối của mặt phẳng và đường thẳng
Cho một mặt phẳng (P) và đường thẳng a. Căn cứ vào số lượng điểm chung của 2 đường thẳng và mặt phẳng trên ta xét 3 trường hợp có thể xảy ra như sau:
a. Nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng a không có điểm chung, ta nói đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Kí hiệu là:
a ⋂ (P) = ∅ ⇔ a // (P).
b. Nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng a chỉ có một điểm chung A, ta nói đường thẳng a giao với mặt phẳng (P) tại điểm A. Kí hiệu là:
a ⋂ (P) = A ⇔ a cắt (P) tại A.
c. Nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng a có hai điểm chung A và B, ta nói đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P). Kí hiệu là:
a ⋂ (P) = {A, B} ⇔ a ∈ (P).
Để dễ hình dùng, các em học sinh có thể tham khảo hình minh họa dưới đây:
2. Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng
Để đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi đường thẳng a song song với đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P).
Tức là: a ∉ (P) khi và chỉ khi:
a // d ∈ (P) ⇒ a // (P).
Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm ngay từ bây giờ
3. Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
Nếu có đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) bất kì chứa đường thẳng a mà cắt với mặt phẳng (P) với giao tuyến d thì đường thẳng d luôn song song với a
Điều này có nghĩa là khi:
Hệ quả số 1: Nếu một mặt phẳng song song với 1 đường thẳng thì luôn tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng song song với đường thẳng đó.
Hệ quả số 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của 2 mặt phẳng đó song song với đường thẳng đó.
Điều này có nghĩa là khi:
Hệ quả số 3: Nếu 2 đường thẳng a, b chéo nhau thì chỉ có 1 và chỉ 1 mặt phẳng đi qua a và song song với đường thẳng b.
4. Các bài tập luyện tập về đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài tập số 1
Ta có hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng thuộc một mặt phẳng.
a) Gọi 2 điểm O và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF. Hãy chứng minh đường thẳng đi qua 2 điểm O và O’ song song và các mặt phẳng (BCF) và (ADF)
b) Gọi 2 điểm M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABE và tam giác ABD. Hãy chứng minh đường thẳng đi qua 2 điểm M và N song song với mặt phẳng (CEF).
Hướng dẫn giải
a) Do 2 tứ giác ABCD và ABEF đều là hình bình hành
=> Điểm O là trung điểm của của 2 cạnh AC và BD
Tương tự, ta cũng có điểm O’ là trung điểm của 2 cạnh AE và BF. (dự theo tính chất của hình bình hành).
+ Vậy OO’ là đường trung bình của tam giác BFD nên OO’ // DF
mà đoạn thẳng DF ⊂ mặt phẳng (ADF)
⇒ Vậy đoạn thẳng OO’ // mặt phẳng (ADF)
+ Tương tự như trên ta cũng có thể chứng minh được OO’ là đường trung bình của tam giác AEC nên OO’ // EC
mà đoạn thẳng EC ⊂ mặt phẳng (BCE)
⇒ Vậy đoạn thẳng OO’ // (BCE).
b) Ta thấy mặt phẳng (CEF) chính là mặt phẳng (CEFD).
Gọi điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
+ mà điểm M là trọng tâm của tam giác ABD
⇒ Như vậy, tỉ số IM/ ID = 1/3.
+ N là trọng tâm ΔABE
⇒ vậy tỉ số IN/IE = 1/3.
+ Ta có trong tam giác IDE có IM/ID = IN/IE = 1/3
⇒ Vậy MN // DE mà đoạn thẳng ED ⊂ mặt phẳng (CEFD)
như vậy, ta có thể kết luận đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (CEFD) hay MN song song với mặt phẳng (CEF).
Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT môn Toán
Bài tập số 2
Cho một tứ diện ABCD. Ta lấy một điểm M trên cạnh AB. Cho một mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng BD và đường thẳng AC.
a) Hãy tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với với các mặt của tứ diện ABCD
b) Hãy cho biết thiết diện của tứ diện được cắt bởi mặt phẳng (α) có dạng hình gì?
Hướng dẫn giải
a) Ta có mặt phẳng (α) song song với đoạn thẳng AC
⇒ Vậy giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (ABC) là đường thẳng song song với đoạn thẳng AC.
Mà điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) và giao với (α).
Vậy giao tuyến của (ABC) là đoạn thẳng MN là đường thẳng qua M, song song với AC và giao với BC tại điểm N.
+ Chứng minh tương tự ta có mặt phẳng (α) giao với mặt phẳng (ABD) giao tuyến MQ là đường thẳng đi qua điểm M song song với đoạn thẳng BD (với điểm Q thuộc AD).
+ Mặt phẳng (α) giao với mặt phẳng (BCD) giao tuyến NP là đường thẳng qua N song song với BD (với điểm P thuộc CD).
+ Mặt phẳng (α) giao với mặt phẳng (ACD) giao tuyến QP.
b) Ta có:
Ta có tứ giác MNPQ có các cạnh đối lần lượt song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Vậy thiết diện của tứ diện được cắt bởi mặt phẳng (α) có dạng hình bình hành.
Bài tập số 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi ABCD. Gọi điểm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Hãy xác định thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm O và song song với AB và SC. Thiết diện đó có dạng hình gì?
Lời giải:
+ Ta có: mặt phẳng (α) // AB
⇒ giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua điểm O và song song với cạnh AB.
Qua điểm O ta kẻ MN song song với AB ( với điểm M ∈ BC và điểm N ∈ AD)
⇒ Ta có giao tuyến của (α) ∩ (ABCD) là đường thẳng đi qua MN.
+ Ta có mặt phẳng (α) // SC
⇒ giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SBC) là đường thẳng qua M và song song với đoạn thẳng SC.
Kẻ đường thẳng đi qua M song song với SC vào giao với SB tại Q
Suy ra MQ // SC
+ Ta có mặt phẳng (α) // AB
⇒ Giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SAB) là đường thẳng đi qua điểm Q và song song với đoạn thẳng AB.
Từ điểm Q kẻ đường thẳng song song với AB và cắt SA tại điểm P.
Suy ra QP // AB
⇒ Giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SAD) là PN.
Vậy thiết diện của hình chóp được cắt bởi (α) được xác định là tứ giác MNPQ.
Ta có: PQ song song với AB và NM song song với AB
Vậy PQ // NM
Từ đó, ta suy ra được tứ giác là MNPQ là một hình thang
Tham khảo ngay một số dạng bài tập thường gặp về đường thẳng và mặt phẳng song song
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
Trên đây là toàn bộ kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng song song thuộc chương trình Toán 11. Hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các em có thể dễ dàng nắm chắc chuyên đề này và có thêm kiến thức và kỹ năng giải quyết các dạng bài tập toán hình học không gian. Để tham khảo thêm kiến thức các môn học khác, các em học sinh có thể truy cập vào website vuihoc.vn.
Bài viết tham khảo thêm:
