Củng cố kiến thức mệnh đề kéo theo - mệnh đề toán 10

1. Mệnh đề là gì - các dạng mệnh đề cơ bản

• Mệnh đề là gì?

Mệnh đề là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc tính sai. Hiểu đơn giản hơn là, một mệnh đề trong toán học không thể vừa đúng vừa sai. 

• Trong chương trình Toán 10, có các dạng mệnh đề toán học thường gặp như sau:

  • Mệnh đề phủ định: Phủ định của mệnh đề A là một mệnh đề có ký hiệu là A. Mệnh để A và  A có những khẳng định trái ngược nhau như: Nếu A đúng thì  A sai, nếu A sai thì  A đúng.

  • Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề kéo theo là loại mệnh đề dạng: “Nếu A thì B”, trong đó A và B là hai mệnh đề riêng biệt.

  • Mệnh đề đảo: Mệnh đề đảo là một dạng mệnh đề lớp 10 quan trọng mà các em học sinh cần nắm chắc. Mệnh đề “$B\Rightarrow A$” chính là mệnh đề đảo của “$A\Rightarrow B$”

  • Mệnh đề tương đương: Mệnh đề tương đương xuất hiện khi $P\Rightarrow Q$ là một mệnh đề đúng và $Q\Rightarrow P$ cũng là mệnh đề đúng. Khi đó ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, ký hiệu là $P\Rightarrow Q$.

>>> Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mệnh đề lớp 10

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Mệnh đề kéo theo

2.1. Định nghĩa mệnh đề kéo theo

Cho P và Q là hai mệnh đề riêng biệt. Có mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. 

Ký hiệu mệnh đề kéo theo: $P\Rightarrow Q$. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ được phát biểu bằng lời là: “P kéo theo Q”, “vì P nên Q”, “P suy ra Q”,...

Ví dụ về mệnh đề kéo theo:

Cho 2 mệnh đề A: “3 chia hết cho 2” và mệnh đề B:”4 là số chẵn”. Khi đó, $A\Rightarrow B$ được phát biểu là: “Nếu 3 chia hết cho 2 thì 4 là số chẵn”.

Đây là một mệnh đề kéo theo đúng bởi A sai, B đúng (do mệnh đề A sai không ảnh hưởng đến tính đúng của mệnh đề B, nên mệnh đề kéo theo $A\Rightarrow B$ vẫn đúng).

Lưu ý, trong phần mệnh đề kéo theo các em cần nắm vững thêm kiến thức về phép kéo theo hai chiều. Phép kéo theo hai chiều được hiểu là mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q và ngược lại. Ký hiệu là $P\Rightarrow Q$, đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”. Mệnh đề kéo theo chỉ đúng khi P và Q có cùng chân trị.

Ví dụ về mệnh đề kéo theo 2 chiều như sau:

Tam giác ABC vuông tại A nếu và chỉ nếu $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ là một mệnh đề đúng bởi vì nếu tam giác ABC vuông tại A thì ta mới có thể rút ra đẳng thức $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$  theo định lý Pi-ta-go.

2.2. Điều kiện cần và đủ của mệnh đề kéo theo

Cho định lý là một mệnh đề đúng có dạng là $P\Rightarrow Q$. Ta phát biểu P là giả thiết và Q là kết luận của định lý. Ta có thể phát biểu theo cách khác là P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

2.3. Tính đúng sai của mệnh đề kéo theo

Xét ví dụ sau: Cho mệnh đề P: “Tôi có 1 triệu đồng”, Q:”Số 3 là số nguyên tố”. Khi đó mệnh đề $P\Rightarrow Q$ được phát biểu là: “Nếu tôi có 1 triệu đồng thì số 3 là số nguyên tố”.

Ở ví dụ trên, ta thấy phát biểu thành lời có vẻ như là một mệnh đề sai. Tuy nhiên, đôi khi mệnh đề $P\Rightarrow Q$ hơi khó nhận biết được giá trị chân lý khi phát biểu thành lời. 

Từ đó suy ra, tính đúng sai của mệnh đề kéo theo được xét thông qua quy tắc: Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Ta có bảng chân trị của mệnh đề kéo theo:

Khi xét mệnh đề PQ, ta không quan tâm xem P có phải nguyên nhân của Q hay không mà chỉ cần quan tâm đến tính đúng hay sai của 2 mệnh đề đó. Bởi vì, $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng hoặc Q sai nên khi chứng minh $P\Rightarrow Q$ đúng, ta chỉ xét trường hợp P và Q cùng đúng.

>>> Xem thêm: Phương pháp xét tính đúng sai của mệnh đề Toán 10

2.4. Ứng dụng mệnh đề kéo theo trong phép chứng minh phản chứng

Giả sử, bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề có dạng $P\Rightarrow Q$. Ta thực hiện phương pháp chứng minh phản chứng theo các bước sau đây:

• Bước 1: Giả sử mệnh đề $P\Rightarrow Q$ sai
• Bước 2: Sử dụng các lập luận toán học để suy ra Q sai hoặc suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết Q.
• Bước 3: Kết luận Q đúng

Xét ví dụ sau đây để hiểu hơn về cách chứng minh phản chứng:

Ví dụ: Chứng minh rằng tập số nguyên là vô hạn.

Giải:

Giả sử tập số nguyên tố là tập số hữu hạn. Ta lấy tích tất cả các số nguyên tố cộng thêm 1 để được số T. Vì tập hợp số nguyên tố là hữu hạn nên T là hợp số. Từ đó suy ra T có 1 ước là số nguyên tố p, nghĩa là 1 chia hết cho p. Điều này là vô lý.

Vậy ta kết luận tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

3. Bài tập luyện tập mệnh đề kéo theo

Có rất nhiều dạng bài tập mệnh đề kéo theo trong chương trình toán 10 THPT. Để thành thạo phần kiến thức này, các em học sinh cùng VUIHOC luyện tập các bài tập dưới đây nhé!

Câu 1: Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.

1. P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q” “Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”.

2. P: “$2>9$” và Q: “$4>3$”

3. P:”Tam giác ABC vuông cân tại A” và Q:”Tam giác ABC có góc A bằng 2 lần góc B”.

4. P: “Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc khánh của nước Việt Nam” và Q: “Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ”.

Câu 2: Cho P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai, chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lý?

Câu 4: Đối với mỗi mệnh đề sau, sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ” để phát biểu:

1. Số có tổng chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và ngược lại

2. Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc chính là hình thoi và ngược lại.

3. Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu biệt thức của nó dương.

Câu 5: Cho tứ giác ABCD và 2 mệnh đề:

P: “ABCD có tổng 2 góc đối nhau bằng 180 độ”

Q: ABCD là tứ giác nội tiếp”

Phát biểu mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$. Xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Câu 6: Cho tứ giác ABCD và 2 mệnh đề sau:

P: “2k là một số chẵn”

Q: “k thuộc tập hợp số nguyên”

Phát biểu mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$. Xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Câu 7: Mệnh đề nào đúng trong các đáp án sau:

Câu 8: Chọn mệnh đề đảo đúng trong các mệnh đề sau:

1. Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 thì só nguyên n đó chắc chắn chia hết cho 5.

2. Nếu ABCD là tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì ABCD là hình bình hành.

3. Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ABCD là tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau.

4. Nếu ABCD là hình thoi thì ABCD là tứ giác có 2 đường chéo vuông góc với nhau.

Câu 9: Chọn mệnh đề đảo đúng của các đáp án dưới đây:

Câu 10: Cho các mệnh đề kéo theo:

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì $a+b$ chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).

Các số nguyên có tận cùng bằng 0 nếu chia hết cho 5.

Tam giác cân có hai trung tuyến bằng nhau.

Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

1. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.

2. Phát biểu mỗi mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”

3. Phát biểu mỗi mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”

Hướng dẫn giải

Câu 1: 

1. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”, mệnh đề này đúng.

Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P$: “Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì ABCD là hình thoi”, mệnh đề này sai

2. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là “Nếu 2>9 thì 4<3”, mệnh đề này đúng vì mệnh đề P sai.

Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P$: “Nếu 4<3 thì 2>9”, mệnh đề này đúng vì mệnh đề Q sai.

3. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì góc A bằng 2 lần góc B.” Mệnh đề này đúng.

Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P$ là: “Nếu tam giác ABC có A bằng 2 lần B thì nó vuông cân tại A”. Mệnh đề này sai.

4. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ.”

Mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$ là: “Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc khánh của nước Việt Nam”.

Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề P và Q đều đúng.

Câu 2: 

Chọn C.

P là mệnh đề đúng, Q là mệnh đề sai nên $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề sau, do đó phủ định của mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

Câu 3:

Chọn D.

Định lý là: $n\in \mathbb{N}$, x chia hết cho 4 và 6 $\Rightarrow $ x chia hết cho 12.

Câu 4: 

1. Điều kiện cần và đủ thỏa mãn một số chia hết cho 3 là tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.

2. Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình thoi là tứ giác là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau.

3. Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương.

Câu 5: 

$P\Rightarrow Q$: “Nếu tứ giác ABCD có tổng 2 góc đối nhau bằng 180 độ thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.” Mệnh đề này đúng.

Câu 6: 

P: “2k là một số chẵn”

Q: “k thuộc tập hợp số nguyên”

$P\Rightarrow Q$: “Nếu 2k là một số chẵn thì k thuộc tập hợp số nguyên”. Mệnh đề này đúng.

Câu 7:

Câu 8: 

Xét đáp án A, mệnh đề đảo là: “Nếu số nguyên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5”. Mệnh đề này sai vì có thể xảy ra trường hợp số nguyên n chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng là 0.
Xét đáp án B, mệnh đề đảo là: “Nếu ABCD là hình bình hành thì ABCD là tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”. Đây là mệnh đề đúng.

Chọn B.

Câu 9: 

Xét đáp án A, mệnh đề đảo là: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì n có tổng các chữ số bằng 9”. Đây là mệnh đề sai vì tổng các chữ số của n chia hết cho 9 thì sẽ chia hết cho 9.

Xét đáp án B, mệnh đề đảo là: “Nếu $x^2>y^2$ thì $x>y$” là mệnh đề sai vì:

Xét đáp án C, mệnh đề đảo là: “Nếu $t.x=t.y$ thì $x=y$” sai với $t=0\Rightarrow x$ và $y$ thuộc tập $\mathbb{R}$.
Chọn D.

Câu 10:

1. Các mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên là:

• Nếu a+b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c.
• Các số chia hết cho 5 đều có tận cùng bằng 0.
• Tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân.
• Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau.

2. Sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”

• Điều kiện đủ để a+b chia hết cho c là a và b chia hết cho c.
• Điều kiện đủ để một số chia hết cho 5 là số đó có tận cùng bằng 0.
• Điều kiện đủ để một tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau là tam giác đó cân.
• Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là chúng bằng nhau.

3. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”:

• Điều kiện cần để a và b chia hết cho c là a+b chia hết cho c.
• Điều kiện cần để một số có tận cùng bằng 0 là số đó chia hết cho 5.
• Điều kiện cần để một tam giác là tam giác cân là 2 đường trung tuyến của nó bằng nhau.
• Điều kiện cần để 2 tam giác bằng nhau là chúng có diện tích bằng nhau.

Mệnh đề kéo theo được áp dụng trong việc giải rất nhiều bài tập, đặc biệt là các bài có liên quan đến suy luận toán học. Bài viết trên tổng hợp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập mệnh đề kéo theo lớp 10 cho các em học sinh tham khảo và luyện tập. Để học nhiều hơn về chương trình Toán 10 và Toán THPT, các em truy cập ngay vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học tại đây nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết