Alo! Giờ nào còn dùng phiên bản này nữa Cập nhật ngay

Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Các Bài Tập Vận Dụng

Tác giả Cô Hiền Trần 10:36 14/06/2022 1,583 Tag Lớp 10

Dấu của tam thức bậc hai là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán lớp 10. Bài viết dưới đây của VUIHOC sẽ giới thiệu đến các em lý thuyết dấu của tam thức bậc hai, các dạng bài tập vận dụng: xét xem một biểu thức bậc hai đã cho nhận giá trị âm hay dương, xét dấu tích hoặc thương của các tam thức bậc hai và giải bất phương trình bậc hai.

Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Các Bài Tập Vận Dụng

1. Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai

1.1. Khái niệm tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với biến x) là biểu thức có dạng: $ax^{2}+bx+c=0$, trong đó a,b,c là những hệ số cho trước và $a\neq 0$.

Ví dụ: 

f(x)=$x^{2}-4x+5$ là tam thức bậc hai

f(x)=$x^{2}(2x-7)$ không là tam thức bậc hai.

Nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ là nghiệm của tam thức bậc hai; $\Delta =b^{2}-4ac$ và $\Delta' =b'^{2}-ac$ lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$.

1.2. Dấu của tam thức bậc hai

1.2.1. Định lý dấu của tam thức bậc hai

Định lý thuận:

- Cho tam thức bậc hai f(x)=$ax^{2}+bx+c=0$ với $a\neq 0$ có $\Delta =b^{2}-4ac$

  • Nếu $\Delta>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $x\epsilon R$)

  • Nếu $\Delta=0$ thì f(x) có nghiệm kép là x=$-\frac{b}{2a}$

Khi đó f(x) sẽ cùng dấu với a (mọi x$\neq -\frac{b}{2a}$)

  • Nếu <0 thì f(x) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}(x_{1}<x_{2})$; f(x) cùng dấu với a với mọi $x\in (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$;  f(x) trái dấu với a khi $x_{1}<x<x_{2}$.

Mẹo ghi nhớ: Khi xét dấu của tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể áp dụng quy tắc “Trong trái, ngoài cùng”, nghĩa là: trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với a.

Định lý đảo dấu của tam thức bậc hai: 

Cho tam thức bậc 2: f(x)=$ax^{2}+bx+c=0$ với $a\neq 0$. Nếu tồn tại số $\alpha $ thỏa mãn điều kiện: $\alpha. f(\alpha )<0$ thì f(x) sẽ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}:x_{1}<\alpha <x_{2}$.

1.2.2. Xét dấu của tam thức bậc hai

Để xét dấu của một tam thức bậc hai chúng ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính $\Delta $, tìm nghiệm của tam thức bậc hai (bấm máy).

Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa theo hệ số a. 

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai rồi đưa ra kết luận.

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng dưới đây: 

Bảng xét dấu của tam thức bậc hai

1.3. Ứng dụng dấu của tam thức bậc 2

Nhận xét: Trong cả hai trường hợp a>0 và a<0 thì:

  • $\Delta >0$, f(x) có đủ cả hai loại dâu dương, âm.

  • $\Delta \leq 0$, f(x) chỉ có một loại dâu âm hoặc dương.

Từ đó, chúng ta có các bài toán sau: Với tam thức bậc hai: $ax^{2}+bx+c=0$ với $a\neq 0$:

Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai

2. Các bài tập về dấu của tam thức bậc hai lớp 10

2.1. Bài tập vận dụng và hướng dẫn giải 

Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai sau: f(x)=$3x^{2}+2x-5$

Lời giải:

f(x)=$3x^{2}+2x-5$

Ta có: $\Delta =b^{2}-4ac=27>0$

Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ trong đó $x_{1}=\frac{-5}{3}, x_{2}=1$

Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu của tam thức bậc hai

Kết luận: 

f(x)<0 khi $x\in (-\frac{5}{3};1)$

f(x) >0 khi $x\in (-\infty ;-\frac{5}{3})\cup (1;+\infty )$

Bài 2: Xét dấu biểu thức sau: f(x)=$\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}$

Lời giải: Ta xét: $x^{2}+2x+1=0$ <=> x=-1 (a>0)

 $x^{2}-1=0$ <=> x=-1 hoặc x=1 (a>0) 

Bảng xét dấu:

bảng xét dấu của tam thức bậc hai

Kết luận: f(x)>0 khi $x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$

f(x)<0 khi $x\in (-1;1)$

Bài 3: Giải các bất phương trình sau: 

a, $-3x^{2}+7x-4<0$

b, $\frac{10-x}{5+x^{2}}>\frac{1}{2}$

c, $\frac{1}{1+x}+\frac{2}{x+3}<\frac{3}{x+2}$

Hướng dẫn: Để giải các bất phương trình hữu tỉ, ta cần biến đổi (rút gọn, quy đồng) để được một bất phương trình tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó ta lập bảng xét dấu và kết luận.

Lời giải: 

a, Đặt f(x)= $-3x^{2}+7x-4$

$-3x^{2}+7x-4=0$ $x=1$ hoặc $x=\frac{4}{3}$

Bảng xét dấu:

bảng xét dấu tam thức bậc hai

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=$(-\infty ;1)\cup (\frac{4}{3};+\infty )$

b, $\frac{10-x}{5+x^{2}}>\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{10-x}{5+x^{2}}-\frac{1}{2}>0$
$\Leftrightarrow \frac{-x^{2}-2x+15}{2(x^{2}+5)}>0$

<=> f(x)>0

Lập bảng xét dấu cho vế trái của bất phương trình ta được:

bảng xét dấu tam thức bậc hai

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là N=(-5;3)

c, $\frac{1}{1+x}+\frac{2}{x+3}<\frac{3}{x+2}$

$\frac{-x+1}{(x+3)(x+2)(x+1)}<0$

<=> f(x)<0

Lập bảng xét dấu cho vế trái của bất phương trình ta được:

bảng xét dấu tam thức bậc hai

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T=$(-\infty ;-3)\cup (-2;-1)\cup (1;+\infty )$

2.2. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Tìm m để các bất phương trình sau đây vô nghiệm: 

1. $5x^{2}-x+m\leq 0$

2.$(m-1)x^{2}-(2m-1)x>m-3$

3.$x^{2}-2mx+m+12<0$

4.$x^{2}+3mx-9<0$

5.$x^{2}+3x-9m\leq 0$

Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau đây có duy nhất một nghiệm:

1.$-2x^{2}-mx+m^{2}-1\geq 0$

2.$(m-1)x^{2}-(2m-1)x>-m-3$

3.$2mx^{2}+x-3\geq 0$

Bài viết trên đây đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập dấu của tam thức bậc hai. Hy vọng rằng các em đã có được nguồn kiến thức tham khảo hữu ích để tự tin đạt điểm cao trong các bài kiểm tra, đặc biệt là kì thi THPT quốc gia. Đừng quên truy cập vuihoc.vnđăng ký khóa học để học thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé!

| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}