Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Các Bài Tập Vận Dụng

Tác giả Cô Hiền Trần 11:58 30/09/2024 432,225 Tag Lớp 10

Dấu của tam thức bậc hai là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán lớp 10. Bài viết dưới đây của VUIHOC sẽ giới thiệu đến các em lý thuyết dấu của tam thức bậc hai, các dạng bài tập vận dụng: xét xem một biểu thức bậc hai đã cho nhận giá trị âm hay dương, xét dấu tích hoặc thương của các tam thức bậc hai và giải bất phương trình bậc hai.

Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Các Bài Tập Vận Dụng

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai

1.1. Khái niệm tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với biến x) là biểu thức có dạng: $ax^{2}+bx+c=0$ , trong đó a,b,c là những hệ số cho trước và $a\neq 0$.

Ví dụ:

$f(x)=x^{2}-4x+5$ là tam thức bậc hai

$f(x)=x^{2}(2x-7)$ không là tam thức bậc hai.

Nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ là nghiệm của tam thức bậc hai; $\Delta =b^{2}-4ac$ và $\Delta' =b'^{2}-ac$ lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$ .

1.2. Dấu của tam thức bậc hai

Định lý thuận:

- Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c=0$ với $a\neq 0$ có $\Delta =b^{2}-4ac$

Nếu $\Delta>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $x\epsilon R$ )
Nếu $\Delta=0$ thì f(x) có nghiệm kép là $x=-\frac{b}{2a}$

Khi đó f(x) sẽ cùng dấu với a (mọi $x\neq -\frac{b}{2a}$ )

Nếu <0 thì f(x) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}(x_{1}<x_{2})$ ; f(x) cùng dấu với a với mọi $x\in (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$ ; f(x) trái dấu với a khi $x_{1}<x<x_{2}$ .

Mẹo ghi nhớ: Khi xét dấu của tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể áp dụng quy tắc “Trong trái, ngoài cùng”, nghĩa là: trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với a.

Định lý đảo dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc 2: f(x)= $ax^{2}+bx+c=0$ với $a\neq 0$ . Nếu tồn tại số $\alpha$ thỏa mãn điều kiện: $\alpha. f(\alpha )<0$ thì f(x) sẽ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}:x_{1}<\alpha <x_{2}$ .

1.3. Cách xét dấu tam thức bậc 2

Để xét dấu của một tam thức bậc hai chúng ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính $\Delta$ , tìm nghiệm của tam thức bậc hai (bấm máy).

Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa theo hệ số a.

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai rồi đưa ra kết luận.

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng dưới đây:

Bảng xét dấu của tam thức bậc hai

1.4. Ứng dụng dấu của tam thức bậc 2

Nhận xét: Trong cả hai trường hợp a>0 và a<0 thì:

$\Delta >0$, f(x) có đủ cả hai loại dâu dương, âm.
$\Delta \leq 0$, f(x) chỉ có một loại dâu âm hoặc dương.

Từ đó, chúng ta có các bài toán sau: Với tam thức bậc hai: $ax^{2}+bx+c=0$ với $a\neq 0$ :

$ax^{2} + bx + c > 0, \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a > 0\\ \Delta < 0 \end{matrix}\right.$

$ax^{2} + bx + c \geq 0, \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a > 0\\ \Delta \leq 0 \end{matrix}\right.$

$ax^{2} + bx + c < 0, \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a < 0\\ \Delta < 0 \end{matrix}\right.$

$ax^{2} + bx + c \leq 0, \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a < 0\\ \Delta \leq 0 \end{matrix}\right.$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

2. Các bài tập về dấu của tam thức bậc hai lớp 10

2.1. Bài tập vận dụng và hướng dẫn giải

Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai sau: $f(x)=3x^{2}+2x-5$

Lời giải:

$f(x)=3x^{2}+2x-5$

Ta có: $\Delta =b^{2}-4ac=27>0$

Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ trong đó $x_{1}=\frac{-5}{3}, x_{2}=1$

Ta có bảng xét dấu:

x	$-\infty$	$-\frac{5}{3}$		1	$+\infty$
f(x)	+	0	-	0	+

Kết luận:

f(x)<0 khi $x\in (-\frac{5}{3};1)$

f(x) >0 khi $x\in (-\infty ;-\frac{5}{3})\cup (1;+\infty )$

Bài 2: Xét dấu biểu thức sau: $f(x)=\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}$

Lời giải: Ta xét: $x^{2}+2x+1=0$ <=> x=-1 (a>0)

$x^{2}-1=0$ <=> x=-1 hoặc x=1 (a>0)

Bảng xét dấu:

x	$-\infty$	-1		1	$+\infty$
$x^{2} + 2x + 1$	+	0	+	\|	+
$x^{2} -1$	+	0	-	0	+
f(x)	+	\|\|	-	\|\|	+

Kết luận: f(x)>0 khi $x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$

f(x)<0 khi $x\in (-1;1)$

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a, $-3x^{2}+7x-4<0$

b, $\frac{10-x}{5+x^{2}}>\frac{1}{2}$

c, $\frac{1}{1+x}+\frac{2}{x+3}<\frac{3}{x+2}$

Hướng dẫn: Để giải các bất phương trình hữu tỉ, ta cần biến đổi (rút gọn, quy đồng) để được một bất phương trình tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó ta lập bảng xét dấu và kết luận.

Lời giải:

a, Đặt f(x)= $-3x^{2}+7x-4$