Làm chủ kiến thức về hàm logarit

Trước khi đi vào chi tiết, các em cùng xem bảng sau để có nhận định rõ hơn về dạng bài tập hàm logarit cũng như độ khó của hàm logarit khi xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia nhé!

Chi tiết hơn về phần lý thuyết hàm số logarit, các em có thể tham khảo file tổng hợp các thầy cô VUIHOC đã biên soạn để tiện trong ôn tập hơn nhé!

Tải xuống file lý thuyết về hàm logarit siêu đầy đủ và chi tiết

1. Ôn tập lý thuyết chung về logarit

1.1. Hàm logarit là gì và ví dụ về logarit

Trong toán học, logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Có thể hiểu đơn giản, logarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa, hiểu 1 cách đơn giản hơn thì hàm logarit chính là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân.

Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: $1000=10.10.10=10^3$. Tổng quát hơn, nếu $x=b^y$ thì y được gọi là logarit cơ số $b$ của $x$ và được ký hiệu là $log_bx$.

Có 3 loại logarit:

• Logarit thập phân: là logarit có cơ số 10, viết tắt là $log_{10}b=logb(=lgb)$ có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật.

• Logarit tự nhiên: là logarit có cơ số là hằng số $e$, viết tắt là $ln(b)$, $log_e(b)$ có ứng dụng nhiều trong toán học và vật lý, đặc biệt là vi tích phân.

• Logarit nhị phân: là logarit sử dụng cơ số 2, ký hiệu là $log_2b$ có ứng dụng trong khoa học máy tính, lập trình ngôn ngữ C

• Ngoài ra, ta còn 2 cách phân loại khác là logarit phức (là hàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức) và logarit rời rạc (ứng dụng trong mật mã hoá khoá công khai)

Tóm lại, công thức chung của logarit có dạng như sau: 

Logarit có công thức là logab trong đó $b>0$, $0<a\neq 1$

1.2. Điều kiện để logarit có nghĩa

Vì logarit là cơ sở để hình thành nên hàm log, trước khi hiểu được và giải được các bài tập về điều kiện hàm logarit, các em cần nắm vững cách tìm điều kiện để logarit có nghĩa.

Để có nghĩa, logarit $log_ab$ có 2 điều kiện cần ghi nhớ như sau:

• Không có logarit của số âm, nghĩa là $b>0$.

• Cơ số phải dương và khác 1, nghĩa là $0<a\neq 1$

1.3. Một số công thức logarit ứng dụng trong biến đổi hàm log

VUIHOC tổng hợp cho các em một số công thức hàm logarit cơ bản dùng để biến đổi các phép tính logarit. Ngoài ra, các công thức hàm logarit này rất quan trọng vì nó cũng dùng để ứng dụng trong các phép biến đổi hàm log. 

• Công thức tích, thương, luỹ thừa và căn:

• Công thức đổi cơ số:

Logarit $log_bx$ có thể được tính từ logarit cơ số trung gian k của x và b theo công thức:

Logarit cơ số $b$ bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:

2. Lý thuyết tổng quan về hàm logarit

2.1. Định nghĩa hàm logarit

Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$,$x>0$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$. 

2.2. Đạo hàm và các tính chất của hàm loga

Đạo hàm và các tính chất của hàm logarit là căn bản để khảo sát và vẽ đồ thị hàm log - dạng bài tập xuất hiện rất nhiều trong các bài tập và đề thi.

Về đạo hàm hàm logarit, cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm của hàm số trên là:

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au(x)$. Đạo hàm là:

Ta có 3 công thức cơ bản về đạo hàm hàm số logarit cần ghi nhớ. Các em nhớ chép lại để học thuộc nhé!

Về tính chất, xét hàm số $y=log_ax\Rightarrow \frac{1}{xlna}(x\in (0;+\infty ))$. Ta đó:

• Với $a>1$ ta có $(log_ax)'=\frac{1}{xlna}>0$ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng (0;+\infty ).

• Với $0<a<1$ ta có: $(log_ax)'=\frac{1}{xlna}<0$ Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0;+\infty ).

2.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm log

Để vẽ đồ thị hàm số logarit, các em học sinh cần thực hiện lần lượt 3 bước sau đây:

Xét hàm số logarit $y=log_ax$ 

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm logarit

Tập xác định $D=(0;+\infty )$, $y=log_ax$ nhận mọi giá trị trong .

Bước 2: Xác định giá trị a trong 2 trường hợp sau:

• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi a > 1

• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi 0 < a ≠ 1.

Bước 3: Đồ thị qua điểm (1 ; 0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Bước 4: Vẽ đồ thị hàm loga

2.4. Một số dạng bài tập liên quan đến hàm log kèm ví dụ minh hoạ

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số logarit

Đây là dạng rất cơ bản trong bài tập hàm số logarit. Khi tiến hành giải, các em dựa vào 2 quy tắc sau:

Hàm logarit $y=log_ax$ cần điều kiện:

• Số thực a dương và khác 1.

• x > 0

Ví dụ minh hoạ về hàm log:

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số logarit

Ở dạng này, chúng ta vận dụng những công thức đạo hàm, đạo hàm logarit để tiến hành biến đổi. Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ về 1 cách biến đổi tìm đạo hàm logarit sau:

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát đồ thị hàm logarit

Đây là bước nâng cao hơn của các bài tập dạng 2 hàm logarit, nghĩa là sau khi tìm đạo hàm bài toán sẽ yêu cầu thêm các em một bước nữa đó là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Ở đây, chúng ta áp dụng những kiến thức về cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… để giải bài toán. 

Để rõ hơn, ta cùng xét ví dụ minh hoạ hàm logarit sau đây:

Dạng 4: Cực trị hàm số logarit và min - max nhiều biến

Đây là dạng toán ở mức độ vận dụng - vận dụng cao hàm logarit. Để giải được các bài tập dạng này, các em cần vận dụng tốt các công thức biến đổi và nắm chắc các tính chất của hàm số logarit. 

Cùng VUIHOC xét 2 ví dụ sau đây để hiểu cách làm dạng toán cực trị và min max của hàm loga này nhé!

3. Bài tập áp dụng

Trong phần kiến thức hàm logarit, các em cần có kĩ năng nhận dạng đề bài để chọn phương pháp xử lý phù hợp. VUIHOC đã tổng hợp toàn bộ các dạng bài tập hàm số logarit và gửi tặng các em để luyện tập hằng ngày. Trong file này, các thầy cô đã hướng dẫn giải chi tiết nên các em hoàn toàn có thể tự học được. Nhớ tải về để ôn tập nhé!

Tải xuống file bài tập hàm logarit đầy đủ các dạng kèm giải chi tiết

Thầy Thành Đức Trung của VUIHOC nổi tiếng với những phương pháp giải và bấm máy tính siêu nhanh và thú vị, đặc biệt thầy có livestream về hàm logarit. Các em cùng xem video dưới đây để tiếp thu phương pháp làm bài tập của thầy nhé!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và 4 dạng bài tập hàm số logarit phổ biến nhất mà các em thường gặp. Hy vọng rằng bài viết về hàm logarit của VUIHOC sẽ giúp các em dễ dàng vượt qua các bài toán liên quan nhé!