Alo! Giờ nào còn dùng phiên bản này nữa Cập nhật ngay

Bỏ túi bí kíp khảo sát hàm số luỹ thừa siêu nhanh

Tác giả Minh Châu 17:06 27/12/2021 2,261 Tag Lớp 12

Khảo sát hàm số lũy thừa là gì? Làm sao để khảo sát hàm lũy thừa một cách chính xác và nhanh nhất? Tất tật những kiến thức về khảo sát hàm số lũy thừa sẽ được VUIHOC tổng hợp và chọn lọc trong bài viết dưới đây. Các em nhớ đọc kỹ đến cuối bài viết nhé!

Bỏ túi bí kíp khảo sát hàm số luỹ thừa siêu nhanh

Trước khi vào chi tiết lý thuyết khảo sát hàm số luỹ thừa, chúng ta cùng tổng hợp lại tất cả những lý thuyết chung của hàm số luỹ thừa và dạng bài khảo sát hàm số luỹ thừa tại bảng dưới đây nhé!

Tổng quan về hàm số luỹ thừa và dạng bài khảo sát hàm số luỹ thừa

Chi tiết hơn, các thầy cô VUIHOC đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết về hàm số luỹ thừa và khảo sát hàm số luỹ thừa tại file dưới đây để các em tiện ôn tập. Nhớ tải về và lưu lại nhé!

Tải xuống file lý thuyết hàm số luỹ thừa và khảo sát hàm số luỹ thừa

 

1. Tổng ôn về lý thuyết hàm số lũy thừa

Để có bước khảo sát hàm số luỹ thừa tốt và chính xác, các em cần nắm vững lý thuyết cơ bản về hàm số luỹ thừa. Khi vững được kiến thức cơ bản, các em sẽ hạn chế được rất nhiều những lỗi sai không đáng có trong lúc giải bài toán.

1.1. Khái niệm

Như các em đã biết, hàm số y trong các bài toán khảo sát hàm số luỹ thừa thường có dạng ví dụ như \large y=(x-2)^{2}; \large y=(x^{2}-3x+2)^{100}; \large y=\sqrt[4]{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}};... Tổng quát lên, hàm số luỹ thừa có dạng như sau:

Hàm số lũy thừa có công thức tổng quát: \large y=x^\alpha (trong đó \large \alpha là hằng số, \large \alpha \in \mathbb{R})

Ta có, tập xác định của hàm số \large y=x^\alpha là:

  • \large \mathbb{R} nếu \large \alpha nguyên dương

  • \large \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \} nếu \large \alpha nguyên âm hoặc \large \alpha = 0

  • \large (0;+\infty ) nếu \large \alpha không nguyên

Lưu ý trường hợp đặc biệt:

Ta có đẳng thức: n\sqrt{x}=x^{\frac{1}{n}} chỉ xảy ra trong trường hợp $x > 0$. Do đó hàm số y=x^{\frac{1}{n}} không đồng nhất với hàm số y=n\sqrt{x} (n\in N^{*}). Ta có thể hiểu đơn giản là, ta có đẳng thức \sqrt{x}=x^{^{\frac{1}{2}}} nhưng hàm số y=\sqrt{x} có tập xác định D= [0; +\infty) còn hàm số y= x^{\frac{1}{2}}  có  D= (0,+\infty )

 

1.2. Đạo hàm hàm số luỹ thừa

Khi thực hiện khảo sát hàm số luỹ thừa, chúng ta không thể thiếu bước đạo hàm để xét biến thiên. Trong chương trình lớp 11, các em đã được học đạo hàm của hàm số $y=x^{n} (n\in \mathbb{N}, n\geq 1)$ và $y=\sqrt{x}$ là:

$(x^{n})'=n.x^{n-1} (x\in \mathbb{R}$

$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ hay $(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} (x>0)$

Do vậy, người ta chứng minh được hàm số luỹ thừa $y=x^{\alpha }$ với $x>0$ và $(x)'=x-1$

 

Các dạng đạo hàm hàm luỹ thừa:

Dạng 1: Đối với hàm luỹ thừa có số mũ tổng quát

Hàm số $y=x^{\alpha }$ có đạo hàm tại mọi $x\in (0;+\infty )$ và $y'=(x^{\alpha })'=\alpha .x^{\alpha -1}$

Nếu hàm số $u=u(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng $J$ thì hàm số $y=u^{\alpha }(x)$ cũng có đạo hàm trên $J$ và \large y'=[u^{\alpha }(x)]'=\alpha u^{\alpha -1}(x)u'(x)

 

Dạng 2: Hàm số luỹ thừa có số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số luỹ thừa $y=x^{n}$ có tập xác định là \large \mathbb{R} và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm hàm số luỹ thừa tổng quát được mở rộng thành $x\in \mathbb{R}$, $(x^{n})'=n.x^{n-1}$ và:

 \large \forall x\in J,[u^{n}(x)]'=nu^{n-1}(x)u'(x)

 

Dạng 3: Hàm luỹ thừa có số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số luỹ thừa $y=x^{n}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và có đạo hàm tại mọi $x$ khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành $x\neq 0$, $(x^{n})'=n.x^{n-1}$

$\forall x\in J,[u^{n}(x)]'=nu^{n-1}(x)u'(x)$

nếu $u=u(x)\neq 0$ có đạo hàm trong khoảng $J$

 

Dạng 4: Đạo hàm của căn thức

Hàm số $y=\sqrt[n]{x}$ có thể xem là mở rộng của hàm số luỹ thừa $y=x^{\frac{1}{n}}$ (tập xác định của $y=\sqrt[n]{x}$ chứa tập xác định của $y=x^{\frac{1}{n}}$ và trên tập xác định của $y=x^{\frac{1}{n}}$ thì hai hàm số sẽ trùng nhau).

  • Khi $n$ lẻ thì hàm số $y=x^{\frac{1}{n}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Trên khoảng $(0;+\infty )$ ta có $y=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ và $(x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$, do đó $(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

=> Công thức này còn đúng với cả $x<0$ và hàm số $y=x^{\frac{1}{n}}$ không có đạo hàm tại $x=0$

  • Khi n chẵn hàm $y=x^{\frac{1}{n}}$ có tập xác định là $[0;+\infty )$, không có đạo hàm tại $x=0$ và có đạo hàm tại mọi $x>0$ tính theo công thức:

$(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

Tóm lại, ta có $(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ đúng với mọi $x$ làm cho hai vế có nghĩa.

 

1.3. Tính chất ứng dụng trong khảo sát hàm số luỹ thừa

Sau đây là những tính chất của hàm số luỹ thừa khi ta xét hàm số \large y=x^\alpha trên khoảng \large (0;+\infty ). Các em lưu ý, những tính chất này suy ra từ định nghĩa và đồ thị hàm số luỹ thừa, vì thế đây cũng được coi là các tính chất rút ra từ khảo sát hàm số luỹ thừa:

tính chất khảo sát hàm số luỹ thừa

 

2. Phương pháp khảo sát hàm số luỹ thừa

2.1. Các bước khảo sát hàm số luỹ thừa

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa

Xét hàm số \large y=x^\alpha  

Tập xác định của hàm số \large y=x^\alpha là khoảng \large (0;+\infty ) với mọi \large \mathbb{R}

Bước 2: Tính đạo hàm rồi suy ra chiều biến thiên, tiệm cận của hàm số luỹ thừa

Về tổng quát ta khảo sát hàm số luỹ thừa \large y=x^\alpha trên khoảng \large (0;+\infty ) , ta được bảng tóm tắt sau:

tóm tắt các bước khảo sát hàm số luỹ thừa

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số lũy thừa

 

2.2. Bài tập khảo sát hàm số lũy thừa minh hoạ

Các em cùng VUIHOC giải các ví dụ minh hoạ sau đây để hiểu hơn về cách làm bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa trong thực tế.

Ví dụ bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa

 

3. Bài tập áp dụng

Để thực hành tốt các bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa, thầy cô VUIHOC đã soạn riêng cho em một bộ tài liệu bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa cực đầy đủ và chi tiết, với các dạng bài rất sát với các đề thi. Các em hãy tải về và luyện tập nhé!

Tải xuống file bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa kèm giải chi tiết

 

Các em vừa ôn tập lại toàn bộ lý thuyết và phương pháp giải dạng bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa. Hy vọng rằng sau bài viết này các em hoàn toàn dễ dàng xử lý các bài tập liên quan. Chúc các em học tốt!

Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán

180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.

1.500.000
Chỉ còn 900.000
Chỉ còn 2 ngày
| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}