Alo! Giờ nào còn dùng phiên bản này nữa Cập nhật ngay

Toán 12 - Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Chi Tiết Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Tác giả Cô Hiền Trần 17:13 28/06/2022 2,413 Tag Lớp 12

Tổng hợp toàn bộ lý thuyết toán 12 chương 1 và 2 cùng phương pháp giải các dạng bài tập siêu chi tiết hỗ trợ học sinh lớp 12 ôn thi THPT QG đạt điểm số cao.

Toán 12 - Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Chi Tiết Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Trong giai đoạn tập trung ôn toán 12 phục vụ kỳ thi THPT QG này, rất nhiều em học sinh gặp phải tình trạng bỏ sót kiến thức do quá trình tổng hợp không kỹ càng. Đặc biệt, những chương đầu tiên làm nền tảng của chương trình toán lớp 12 lại càng dễ bị thiếu sót kiến thức. Cùng VUIHOC tổng hợp lại toàn bộ kiến thức chương 1 và 2 toán 12 nhé!

Kiến thức Toán 12 - Chương 1: Khảo sát đồ thị hàm số bằng ứng dụng đạo hàm

Kiến thức Toán 12 - Bài 1: Hàm số đồng biến nghịch biến - ứng dụng đạo hàm

1. Xét dấu biểu thức P(x) bằng cách lập bảng

  • Bước 1: Biểu thức P(x) có nghiệm nào? Tìm giá trị x khiến biểu thức P(x) không xác định.

  • Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

  • Bước 3: Tìm dấu của P(x) trên từng khoảng bằng cách dùng máy tính.

2. Trên tập xác định, xét tính đơn điệu hàm số

Trong chương trình toán lớp 12, đồng biến nghịch biến của hàm số (hay còn gọi là tính đơn điệu của hàm số) là phần kiến thức rất quen thuộc đối với các bạn học sinh. Các em đã biết hàm số y=f(x) là đồng biến nếu giá trị của x tăng thì giá trị của f(x) hay y tăng; nghịch biến trong trường hợp ngược lại.

  • Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên K $\Leftrightarrow \forall x_{1},x_{2} \in K x_{1}<x_{2}$ thì $f(x_{1})<f(x_{2})$.

  • Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên K $\Leftrightarrow \forall x_{1},x_{2} \in K x_{1}>x_{2}$ thì $f(x_{1})>f(x_{2})$.

Hàm số đơn điệu khi thỏa mãn điều kiện đủ sau:

Hàm số f, đạo hàm trên K:

  • Nếu f’(x)>0 với mọi $x\in$ K thì f đồng biến trên K.

  • Nếu f’(x)<0 với mọi $x\in K$ thì f nghịch biến trên K.

  • Nếu f’(x)=0 với mọi $x\in K$ thì f là hàm hằng trên K.

Quy tắc xét đồng biến nghịch biến của hàm số toán lớp 12:

  • Bước 1: Tìm tập xác định D.

  • Bước 2: Tính đạo hàm y’=f’(x).

  • Bước 3: Tìm nghiệm của f’(x) hoặc những giá trị x làm cho f’(x) không xác định.

  • Bước 4: Lập bảng biến thiên.

  • Bước 5: Kết luận.

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) cho trước

Cho hàm số y=f(x;m) có tập xác định D, khoảng $(a,b)\subset D$:

  • Hàm số nghịch biến trên $(a;b)\Leftrightarrow y'\leq 0,\forall x\in (a;b)$.

  • Hàm số đồng biến trên $(a;b)\Leftrightarrow y'\geq 0,\forall x\in (a;b)$.

Lưu ý: Riêng hàm số $\frac{a_{1}x+b_{1}}{cx+d}$ thì:

  • Hàm số nghịch biến trên $(a;b)\Leftrightarrow y'<  0,\forall x\in (a;b)$.

  • Hàm số đồng biến trên $(a;b)\Leftrightarrow y'>  0,\forall x\in (a;b)$.

>> Xem thêm: Cách xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác và bài tập

Kiến thức Toán 12 - Bài 2: Cực trị của hàm số

1. Định nghĩa cực trị hàm số

Trong chương trình học, cực trị của hàm số được định nghĩa là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Theo hình học, cực trị hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ điểm này sang điểm kia.

Giả sử hàm số f xác định trên K $(K\subset R)$ và  $x^{0}\in K$

Điểm cực đại của hàm số f là $x^{0}$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)\subset K$ có $x^{0}$ thỏa mãn $f(x)>f(x_{0})$,$\forall x \,\epsilon \, (a;b)\setminus  x_{0}$

Khi đó, giá trị cực tiểu của hàm số f chính là  $f(x_{0})$

2. Phương pháp giải các bài toán cực trị hàm số bậc 3

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d(a\neq 0)$

Ta có $y'=3ax^{2}+2bx+c$

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y’=0 có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow b^{2} - 3ac>0$.

3. Giải nhanh bài toán 12 cực trị hàm trùng phương

Cho hàm số $y=4ax^{3}+2bx;y'=0\Leftrightarrow x=0;x=\frac{-b}{2a}$

C có 3 điểm cực trị y’=0 có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \frac{-b}{2a}>0$. Ta có 3 điểm cực trị như sau:

A(0;c), B$(-\sqrt{-\frac{b}{2a}-\frac{\Delta }{4a}})$, C$(-\sqrt{\frac{b}{2a}-\frac{\Delta }{4a}})$

Với $\Delta =b^{2}-4ac$

Độ dài các đoạn thẳng:

AB=AC=$\sqrt{\frac{b^{4}}{16a^{2}}-\frac{b}{2a}},BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$

>> Xem thêm: Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Kiến thức Toán 12 - Bài 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên D

  • Số M là giá trị lớn nhất trên D nếu:

Giá trị lớn nhất - toán 12

  • Giá trị nhỏ nhất là số m trên D nếu:

Giá trị nhỏ nhất - toán 12

2. Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng bảng biến thiên

  • Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)

  • Bước 2: Tìm các nghiệm của f’(x) và các điểm f’(x) trên K

  • Bước 3: Xét biến thiên của f(x) trên K bằng bảng biến thiên

  • Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận minf(x), max f(x)

3. Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất không sử dụng bảng biến thiên

Đối với tập K là đoạn [a;b]

  • Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)

  • Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm $x_{i}\in [a;b]$ của phương trình f’(x)=0 và tất cả các điểm $\alpha \in [a;b]$ làm cho f’(x) không xác định

  • Bước 3: Tính f(a), f(b), f(xi), f(ai)

  • Bước 4: So sánh và kết luận các giá trị tìm được

M=minf(x), m=maxf(x)

Đối với tập K là khoảng (a;b)

  • Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)

  • Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm $x_{i}\in [a;b]$ của phương trình f'(x)=0 và tất cả các nghiệm $\alpha \in [a;b]$ làm cho f’(x) không xác định

  • Bước 3: Tính A=$\lim_{x\rightarrow a^{+}}\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)$, B=$\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x),f(x_{i}),f(a_{i})$

  • Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận M=minf(x), m=maxf(x)

>> Xem thêm: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số: Lý thuyết và bài tập

Kiến thức Toán 12 - Bài 4: Đường tiệm cận

Đồ thị hàm số y=f(x) có tập xác định là D:

  • Đường tiệm cận ngang: Nếu $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=y_{0}$ hoặc $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=y_{0}$ thì đường thẳng y=$y_{0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số C
  • Đường tiệm cận đứngNếu $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=\pm \infty$ hoặc $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\pm \infty$  thì đường thẳng x=$x^{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C
  • Đường tiệm cận xiên:

Điều kiện để tìm đường tiệm cận xiên của C:

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\pm \infty$ hoặc $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\pm \infty$

Có 2 phương pháp tìm tiệm cận xiên như sau:

  • Cách 1: Phân tích biểu thức y=f(x) thành dạng $y=f(x)=a(x)+b+\varepsilon (x)=0$ thì $y=a(x)+b(a\neq 0)$ là đường tiệm cận xiên của C y=f(x)

  • Cách 2: Tìm a và b bằng công thức sau:

$a=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}$

$b=\lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)]-ax]$

Khi đó y=ax+b là phương trình đường tiệm cận xiên của C:y=f(x).

>> Xem thêm: Toán 12 đường tiệm cận: Lý thuyết kèm bài tập trắc nghiệm

Kiến thức Toán 12 - Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1. Các bước thực hiện

  • Bước 1. Tìm tập xác định

  • Bước 2. Tính y' = f'(x)

  • Bước 3. Tìm tập nghiệm của phương trình

  • Bước 4. Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow +\infty }y$ và $\lim_{x\rightarrow -\infty }y$ tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có)

  • Bước 5. Lập bảng biến thiên

  • Bước 6. Kết luận chiều biến thiên, nếu có cực trị thì kết luận thêm phần cực trị

  • Bước 7. Tìm các điểm giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng,... của đồ thị

  • Bước 8. Vẽ đồ thị.

2. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3

y=$ax^{3}+bx^{2}+cx+d (a\neq 0)$

Dạng đồ thị hàm số - toán 12

Chú ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac<0

Dạng đồ thị hàm số - toán 12

3. Các dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

y=$ax^{4}+bx^{2}+c (a\neq 0)$

Dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương - toán 12

4. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến

$y=\frac{ax+b}{cx+d}(ab-bc\neq 0)$

Dạng đồ thị hàm số nhất biến - toán 12

Kiến thức toán 12 - Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Kiến thức Toán 12 - Bài 1: Lũy thừa

1. Khái niệm lũy thừa toán lớp 12

1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n là một số nguyên dương

  • Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

  • Với: $a\neq 0$

    • $a^{0}=1$

    • $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

Trong biểu thức $a^{m}$, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

Lưu ý:

  • $0^{0}$ và $0^{n}$ không có nghĩa

  • Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương

1.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là số thực dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$ trong đó $m\in Z$, $n\in N$, $n\geq 2$. Lũy thừa với số mũ r là số $a^{r}$ xác định bởi: $a^{r}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

1.3. Lũy thừa với số mũ thực

Cho a là một số dương, $\alpha$ là một số vô tỉ. Ta gọi giới hạn của dãy số $(a^{r_{n}})$ là lũy thừa của a với số mũ $\alpha$, ký hiệu là $a^{\alpha }$.

>> Xem thêm:

2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa toán 12

Với số thực a>0 ta có các tính chất của lũy thừa như sau:

Các tính chất của lũy thừa toán 12

>> Xem thêm: Tổng hợp đầy đủ công thức lũy thừa lớp 12 cần nhớ

Kiến thức Toán 12 - Bài 2: Hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa có dạng $y=x^{a}$ trong đó a là một hằng số tùy ý.

  • Hàm số $y=x^{n}$ với n nguyên dương, xác định với mọi $x\in R$

  • hàm số $y=x^{n}$  với n nguyên âm hoặc n=0, xác định với mọi $x\in$ $R\{0}$

  • Hàm số $y=x^{a}$ với a không nguyên, có tập xác định của hàm số lũy thừa là tập hợp các số thực dương $(0;+\infty )$

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

  • Hàm số lũy thừa $y=x^{a} (\alpha \in R)$ có đạo hàm tại mọi điểm x>0 và $(x^{\alpha })'=\alpha .x^{\alpha -1}$

  • Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số $y=u^{\alpha }(x)$ cũng có đạo hàm trên J và $(u^{\alpha }(x))'=\alpha .u^{\alpha -1}(x).u'(x)$

3. Khảo sát hàm số lũy thừa y=xa

Tổng quát, hàm số $y=x^{a}$ trên khoảng $(0;+\infty )$ được khảo sát theo bảng sau:

Bảng khảo sát hàm số lũy thừa - toán 12

Lưu ý, khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta cần xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Khi đó, hình dạng đồ thị hàm số lũy thừa như sau:

Dạng đồ thị hàm số lũy thừa - toán 12

>> Xem thêm: Bí kíp nắm vững điều kiện của hàm số lũy thừa

Kiến thức Toán 12 - Bài 3: Logarit

1. Khái niệm logarit

Xét 2 số thực a và b dương, $a\neq 1$. Số $\alpha$ thỏa mãn $a^{\alpha }=b$ được gọi là logarit cơ số a của b, ký hiệu là $log^{a}b=\alpha $.

Như vậy:

công thức khái niệm logarit toán 12

2. Các tính chất của logarit

1.1. Các quy tắc tính logarit

Xét số thực a với điều kiện $0<a\neq 1$, ta có các tính chất sau:

Với b>0: $a^{log_{a}b=b}$

  • Logarit của một tích: Với $x_{1},x_{2}>0:log_{a}(x_{1},x_{2})=log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}$

  • Logarit của một thương:

    • Với $x_{1},x_{2}>0:log_{a}\frac{x_{1}}{x_{2}}=log_{a}x_{1}-log_{a}x_{2}$

    • Với x>0: $lpg_{a}\frac{1}{x}=-log_{a}x$

  • Logarit của một lũy thừa:
    • Với b>0: $log_{a}b^{x}=xlog_{a}b$
    • Với mọi x: $log_{a}a^{x}=x$

1.2. Công thức đổi cơ số

Cho số thực a thỏa mãn $0<a\neq 1$ ta có các tính chất sau:

Công thức đổi cơ số logarit toán 12

1.3. So sánh hai logarit cùng cơ số

Nếu a>1 thì $log_{a}x=log_{a}y\Leftrightarrow x>y>0$

3. Logarit cơ số thập phân và logarit cơ số tự nhiên

Ngoài logarit thường, toán lớp 12 còn phân thêm 2 dạng logarit đặc biệt:

  • Logarit cơ số thập phân là logarit cơ số 10 của số x>0, ký hiệu là lgx.

  • Logarit tự nhiên là logarit cơ số e của số a>0, ký hiệu là lna.

Kiến thức Toán 12 - Bài 4: Ôn tập hàm số mũ và logarit

1. Hàm số mũ

1.1. Định nghĩa hàm số mũ

Cho số thực dương a khác 1. Ta xét hàm số mũ cơ số a $y=a^{x}$

Tính chất hàm số mũ:

  • Tập xác định: R

  • Tập giá trị: $(0;+\infty )$

  • Với a>1 hàm số $y=a^{x}$ đồng biến trên R và ngược lại đối với a<1

  • Đồ thị hàm số mũ nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.

1.2. Đạo hàm của hàm số mũ

  • Hàm số $y=e^{x}$ có đạo hàm với mọi x và $(e^{x})'=ex$

  • Hàm số $y=a^{x}(a>0,a\neq 1)$ có đạo hàm tại mọi x và $(a^{x})'=a^{x}lna$

2. Hàm số logarit

2.1. Định nghĩa hàm số logarit

Cho số thực dương a khác 1. Hàm số $y=loga^{x}$ được gọi là hàm logarit cơ số a.

Tính chất hàm số logarit:

  • Tập xác định: $(0;+\alpha )$

  • Tập giá trị: R

  • Với a>1:  $y=log_{a}x$ là hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$

2.2. Đạo hàm của hàm số logarit

Công thức đạo hàm hàm số logarit toán 12

>> Xem thêm: 

Kiến thức Toán 12 - Bài 5: Phương trình phương trình mũ và phương trình logarit

1. Các phương pháp giải phương trình mũ

Có 3 cách giải phương trình mũ, cụ thể:

Dạng 1: Đưa về cùng cơ số

Với $0<a\neq 1$ là số x sao cho $a^{x}=b$

Ngược lại, $a^{x}=b\Leftrightarrow x=log_{a}b$

Dạng 2: Phương pháp logarit hóa

$0<a\neq 1$ là số x sao cho $a^{x}=b$

Ngược lại, $a^{x}=b\Leftrightarrow x=log_{a}b$

Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ

Trường hợp 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới:

Bài tập ví dụ giải phương trình mũ toán 12

Trường hợp 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó ta xem ẩn đầu là tham số, đưa về phương trình tích và đưa về hệ phương trình.

Trường hợp 3: Đặt nhiều ẩn, khi đó ta đưa về phương trình tích rồi đưa về hệ phương trình.

>> Xem thêm:

2. Các phương pháp giải phương trình logarit

Phương pháp giải phương trình logarit tương tự đối với phương pháp giải phương trình mũ. Các em có thể tham khảo thêm chi tiết các cách giải phương trình mũ và logarit để giải bài tập.

>> Xem thêm: Nắm trọn kiến thức phương trình mũ và logarit

Kiến thức Toán 12 - Bài 6: Bất phương trình mũ - Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình mũ

Dạng 1: Giải bất phương trình mũ toán 12 bằng phương pháp đưa về cùng cơ số:

Bài tập ví dụ giải phương trình mũ toán 12

Dạng 2: Phương pháp logarit hóa

Công thức giải bất phương trình mũ toán 12
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ giải toán lớp 12

Trường hợp 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

Công thức giải bất phương trình mũ toán 12

Trường hợp 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó ta xử lý phương trình bằng cách đưa về bất phương trình tích, xem ẩn ban đầu như là 1 tham số.

Trường hợp 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo cách đưa về bất phương trình tích và xem 1 ẩn là tham số.

>> Xem thêm: 

2. Bất phương trình logarit

Có 3 cách giải bất phương trình logarit, cụ thể:

Dạng 1: Đưa về cùng cơ số giải bất phương trình logarit khác cơ số

Công thức giải bất phương trình mũ toán 12

Dạng 2: Phương pháp mũ hóa

Công thức giải bất phương trình mũ toán 12

Dạng 3: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Trường hợp 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.

Trường hợp 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó ta xem ẩn ban đầu là tham số và giải bất phương trình logarit chứa tham số.

Trường hợp 3: Đặt nhiều ẩn.

>> Xem thêm: Các cách giải bất phương trình mũ và logarit cực dễ hiểu

Trên đây là tổng hợp toàn bộ kiến thức toán 12 phần chương 1 và chương 2 trong chương trình học. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là các sĩ tử trang bị đầy đủ công thức toán 12 để ôn thi thật tốt. Truy cập vuihoc.vn và đăng ký các lớp ôn thi cấp tốc dành cho học sinh lớp 11 và 12 để mở rộng cánh cửa tri thức nhé!

>> Xem thêm: 

| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}