Các công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản và một số bài tập

1. Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác đầy đủ nhất

Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng khi học chương trình toán 12, đặc biệt trong phần giải tích. Dưới đây là toàn bộ những công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản nhất được các em áp dụng nhiều trong quá trình làm bài tập. 

2. Các dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản

Dạng 1: Nguyên hàm của $I = sin^{m}xcos^{n}xdx$

• Trường hợp 1: Nếu m = 2k + 1 $\Rightarrow I = \int sin^{2k}xcos^{n}x.sinxdx$

$= - \int (1-cos^{2}x)^{k} . cos^{n}xd (cosx) \Rightarrow$ Đặt $t = cosx$

• Trường hợp 2: Nếu n = 2k+1 $\Rightarrow$ Đặt $t = sinx$

• Trường hợp 3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc

Lưu ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.

• I = ∫f(sinx) cosxdx =  ∫f(sinx)d(sinx) → Đặt t = sinx

• I = ∫f(cosx) sinxdx = −∫f(cosx) d(cosx) → Đặt t = cosx

Dạng 2: Nguyên hàm $I= \int \frac{dx}{sin^{m}x.cos^{n}x} = \frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x} ....$

• Trường hợp 1: 

Nếu m= 2k+ 1 $I= \int \frac{sinxdx}{sin^{2k+2}x}.cos^{n}x = - \int \frac{d(cosx)}{(1 - cos^{2}x)^{k+1}} . cos^{n}x$

Khi đó ta đặt: $t= cosx$

• Trường hợp 2: Nếu n= 2k+ 1 → Đặt $t= sinx$

• Trường hợp 3: Nếu m,n đều chẵn ta có: $\frac{dx}{sin^{m}x} . cos^{n}x = \frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x}$

Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

Các nguyên hàm chứa $tanx$ hay $cotx$ ta thường dùng các hằng đẳng thức

$\frac{1}{sin^{2}x} = 1+ cos^{2}x ; \frac{1}{cos^{2}x = 1+tan^{2}}x$ 

Nguyên hàm mà mẫu là đẳng cấp bậc 2 với $sinx$ và $cotx$

$Asin^{2}x + Bsinx.cosx + Ccos^{2}x$ thì ta chia cả tử và mẫu cho $cos^{2}x$

Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

$\int cosax . cosbxdx = \frac{1}{2}\int [cos(a+b)x + cos(a-b)x]dx$

$\int sinax . sinbxdx = \frac{-1}{2}$

$\int [cos(a+b)x-cos(a-b)x]dx$

$\int sinax.cosbxdx= \frac{1}{2} \int [sin(a+b)x+sin(a-b)x]dx$

$\int cosax.sinbxdx = \frac{1}{2} \int [sin(a+b)x - sin(a - b)x]dx$

Dạng 5: Nguyên hàm $I = \int \frac{dx}{asinx + bcosx + c}$

Ta có: $\int \frac{dx}{msin^{2}\frac{x}{2}+nsin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+pcos^{x}\frac{x}{2}} = \int \frac{dx}{cos^{2}\frac{x}{2}(mtan^{2}\frac{x}{2}+ntan\frac{x}{2}+p)} \overset{t=tan\frac{x}{2}}{\rightarrow} I= \int \frac{dt}{mt^{2}+nt+p}$

Các em học sinh có thể tham khảo bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT Quốc Gia

3. Một số bài tập nguyên hàm lượng giác và phương pháp giải

Câu 1:  Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?

A. 7sinx + C.

B. 7cosx + C.

C. –7cosx + C.

D. Tất cả sai.

Giải

Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.

Chọn C.

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx là:

A. –6cosx - 8sinx + C.

B. 6cosx + 8sinx + C.

C. –6cosx + 8sinx + C.

D. 6cosx - 8sinx + C

Giải

Ta có:

∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.

Chọn C.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx - 8cosx

A. 8cosx - 8sinx.

B. -8cosx - 8sinx.

C. 8cosx + 8sinx.

D. Tất cả sai.

Giải

Ta có: ∫(8sinx - 8cosx)dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx

Chọn B.

Câu 4: Tính: I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx

A. cos⁡(x² - x + 1) + c.

B. -2 cos⁡(x² - x + 1) + c.

C. -1/2 . cos⁡(x² - x + 1).

D. -cos⁡(x² - x + 1).

Giải

Ta có: sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1)dx = sin⁡(x² - x + 1).(x² - x + 1)' dx

= sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

Đặt u = x² - x + 1 ta được:

⇒ I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx = ∫sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

I = ∫sinudu = -cosu + C = -cos⁡(x² - x + 1) + c

Chọn D.

Câu 5:

Tính  

A. 3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

B. -3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

C. 4ln|cosx + 2| + 2ln⁡|cosx + 1| + c

D. 2ln|cosx + 2| - 3ln⁡|cosx + 1| + c

Giải:

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan2x

Giải:

Ta có 

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x - 7cos2x + lne

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ

Câu 8: Nguyên hàm của hàm số

y = 2cos6x - 3sin4x có dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?

A. –4

B. 4

C. 2

D. -2

Giải:

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số

Giải:

Ta có:

Câu 10: Tìm nguyên hàm sau: $I = \int \frac{2dx}{\sqrt{3}sinx+cosx}$

Giải

Câu 11: Tính nguyên hàm sau: $J= \int\frac{dx}{{cos2x}- \sqrt{3}sin2x}$

Giải

Câu 12: Tìm nguyên hàm sau $I= \int\frac{dx}{3cosx + 5sinx +3}$

Giải

Câu 13: Tính nguyên hàm sau $I= \int\frac{dx}{sin^{2}x + 2sinxcosx 2cos^{2}x}$

Giải

Câu 14: Tính nguyên hàm sau  $I= \int \frac{4sinx+ 3cosx}{sinx+ 2cosx}$

Giải

Bài 15: Tìm nguyên hàm $J= \int\frac{3 cosx- 2 sinx}{cosx-4sinx}dx$

Giải:

Ta tìm A,B sao cho 

3 cosx- 2 sinx= A(cosx- 4sinx) + B(-sinx-4cosx

Câu 16: Tính nguyên hàm của $I=\int\frac{8cosx}{(\sqrt{3} sinx + cosx)^{2}}dx$

Giải

Câu 17: Tính nguyên hàm $I=\int\frac{8sinx+cosx+5}{(2sinx-cosx+1)}$

Giải

Câu 18: Tính nguyên hàm  $I= \int cos3xcos4xdx$

Giải

Câu 19: Tính nguyên hàm sau $I=\int (sin^{3}x cos3x+cos^{3}xsin3x)dx$

Giải

Câu 20: Tính nguyên hàm sau $I= \int \frac{dx}{sinxcos^{3}x}$

 Giải

Câu 21: Tính nguyên hàm $\int \frac{sin3x. sin4x}{tanx + tan2x}$

Giải

Câu 22: Tính nguyên hàm $\int \frac{dx}{sin^{3}x}$

Giải

Câu 23: Tính nguyên hàm $I= \int \frac{dx}{sinx sin(x+\frac{π}{6})}$

Giải

Câu 24: Tính nguyên hàm của 

$I= \int tanx.tan(\frac{\pi}{3}-x)tan (\frac{\pi}{3}+x)dx$

Giải

Câu 25: Tính nguyên hàm của $I= \int \frac{dx}{sinx(x+\frac{\pi}{6})+cos(x+\frac{\pi}{12})}$

Giải

Để hiểu sâu hơn và thành thạo hơn trong thao tác giải các bài tập nguyên hàm cơ bản áp dụng giải bài tập nguyên hàm tích phân, các em cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Thành Đức Trung nhé!

Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm lượng giác, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức và các dạng toán hay, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

>> Xem thêm:

• Tích phân là gì? Phương pháp tính và các dạng toán cơ bản
• Công thức nguyên hàm Inx và cách giải các dạng bài tập
• Công thức tính nguyên hàm từng phần và bài tập có đáp án
• Công thức lượng giác