Mách bạn tất cả các cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Logarit

1. Ôn tập về bất phương trình Logarit

Bất phương trình Logarit có hai dạng là bất phương trình Logarit cơ bản và bất phương trình Logarit chứa tham số vì vậy nghiệm của bất phương trình Logarit là:

1.1. Bất phương trình Logarit cơ bản

- Bất phương trình Logarit cơ bản thường có dạng: $log_{a}x> b; log_{a}x\geqslant ; log_{a}x< b; log_{a}x\leqslant$ với điều kiện $a> 0; a\neq 1$

- Dựa vào đồ thị hàm số, ta có thể xác định tập nghiệm của bất phương trình Logarit cơ bản như sau:

1.2. Bất phương trình Logarit chứa tham số

Bất phương trình Logarit chứa tham số là bất phương trình Logarit cơ bản có thêm tham số m, thường được áp dụng để tìm nghiệm của bất phương trình Logarit trong một tập xác định cho trước.

Các dạng bài tập thường gặp về bất phương trình Logarit chứa tham số bao gồm:

- Dạng 1: Tìm tham số m để $f(x;m)=0$ có nghiệm (hoặc có knghiệm) trên tập xác định D.

Để giải dạng bài tập này, chúng ta cần thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Cô lập tham số m, tách m ra khỏi biến số x rồi đưa bất phương trình về dạng f(x)=P(m).

+ Bước 2: Lập bảng và khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên tập D.

+ Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên đã có, xác định giá trị tham số P(m)sao cho đường thẳng y=P(m) nằm ngang, cắt đồ thị hàm số y=f(x).

- Dạng 2: Tìm tham số m để f(x;m)0hoặc f(x;m)0 có nghiệm (hoặc không có nghiệm) trên tập xác định D.

Các bước để giải bài toán tìm tập nghiệm của bất phương trình Logarit dạng này bao gồm:

+ Bước 1: Cô lập tham số m, tách m ra khỏi biến số x rồi đưa bất phương trình về dạng $f(x)\geqslant P(m)$ hoặc $f(x)\leqslant P(m)$

+ Bước 2: Lập bảng và khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên tập D.

+ Bước 3: Dựa vào $f(x)\leqslant P(m)$ bảng biến thiên đã có, xác định giá trị tham số P(m)sao cho:

   + $f(x)\leqslant P(m)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow p(m)\geqslant max_{fx\in D}f(x)$

   + $f(x)\geqslant P(m)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow p(m)\leqslant min_{fx\in D}f(x)$

Tham khảo ngay sách ôn thi THPT tổng ôn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc Gia môn Toán

2. Các cách tìm tập nghiệm của bất phương trình logarit cơ bản

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Xét bất phương trình $log_{a}f(x)> log_{a}g(x) (a> 0;a\neq 1)$

- Nếu a>1 thì $log_{a}f(x)> log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x)> g(x)$ (cùng chiều khi a>1)

- Nếu 0<a<1 thì $log_{a}f(x)> log_{a}g(x)\Leftrightarrow f(x)< g(x)$ (ngược chiều khi 0<a<1)

- Nếu a chứa ẩn thì $log_{a}f(x)> log_{a}g(x)$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
f(x)> 0; g(x)> 0 &  & \\ 
(a-1)[f(x)-g(x)]> 0&  & 
\end{matrix}\right.$

(hoặc chia 2 trường hợp của cơ số)

Đối với các phương trình có dạng $Q[log_{a}f(x)]> 0$ hoặc, ta có thể áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ $t=log_{a}f(x)$

Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa (biểu thức có nghĩa khi f(x)>0, chúng ta cần phải chú ý:

- Đặc điểm của bất phương trình Logarit đang xét (có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không

- Chiều biến thiên của hàm số

Mục đích chính của phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình Logarit này là chuyển các bài toán đã cho về bất phương trình đại số quen thuộc, đặc biệt là các bất phương trình bậc hai hoặc hệ bất phương trình, giúp ta dễ dàng hơn trong việc tìm tập nghiệm của bất phương trình Logarit.

2.3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y=f(t) xác định và liên tục trên miền D 

- Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u, v\in D$ thì $f(u)> f(v)\Leftrightarrow u> v$

- Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u, v\in D$ thì $ f(u)> f(v)\Leftrightarrow u< v$

3. Các cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Logarit chứa tham số

3.1. Phương pháp xét tính đơn điệu hàm số

Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Logarit khi đưa bất phương trình về dạng f(u)>f(v) với f(t) là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của bất phương trình. Khi đó $f(u)> f(v)\Leftrightarrow u> v$

3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt $t= a^{u(x)}$ hoặc $log_{a}u(x)$ tùy theo điều kiện của x mà ta sẽ tìm được tập xác định của biến t và suy ra được nghiệm của bất phương trình Logarit

3.3. Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai

- Phương pháp đặt ẩn phụ 

Đặt $t= a^{u(x)}$ hoặc $log_{a}u(x)$ tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được tập xác định của biến t

- Phương pháp hàm số

Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng f(u)= f(v) với f(t) là hàm số đơn điệu và đại diện cho 2 vế của bất phương trình khi đó $f(u)=(v) \Leftrightarrow u=v$

- Phương pháp sử dụng dấu tam thức bậc 2

Xét hàm số $f(x)=ax^{2}+ bx+ c$ có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} và x_{2}$

- Ta có $\Delta =b^{2}- 4ac$ và định lý Vi-ét $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2}= -\frac{b}{a}&  & \\ x_{1}x^{2}=\frac{c}{a}&  & \end{matrix}\right.$

- Phương trình f(x)=0 có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0 & & \\ x_{1}+ x_{2}> 0& & \\ x_{1}x^{2}> 0& & \end{matrix}\right.$

- Phương trình f(x) >0 có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac< 0$

- Bất phương trình f(x)>0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a> 0 &  & \\ \Delta < 0 &  & \end{matrix}\right.$

- Bất phương trình f(x)<0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a<0 &  & \\ \Delta < 0 &  & \end{matrix}\right.$

Trên đây là tổng hợp tất cả các cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Logarit mà học sinh chắc chắn sẽ gặp trong quá trình học Toán 12 và ôn thi Toán THPT Quốc gia. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp các em học sinh dễ dàng có được cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Logarit một cách nhanh và chính xác nhất. Chúc các bạn học tốt!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết