Chứng minh tứ giác nội tiếp

Tác giả Nhã Lân 16:22 11/04/2024 4,175 Tag Lớp 8 Lớp 9

Chứng minh tứ giác nội tiếp là một trong những dạng bài tập thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, bài thi và là dạng bài trọng tâm được các thầy cô lưu ý. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu các phương pháp giải dạng bài tập này.

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Chứng minh tứ giác nội tiếp là gì?

Chứng minh tứ giác nội tiếp là yêu cầu các em học sinh cần chứng minh 4 đỉnh của tứ giác đều nằm trên 1 đường tròn. Dạng bài tập này có nhiều mức độ khác nhau để thử thách các em học sinh từ trung bình đến giỏi và xuất hiện rất thường xuyên trong bài tập và trong cá đề thi. Chính vì vậy, đây là một trong những dạng bài rất quan trọng mà các em học sinh cần nắm chắc.

Một số kiến thức quan trọng về tứ giác nội tiếp

Định nghĩa về tứ giác nội tiếp: Một tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.
Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo của hai góc đối diện nhau bằng 180 độ.
Định lý đảo: Nếu một tứ giác có 2 góc đối diện có tổng bằng 180 độ thì tứ giác đó từ tứ giác nội tiếp đường tròn.
Một số hệ quả của tứ giác nội tiếp:
– Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
– Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
– Góc được tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

Phương pháp số 1: Chứng minh tứ giác có 2 góc đối có tổng bằng 180 độ

Phương pháp này được đúc kết ra xuất phát từ chính định nghĩa về tứ giác nội tiếp đường tròn.

Nội dung của phương pháp này như sau: “Cho một tứ giác ABCD, nếu tứ giác này có tổng của hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp”

Hệ quả của nội dung này là:

Cho tứ giác ABCD: Nếu $\widehat{BAD} = \widehat{BCD} = 90^{o}$ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có đường kính BD. Nếu tổng hai góc kề bù $\widehat{EAD} = \widehat{BCD}$ thì tứ giác ABCD nội tiếp.

Phương pháp số 2: Chứng minh tứ giác có góc trong của 1 đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp

Khi sử dụng phương pháp này, các em học sinh cần chú ý phải xác định đúng hình đúng góc, nếu không sẽ dễ dàng gặp tình trạng chứng minh sai nhưng kết quả đúng và gây ảnh hưởng tới kết quả của các câu sau. Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A của tứ giác bằng $\widehat{C}$ của tứ giác (góc $\widehat{C}$ và góc $\widehat{A}$ là 2 góc đối nhau) thì lúc này ta có thể kết luận tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Phương pháp số 3: Chứng minh hai đỉnh cùng kề với một cạnh, cùng nhìn cạnh đó dưới hai góc bằng nhau và cùng bằng 90 độ

Phương pháp này được áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và có những dữ kiện gợi ý tính được rằng góc $\widehat{DAC} = \widehat{DBC} = 90^{o}$ . Từ đó, các em học sinh có thể kết luận được tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Phương pháp số 4: Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm xác định

Nếu đề bài cho trước một điểm O bất kỳ và tứ giác ABCD. Khi chứng minh được 4 điểm của tứ giác cách đều điểm O là OA = OB = OC = OD thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính R = OA = OB = OC = OD

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD và điểm O xác định

Khi ta chứng minh được được bốn đỉnh A, B, C, D của tứ giác cách đều điểm O cho trước với khoảng cách bằng R (có nghĩa là OA = OB = OC = OD = R) thì điểm O chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm của tứ giác. Hay nói cách khác, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.

Lộ trình khóa học DUO dành riêng cho cấp THCS sẽ được thiết kế riêng cho từng bạn học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước tăng 3 - 6 điểm trong bài thi của mình.

Phương pháp số 5: Tứ giác có tổng số đo của hai cặp góc đối bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn

Ở phương pháp này, các em học sinh chứng minh tổng số đo 2 góc đối bằng 180^o thì có thể đưa ra kết luận tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD:
Để tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ⇔ $\widehat{A} + \widehat{C} = \widehat{B} + \widehat{D}$ . Trong trường hợp đặc biệt tổng các góc đối bằng 180 độ thì ta có hệ quả chính là phương pháp số 1.

Phương pháp số 6: Chứng minh tứ giác là dạng tứ giác đặc biệt

Trong phương pháp này, các em học sinh hãy chứng minh tứ giác đề bài yêu cầu là tứ giác có các dạng đặc biệt như: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi hoặc hình bình hành,… rồi từ đó suy ra tứ giác đã cho là tứ giác nội tiếp.

Các lưu ý khi làm dạng bài chứng minh tứ giác nội tiếp

Các em học sinh nên vẽ hình một cách dễ nhìn, rõ ràng và tránh vẽ tứ giác thành một số trường hợp đặc biệt để không ảnh hưởng tới quá trình chứng minh.

Các kí hiệu đoạn thẳng hay góc bằng nhau cần phải được đánh dấu rõ ràng.

Bám sát vào giả thiết mà đề bài đã cho, kiến thức đã học để lựa chọn phương pháp hiệu quả và tốt nhất. Lưu ý về cá yêu cầu của đề bài vì đây có thể là gợi ý về hướng và phương pháp làm bài.

Không được sử dụng những điều đang cần chứng minh để chứng minh lại chúng.

Một số câu hỏi liên quan tới tứ giác nội tiếp đường tròn

Câu 1: Những nào dưới đây nội tiếp đường tròn?

A. Hình thang, hình chữ nhật.

B. Hình thang cân, hình bình hành.

C. Hình thoi, hình vuông.

D. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

Đáp án đúng là đáp án D. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

Câu 2: Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn có đường kính BC cắt 2 đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại điểm D và E. Gọi điểm H là giao điểm của BE và CD, tia AH cắt BC tại F. Hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ?

A. 4

B. 6

C. 7

D. 8

Đáp án đúng là đáp án B. 6

Giải thích: lần lượt ta chứng minh các tứ giác sau ADHE, BDHF, FHEC, BDEC, AEFB, ADFC là tứ giác nội tiếp. Do đó sẽ có 6 tứ giác nội tiếp trong câu hỏi trên.

Câu 3: Cho tam giác ABC có $\widehat{A} = 90^{o}$ , đường cao AH nội tiếp đường tròn (O;R) gọi các điểm I và K lần lượt là điểm đối xứng của H qua hai cạnh AB và AC. Chọn khẳng định đúng?

A. Tứ giác AHBI nội tiếp đường tròn có đường kính AB.

B. Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn có đường kính AC.

C. Ba điểm I, A, K thẳng hàng.

D. Tất cả đáp án trên đều đúng.

Đáp án đúng là đáp án D. Tất cả đáp án trên đều đúng.

Câu 4: Hình nào sau đây không phải là tứ giác nội tiếp đường tròn?

A. Hình vuông

B. Hình chữ nhật

C. Hình thoi

D. Hình thang cân

Đáp án đúng là đáp án C. Hình thoi

Giải thích: Do các hình như hình vuông, hình chữ nhật và hình thang cân đều là các hình nội tiếp đường tròn nên theo phương pháp loại trừ hình thoi sẽ là hình không phải tứ giác nội tiếp đường tròn.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là một số phương pháp và những lưu ý giúp các em học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp một cách đơn giản và hiệu quả nhất. Các em chú ý theo dõi bài giảng và ghi chép đầy đủ để nắm vững kiến thức và áp dụng vào bài tập.

Bài viết tham khảo thêm:

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng