Đa thức một biến| Toán 7 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 11:38 21/06/2024 164 Tag Lớp 7

Đa thức một biến là gì? Cách nhận biết đa thức một biến, tính giá trị và nhận biết nghiệm của một đa thức. Tham khảo bài viết để hiểu rõ khái niệm đa thức một biến và hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa toán 7 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo, cánh diều.

Đa thức một biến| Toán 7 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Đơn thức một biến

- Các biểu thức như -0,5x; x²; $\large \frac{1}{2}x^{6}$ là những ví dụ về đơn thức một biến. Chúng đều là tích của một số với một lũy thừa của x.

- Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức. Chẳng hạn:

Biểu thức 4x³ là một đơn thức, trong đó 4 là hệ số, số mũ 3 của x là bậc của đơn thức đó.
Đơn thức -0,5x có hệ số là -0,5 và có bậc là 1 (vì x = x¹).
Một số khác 0 là một đơn thức bậc 0.

- Chú ý: Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

- Với các đơn thức một biến, ta có thể:

Cộng hoặc trừ hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng hoặc trừ các hệ số với nhau và giữa nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức. Chẳng hạn: x² + 3x² = 4x².
Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được cũng là một đơn thức. Chẳng hạn x².3x² = 3x⁴.

2. Khái niệm đa thức một biến

- Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến, mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hàng tử của đa thức đó.

- Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không. Một đơn thức cũng là một đa thức.

- Chú ý: Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn. Chẳng hạn: A = A(x) = 5x³ - x + 3.

- Đa thức một biến thu gọn: Đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là các đa thức thu gọn.

- Ví dụ: Thu gọn đa thức A = 6x³ - 5x² - 4x³+ 7

Lời giải: A = 6x³ - 5x² - 4x³+ 7 = 6x³ - 4x³- 5x² + 7

= (6x³ - 4x³) - 5x² + 7 = 2x³ - 5x² + 7.

3. Cách sắp xếp đa thức một biến

- Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm của biến (chỉ xét đa thức khác đa thức 0).

Để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến. Chẳng hạn, ta sắp xếp các hạng của của đa thức A = x⁵ + 4x + x² - 5x⁴ theo lũy thừa giảm của biến, ta được A = x⁵ - 5x⁴ + x² + 4x
Trong đa thức A ta thấy các đơn thức bậc 4 và bậc 2, nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Tuy nhiên khi cần, ta có thể viết A = x⁵ - 5x⁴ + 0x³ + x² + 4x.

4. Bậc và các hệ số của một đa thức

- Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không:

Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.
Hệ số cảu hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.
Hệ số của hạn tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

- Lưu ý: Đa thức 0 thì không có bậc xác định. Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0). Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

5. Nghiệm của đa thức một biến

- Nếu tại x = a, đa thức F(x) có gái trị bằng 0, thức là F(a) = 0, tha ta gọi a hoặc x = a là một nghiệm của đa thức F(x).

- Một đa thức có thể không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm

- Nhận xét: Nếu một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức đó. Chẳng hạn đa thức A(x) = 2x² + 6x có hệ số tự do bằng 0 và có nghiệm x = 0

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

6. Bài tập đa thức một biến toán 7

6.1 Bài tập đa thức một biến toán 7 kết nối tri thức

Bài 7.5 trang 30 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

$\large a)\left ( \frac{1}{2}x^{3} \right )(-4x^{2})=\frac{1}{2}(-4).(x^{3}.x^{2})=-2x^{3+2}=-2x^{5}$

Hệ số của đơn thức trên là -2.

Bậc của đơn thức trên là 5.

$\large b)\frac{1}{2}x^{3}-\frac{5}{2}x^{3}=\left ( \frac{1}{2}-\frac{5}{2} \right )x^{3}=-\frac{4}{2}x^{3}=-2x^{3}$

Hệ số của đơn thức trên là -2.

Bậc của đơn thức trên là 3.

Bài 7.6 trang 30 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

a) A(x) = x³ + 3/2x - 7x⁴ + 1/2x - 4x² + 9

A(x) = -7x⁴ + x³ - 4x² + (3/2x + 1/2x)+ 9.

A(x) = -7x⁴ + x³ - 4x² + 2x + 9.

B(x) = x⁵ - 3x² + 8x⁴ - 5x² - x⁵ + x - 7

B(x) = (x⁵ - x⁵) + 8x⁴ + (-3x² - 5x²) + x - 7

B(x) = 8x⁴ + (-8)x² + x - 7

B(x) = 8x⁴ - 8x² + x - 7.

b) Trong đa thức A(x), hạng tử có bậc cao nhất là -7x⁴ nên bậc của đa thức A(x) là 4, hệ số cao nhất là -7.

Hạng tử có bậc bằng 0 của đa thức A(x) là 9 nên hệ số tự do của đa thức A(x) là 9.

B(x) = 8x⁴ - 8x² + x - 7 = 8x⁴ + (-8x²) + x + (-7).

Trong đa thức B(x), hạng tử có bậc cao nhất là 8x⁴ nên bậc của đa thức B(x) là 4, hệ số cao nhất là 8.

Hạng tử có bậc bằng 0 của đa thức B(x) là -7 nên hệ số tự do của đa thức B(x) là -7.

Bài 7.7 trang 30 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

a) P(x) = 5x³ + 2x⁴ - x² + 3x² - x³ - 2x⁴ - 4x³

P(x) = (2x⁴ - 2x⁴) + (5x³ - x³ - 4x³) + (-x² + 3x²)

P(x) = 2x².

Q(x) = 3x - 4x³ + 8x² - 5x + 4x³ + 5

Q(x) = (-4x³ + 4x³) + 8x² + (3x - 5x) + 5

Q(x) = 8x² + (-2x) + 5

Q(x) = 8x² - 2x + 5.

b) Do P(x) = 2x² nên

P(1) = 2.1² = 2.

P(0) = 2.0² = 0.

Do Q(x) = 8x² - 2x + 5 nên

Q(-1) = 8.(-1)² - 2.(-1) + 5 = 8 - (-2) + 5 = 8 + 2 + 5 = 15.

Q(0) = 8 . 0² - 2 . 0 + 5 = 5.

Bài 7.8 trang 30 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

Lượng nước máy thứ nhất bơm được trong x giờ là 22x m³.

Lượng nước máy thứ hai bơm được trong x giờ là 16x m³.

Lượng nước máy thứ hai bơm được trong 0,5 giờ là 16.0,5 = 8 m³.

Do đó lượng nước bơm được khi cả hai máy chạy trong x giờ rồi máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ là 22x + 16x + 8 = 38x + 8 m³.

Do trước khi bơm thì trong bể có 1,5 m³ nên đa thức biểu thị dung tích của bể là

1,5 + 38x + 8 = 38x + (1,5 + 8) = 38x + 9,5 m³.

Vậy đa thức biểu thị dung tích của bể là 38x + 9,5.

Trong đa thức trên, hạng tử 38x có bậc cao nhất nên hệ số cao nhất là 38.

Hạng tử có bậc bằng 0 là 9,5 nên hệ số tự do là 9,5.

Bài 7.9 trang 30 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

Do bậc của F(x) bằng 3 và hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 nên ta có hạng tử -6x³.

Do hệ số của x² bằng hệ số của x và bằng 2 nên ta có 2 hạng tử là 2x²và 2x.

Do hệ số tự do bằng 3 nên ta có hạng tử 3.

Vậy đa thức F(x) = -6x³ + 2x² + 2x + 3.

Bài 7.10 trang 30 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

a) Thay x = −18-18vào đa thức P(x) ta được:

$\large P=\left ( -\frac{1}{8} \right )=4.\frac{-1}{8}+\frac{1}{2}$

$\large P=\left ( \frac{-1}{8} \right )=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}=0$

Do đó x = -1/8 là nghiệm của đa thức P (x) = 4x + 1/2

b) Thay x = 1 vào đa thức Q(x) ta được Q(1) = 1² + 1 - 2

Q(1) = 1 + 1 - 2 = 0.

Thay x = -1 vào đa thức Q(x) ta được Q(-1) = (-1)² + (-1) - 2

Q(-1) = 1 - 1 - 2 = -2.

Thay x = 2 vào đa thức Q(x) ta được Q(2) = 2² + 2 - 2

Q(2) = 4 + 2 - 2 = 4.

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức Q(x) = x² + x - 2.

Bài 7.11 trang 30 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

a) Số tiền Quỳnh bỏ ra để mua bộ dụng cụ học tập và cuốn sách Toán là: 37 + x nghìn đồng.

Số tiền Quỳnh còn lại là: 100 - (37 + x) = 100 - 37 - x = 73 - x nghìn đồng.

Do đó đa thức biểu thị số tiền Quỳnh còn lại là 73 - x.

Đa thức 73 - x = -x + 73 có hạng tử có bậc cao nhất là -x nên bậc của đa thức trên bằng 1.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho nên 73 - x = 0.

Do đó x = 73.

Vậy giá tiền của cuốn sách là 73 nghìn đồng.

6.2 Bài tập đa thức một biến toán 7 cánh diều

Bài 1 trang 52 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) Biểu thức -2x là đa thức một biến x với bậc bằng 1.

b) Biểu thức - x² - x + 1/2 là đa thức một biến x với bậc bằng 2.

c) Biểu thức $\large \frac{4}{x^{2}+1}+x^{2}$ không phải đa thức một biến.

d) Biểu thức $\large y^{2}-\frac{3}{y}+1$ không phải đa thức một biến.

e) Biểu thức - 6z + 8 là đa thức một biến z với bậc bằng 1.

g) Biểu thức -2t²⁰²¹ + 3t²⁰²⁰ + t - 1 là đa thức một biến t với bậc bằng 2021.

Bài 2 trang 52 SGK Toán 7/2 cánh diều

$\large a)\frac{4}{9}x+\frac{2}{3}x=\left ( \frac{4}{9}+\frac{2}{3} \right )x=\left ( \frac{4}{9}+\frac{6}{9} \right )x=\frac{10}{9}x$

b) - 12y² + 0,7y² = (-12 + 0,7)y² = -11,3y².

c) - 21t³ - 25t³ = (-21 - 25)t³ = -46t³.

Bài 3 trang 52 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) Ta có:

P(y) = -12y⁴ + 5y⁴ + 13y³ - 6y³ + y - 1 + 9

P(y) = (-12y⁴ + 5y⁴) + (13y³ - 6y³) + y+ (-1 + 9)

P(y) = -7y⁴ + 7y³ + y + 8.

Q(y) = -20y³ + 31y³ + 6y - 8y + y - 7 + 11

Q(y) = (-20y³ + 31y³) + (6y - 8y + y) +(-7 + 11)

Q(y) = 11y³ - y + 4.

b) Đa thức P(y) có bậc bằng 4, hệ số cao nhất bằng -7, hệ số tự do bằng 8.

Đa thức Q(y) có bậc bằng 3, hệ số cao nhất bằng 11, hệ số tự do bằng 4.

Bài 4 trang 53 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) Ta có: P(0) = a . 0² + b . 0 + c = c.

b) Ta có: P(1) = a . 1² + b . 1 + c = a + b + c.

c) Ta có: P(-1) = a . (-1)² + b . (-1) + c = a - b + c.

Lộ trình khóa học DUO sẽ được thiết kế riêng cho từng nhóm học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước đạt điểm 9, 10 trong mọi bài kiểm tra.

Bài 5 trang 53 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) Ta có:

P(2) = 3 . 2 - 4 = 2.

P(4/3)= 3 . 4/3 - 4 = 0.

Do đó x = 2 không phải nghiệm của đa thức P(x), x = 4/3 là nghiệm của đa thức P(x).

b) Ta có:

Q(1) = 1² - 5 . 1 + 4 = 0.

Q(4) = 4² - 5 . 4 + 4 = 0.

Do đó y = 1, y = 4 là nghiệm của đa thức Q(y).

Bài 6 trang 53 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) Cân nặng chuẩn của bé gái 3 tuổi là: 9 + 2(3 - 1) = 9 + 2 . 2 = 13 (kg).

Chiều cao chuẩn của bé gái 3 tuổi là: 75 + 5(3 - 1) = 75 + 5 . 2 = 85 (cm).

b) Ta thấy 13,5 > 13 và 86 > 85 nên bé gái đó đạt tiêu chuẩn về cân nặng và chiều cao của Tổ chức Y tế Thế giới.

Bài 7 trang 53 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) Sau 3 giây thì vật nặng rơi được 5 . 3² = 45 (m).

Sau 3 giây, vật nặng còn cách mặt đất là: 180 - 45 = 135 (m).

b) Khi vật nặng còn cách mặt đất 100 m thì nó đã rơi được: 180 - 100 = 80 (m).

Khi đó 5x² = 80 suy ra x² = 16 = 4² = (-4)².

Suy ra x = 4 (do x là thời gian chuyển động nên x > 0).

Vậy khi còn cách mặt đất 100 m thì vật nặng đã rơi được 4 giây.

c) Vật chạm đất tức 5x² = 180.

Suy ra x² = 36 = 6² = (-6)².

Suy ra x = 6 (do x là thời gian chuyển động nên x > 0).

Vậy sau 6 giây rơi thì vật chạm đất.

Bài 8 trang 53 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) Khi x = 100 (pound) thì y = 0,45359237 . 100 = 45,359237 (kg).

b) Đổi 50,99 pound = 0,45359237 . 50,99 kg = 23,12867495 kg ≈ 23 kg.

Do đó cân nặng của vali không vượt quá quy định.

6.3 Bài tập đa thức một biến toán 7 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 31 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

Các biểu thức là đơn thức một biến là: 5x3; 7,8; 23 . y . y2.

Bài 2 trang 31 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

Các đa thức một biến là biểu thức A, biểu thức B, biểu thức M, biểu thức N.

Bài 3 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

a) Đa thức 3 + 2y có hạng tử có bậc cao nhất là 2y nên bậc của đa thức 3 + 2y bằng 1.

b) Đa thức 0 không có bậc.

c) Đa thức 7 + 8 có bậc bằng 0.

d) Đa thức 3,2x³ + x⁴ có hạng tử có bậc cao nhất là x⁴ nên bậc của đa thức 3,2x³ + x⁴ bằng 4.

Bài 4 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

a) Đa thức 4 + 2t - 3t³ + 2,3t⁴ là đa thức một biến với biến t.

Hệ số cao nhất bằng 2,3.

Hệ số của t³ bằng -3.

Hệ số của t bằng 2.

Hệ số tự do bằng 4.

b) Đa thức 3y⁷ + 4y³ - 8 là đa thức một biến với biến y

Hệ số cao nhất bằng 3.

Hệ số của y³ bằng 4.

Hệ số tự do bằng -8.

Bài 5 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

P(x) = 7 + 10x² + 3x³ - 5x + 8x³ - 3x²

P(x) = (3x³ + 8x³) + (10x² - 3x²) - 5x + 7

P(x) = 11x³ + 7x² - 5x + 7

Bài 6 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

P(x) = 2x + 4x³ + 7x² - 10x + 5x³ - 8x²

P(x) = (4x³ + 5x³) + (7x² - 8x²) + (-10x + 2x)

P(x) = 9x³ - x² - 8x

Đa thức P(x) có hạng tử có bậc cao nhất là 9x³ nên bậc của đa thức P(x) bằng 3 và hệ số cao nhất bằng 9.

Đa thức P(x) không có hạng tử có bậc bằng 0 nên hệ số tự do của đa thức P(x) bằng 0.

Với mỗi hạng tử trong đa thức ta có phần hệ số và phần biến như sau:

Hệ số của x² bằng -1.

Hệ số của x bằng -8.

Bài 7 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

a) Ta có P(-2) = 2 . (-2)³ + 5 . (-2)² - 4 . (-2) + 3

P(-2) = 2 . (-8) + 5. 4 + 8 + 3

P(-2) = -16 + 20 + 11

P(-2) = 15

Vậy P(x) = 15 khi x = -2.

b) Ta có Q(3) = 2 . 3³ - 3⁴ + 5 . 3² - 3

Q(3) = 2 . 27 - 81 + 5. 9 - 3

Q(3) = 54 - 81 + 45 - 3

Q(3) = 15

Vậy Q(y) = 15 khi y = 3.

Bài 8 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

a) Đa thức M(t) có bậc bằng 3, hệ số cao nhất bằng 1/2, hệ số tự do bằng 0.

Với mỗi hạng tử của đa thức M(t), ta có:

Hệ số của t³ bằng 1/2.

Hệ số của t bằng 1.

b) M(4) = 4 + 1/2.4³ = 4 + 1/2. 64 = 4 + 32 = 36.

Vậy M(t) = 36 khi t = 4.

Bài 9 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

Thay x = −23−23vào đa thức P(x) ta được:

$\large P=\left ( -\frac{2}{3} \right )=3.\left ( -\frac{2}{3} \right )+2=(-2)+2=0$

Vậy x = -2/3 là nghiệm của đa thức P(x).

Bài 10 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

Ta có Q(1) = 2 . 1² - 5.1 + 3 = 2 - 5 + 3 = 0.

Q(2) = 2 . 2² - 5 . 2 + 3 = 2 . 4 - 10 + 3 = 1.

Q(3) = 2 . 3² - 5 . 3 + 3 = 2 . 9 - 15 + 3 = 6.

$\large Q=\left ( \frac{3}{2} \right )=2.\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}-5.\frac{3}{2}+3$

$\large =2.\frac{9}{4}-\frac{15}{2}+\frac{6}{2}=\frac{9}{2}-\frac{15}{2}+\frac{6}{2}=0$

Vậy y = 1 và y = 3/2 là nghiệm của đa thức Q(y).

Bài 11 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

Ta có t⁴ = (t²)² ≥ 0 với mọi t nên 3 + t⁴ > 0 với mọi t hay M(t) > 0 với mọi t.

Do đó không tồn tại giá trị của t để M(t) = 0.

Vậy đa thức M(t) vô nghiệm.

Bài 12 trang 32 SGK Toán 7/2 chân trời sáng tạo

Tốc độ của ca nô với t = 5 là 16 + 2 . 5 = 16 + 10 = 26 mét/giây.

Vậy tốc độ của ca nô bằng 26 mét/giây với t = 5.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức về bài học đa thức một biến trong chương trình toán lớp 7. Qua bài học, các em đã biết được khái niệm đa thức một biến, cách sắp xếp đa thức một biến. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: