Lý thuyết bội chung và bội chung nhỏ nhất toán 6

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất 

- Một số được gọi là bội chung của hai hay nhiều số nếu nó là bội chung của tất cả các số đó. 

Ví dụ: Ta có  B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 18; 32; 36...}

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36...}

Hai tập hợp trên có các phần tử chung là 0; 12; 24; 36... ta nói chúng là bội chung của 4 và 6. 

- Kí hiệu tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b), tương tự tập hợp các bội chung của a, b, c kí hiệu là BC(a,b,c). 

- Cách tìm bội chung của hai số a và b: 

+ Viết các tập hợp B(a) và B(b); 

+ Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b). 

Ví dụ: Tìm BC (3;9)

Ta có: B(3) = {0;3;6;9;12;15;18;21;24;27;30...}

B(9) = {0;9;18;27;36...}

=> BC(3,9) = {9;18;27...}

- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó. 

- Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a,b), bội chung nhỏ nhất của a,b và c kí hiệu là BCNN(a,b,c)

- Tất cả các bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a,b). Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó, với mọi số tự nhiên a và b khác 0 ta có: 

+ BCNN(a,1) = a; 

+ BCNN(a,b,1)= BCNN(a,b)

2. Cách tìm BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố: 

- Quy tắc: Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau: 

+ Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

+ Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng; 

+ Bước 3: Lập tích các thứa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.

=> Tích đó là BCNN phải tìm. 

- Chú ý: Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó. 

Ví dụ: Tìm BCNN của 12, 90 và 150. 

+ Bước 1: Phân tích các số 12, 90 và 150 ra thừa số nguyên tố: 

12 = 2².3; 90 = 2.3².5; 150 = 2.3.5²

+ Bước 2: Các thừa số nguyên tố chung và riêng là: 2, 3 và 5.

+ Bước 3: Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất, ta có: 2².3².5² 

Vậy BCNN(12,90,150) = 2².3².5² = 900. 

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 6 chi tiết SGK mới

3. Bài tập vận dụng bội chung và bội chung nhỏ nhất toán 6

3.1 Bài tập toán 6 kết nối tri thức

Bài 2.36 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Ta có BCNN(5; 7) = 5. 7 = 35 nên 

BC(5; 7) = B(35) = {0; 35; 70; 105; 140; 175; 210; ...}

Vì bội chung nhỏ hơn 200 nên bội chung của 5 và 7 là: 0; 35; 70; 105; 140; 175

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là: 0; 35; 70; 105; 140; 175.

b) Ta có: 3 = 3;             4 = 2²               10 = 2. 5.

Thừa số nguyên tố chung là 2 và riêng là 3 và 5.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Khi đó BCNN(3, 4, 10) = 2².3.5 = 60.

BC(3; 4; 10) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; ...}

Vì bội chung nhỏ hơn 200 nên bội chung của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180.

Bài 2.37 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) 2.3³ và 3.5

+) Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 1 và 5

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN cần tìm là 2.3³.5 = 270.

b) 2.5.7²   và 3.5².7        

+) Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 5 và 7; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 1, số mũ lớn nhất của 5 là 2, số mũ lớn nhất của 7 là 2

Vậy BCNN cần tìm là 2.3.5².7² = 7 350.

Bài 2.38 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) 30 và 45

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

30 = 2.3.5;  45 = 3².5

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và 5; thừa số nguyên tố riêng là 2

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN(30; 45) = 2.3².5 = 90.

b) 18, 27 và 45

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

18 = 2.3²  ;  27 = 3³  ;  45 = 3².5

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 1, số mũ lớn nhất của 3 là 3, số mũ lớn nhất của 5 là 1

Vậy BCNN(30; 45) = 2.3³.5 = 270.

Bài 2.39 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 và a ⋮ 28 và a ⋮ 32

Do đó a là BCNN(28; 32)

+) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

28 = 2².7;                32 = 2⁵

+) Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 2; thừa số nguyên tố riêng là 7

+) Số mũ lớn nhất của 2 là 5, số mũ lớn nhất của 7 là 1

nên a = BCNN(28; 32) = 2⁵.7 = 224

Vậy số tự nhiên a cần tìm là 224.

Bài 2.40 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ.

Nên số học sinh của lớp 6A là BC(3; 4; 9) 

Ta có: 3 = 3;  4 = 2²;   9 = 3²

Ta thấy thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3, không có thừa số nguyên tố chung

Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 2

Khi đó: BCNN(3; 4; 9) = 2².3² = 36

Do đó BC(3; 4; 9) = B(36) = {0; 36; 72; ...}

Mà số học sinh lớp 6A từ 30 đến 40 nên số học sinh lớp 6A là 36.

Vậy số học sinh lớp 6A là 36 học sinh.

Bài 2.41 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Vì số cây hai đội trồng được như nhau mà mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II đã trồng 11 cây.

Nên số cây mỗi đội trồng được là BC(8; 11)

BCNN(8; 11) = 8 . 11 = 88

Do đó số cây mỗi đội trồng là BC(8; 11) = B(88) ={0; 88; 176; 264; ...}

Mà số cây trong khoảng từ 100 đến 200 nên số cây mỗi đội trồng được là 176 cây.

Vậy số cây mỗi đội đã trồng là 176 cây.

Bài 2.42 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Số ngày ít nhất mà cún vừa được đi dạo, vừa được tắm là BCNN(2, 7) 

BCNN(2, 7) = 2.7 = 14 

Vậy sau ít nhất 14 ngày thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm.

Bài 2.43 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Ta có: 12.2².3; nên BCNN(12, 15) = 2².3.5 = 60. Do đó ta có thể chọn mẫu chung là 60.

$\large \frac{9}{12}=\frac{9.5}{12.5}=\frac{45}{60}$

$\large \frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60}$

b) Ta có: 10 = 2.5; 4 = 2²; 14 = 2. 7 nên BCNN(10, 4, 14) = 2².5.7 = 140. Do đó ta có thể chọn mẫu chung là 140

$\large \frac{7}{10}=\frac{7.14}{10.14}=\frac{98}{140}$

$\large \frac{3}{4}=\frac{3.35}{4.35}=\frac{105}{140}$

$\large \frac{9}{14}=\frac{9.10}{14.10}=\frac{90}{140}$

Bài 2.44 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Ta có: 11 = 11;   7 = 7 nên BCNN(11, 7) = 11.7 = 77. Ta có thể chọn mẫu chung là 77.

$\large \frac{7}{11}=\frac{7.7}{11.7}=\frac{49}{77}$

$\large \frac{5}{7}=\frac{5.11}{7.11}=\frac{55}{77}$

$\large \frac{7}{11}+\frac{5}{7}=\frac{49}{77}+\frac{55}{77}=\frac{104}{77}$

b) Ta có: 20 = 2².5; 15 =3.5 nên BCNN(20,15) = 2².3.5 = 60. Ta có thể chọn mẫu chung là 60.

$\large \frac{7}{20}=\frac{7.3}{20.3}=\frac{21}{60}$

$\large \frac{2}{15}=\frac{2.4}{15.4}=\frac{8}{60}$

$\large \frac{7}{20}-\frac{2}{15}=\frac{21}{60}-\frac{8}{60}=\frac{13}{60}$

Khóa học DUO cung cấp cho các em nền tảng kiến thức vững chắc, bứt phá điểm 9+ trong mọi bài kiểm tra trên lớp.

3.2 Bài tập toán 6 chân trời sáng tạo 

Bài 1 trang 43 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) Ta có: 6 = 2.3; 14 = 2.7 ⇒ BCNN(6,14) = 2.3.7 = 42.

Khi đó tập hợp bội chung của 6 và 14 là tập hợp bội của 42:

BC(6, 14) = B(42) = {0; 42; 84; 126; …}.

b) Ta có: 6 = 2.3; 20 =2².5; 30 = 2.3.5 ⇒ BCNN(6, 20, 30) = 2².3.5 =60

Khi đó tập hợp bội chung của 6, 20 và 30 là tập hợp bội của 60:

BC(6, 20, 30) = B(60) = {0; 60; 120; 180; …}.

c) Vì 1 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN(1, 6) = 1.6 = 6.

d) Ta có: BCNN(10, 1, 12) = BCNN(10, 12)

Phân tích 10 và 12 ra thừa số nguyên tố: 10 = 2.5, 12 = 2².3.

Suy ra BCNN(10, 12) = 2².3.5 = 60.

Vậy BCNN(10, 12) = 2².3.5 = 60.

e) Vì 5 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN(5, 14) = 5.14 = 70. 

Bài 2 trang 43 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) Các bội của 48 là 0, 48, 96, 144, 196,…

Do đó: A = {0; 48; 96; 144; 192;…}

BC(12, 16) = {0; 48; 96; 144; 192;…}

* Nhận xét: Tập hợp BC(12, 16) chính là tập hợp A.

b) 

i) Ta có: 24 = 2³.3; 30 = 2.3.5.

Suy ra BCNN(24,30) = 2³.3.5 = 120.

Vậy BC(24, 30) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; …}

ii) Ta có: 42 = 2.3.7; 60 =2².3.5.

Suy ra BCNN(42,60) = 2².3.5.7 = 420.

Vậy BC(42, 60) = B(42) = {0; 420; 840; 1260; …}.

iii) Ta có: 60 = 2².3.5; 150 = 2.3.5²

⇒ BCNN( 60, 150) = 2².3.5² = 300.

 BC(60, 150) = B(300) = {0; 300; 600; 900; …}.

iv) Ta có:  

⇒ BCNN( 28,35) = 2².5.7 =140.

BC(28,35) = B(140) = {0; 140; 280; 420;...}

Bài 3 trang 43 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) 16 = 2⁴, 24 = 2³.3

Khi đó BCNN(16, 24) = 2⁴.3 = 48.

48:16 = 3; 48:24 = 2. Do đó:

$\large \frac{3}{16}=\frac{3.3}{16.3}=\frac{9}{48}$ và $\large \frac{5}{24}=\frac{5.2}{24.2}=\frac{10}{48}$

b) 20 = 2².5; 30 = 2.3.5; 60 = 2².3.5.

Khi đó BCNN(20, 30, 15) = 2².3.5 = 60.

60:20 = 3; 60:30 = 2; 60:15 = 4. Do đó:

$\large \frac{3}{20}=\frac{3.3}{20.3}=\frac{9}{60}$;  $\large \frac{11}{30}=\frac{11.2}{30.2}=\frac{22}{60}$

$\large \frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60}$ 

Bài 4 trang 44 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) BCNN(15, 10) = 30

$\large \frac{11}{15}+\frac{9}{10}=\frac{11.2}{15.2}+\frac{9.3}{10.3}=\frac{22}{30}+\frac{27}{30}=\frac{49}{30}$

b) BCNN(6, 9, 12) = 36

$\large \frac{5}{6}+\frac{7}{9}+\frac{11}{12}=\frac{5.6}{6.6}+\frac{7.4}{9.4}+\frac{11.3}{12.3}=\frac{30}{36}+\frac{28}{36}+\frac{33}{36}=\frac{91}{36}$

c) BCNN(24, 21) = 168

$\large \frac{7}{24}-\frac{2}{21}=\frac{7.7}{24.7}-\frac{2.8}{21.8}=\frac{49}{168}-\frac{16}{168}=\frac{33}{168}=\frac{11}{56}$

d) BCNN(36, 24) = 72

$\large \frac{11}{36}-\frac{7}{24}=\frac{11.2}{36.2}-\frac{7.3}{24.3}=\frac{22}{72}-\frac{21}{72}=\frac{1}{72}$

Bài 5 trang 44 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

- Gọi x là số bông sen chị Hòa có. (x là số tự nhiên thuộc khoảng từ 200 đến 300)

- Vì chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông đều vừa hết nên số bông sen chị Hòa có là bội chung của 3, 5 và 7.

- Suy ra x ∈ BC(3, 5, 7) 

Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau 

⇒ BCNN(3, 5, 7) = 3 . 5 . 7 =105 

⇒ BC(3, 5, 7) = B(105) = {0; 105; 210; 315;…}

⇒ x ∈ BC(3, 5, 7) ={0; 105; 210; 315;…}

Mà 200 ≤ x ≤ 300  Nên x = 210.

Số bông sen chị Hòa có là 210 bông.

3.3 Bài tập toán 6 cánh diều 

Bài 1 trang 57 sgk toán 6/1 cánh diều

a) + Để tìm các ước của 7 ta lấy 7 lần lượt chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 7, các phép chia hết là: 7 : 1 = 7; 7 : 7 = 1

Do đó: các ước của 7 là: 1; 7 

+ Để tìm các ước của 8 ta lấy 8 lần lượt chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 8, các phép chia hết là: 8 : 1 = 8; 8 : 2 = 4; 8 : 4 = 2; 8 : 8 = 1.

Các ước của 8 là: 1; 2; 4; 8.

+ Từ đó suy ra ƯC(7, 8) = 1 nên ƯCLN(7, 8) = 1.

b) Vì ƯCLN(7, 8) = 1 (theo câu a) nên hai số 7 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau. 

c) Ta có: 7 = 7¹; 8 = 2³

Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 7 và 2 với số mũ cao nhất lần lượt là 1 và 3.

Do đó BCNN(7, 8) = 7¹ . 2³ = 56 

Mà 7 . 8 = 56

Hay ta nói bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau 7 và 8 chính bằng tích của hai số 7 và 8. 

Bài 2 trang 57 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Quan sát hình trên, ta thấy số 0 nằm trên cả 2 thanh, thanh một số bội của 10 (thanh ngang) và thanh một số bội của 6 (thanh cong) nên số 0 là bội chung của 6 và 10. 

Mở rộng: Hơn nữa, 0 chia hết cho tất cả các số tự nhiên khác 0 nên 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0. 

b) Quan sát hình trên, ta thấy các số 0; 30; 60; 90 (được tô màu đậm hơn) nằm trên cả hai thanh ngang và thanh cong.

Do đó bốn bội chung của 6 và 10 được xếp theo thứ tự tăng dần là: 0; 30; 60; 90.

 c) Trong các bội chung trên của 6 và 10, ta thấy 30 là số bé nhất và khác 0.

Do đó nó là bội chung nhỏ nhất của 6 và 10 hay BCNN(6, 10) = 30.

d) Các bội chung của 6 và 10 là các bội của BCNN(6, 10) = 30. 

Mà các bội của 30 là: 0; 30; 60; 90; 120; 150; 180;…. (lần lượt nhân 30 với 0, 1, 2, …)

Vậy các bội chung của 6 và 10 nhỏ hơn 160 là: 0; 30; 60; 90; 120; 150.

Bài 3 trang 58 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Ta có, 7 và 13 đều là các số nguyên tố 

Nên 7 và 13 cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

Do đó: BCNN(7, 13) = 7 . 13 = 91. 

b) Ta có: 54 = 2 . 27 = 2 . 3³ 

108 = 4 . 27 = 2² . 3³ 

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 54 và 108 là 2 và 3, tương ứng với các số mũ lớn nhất lần lượt là 2 và 3

Khi đó: BCNN(54, 108) = 2² . 3³ = 4 . 27 = 108.

c) Ta có: 21 = 3 . 7

30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5; 70 = 7. 10 = 7 . 2 . 5

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 21, 30, 70 là 2, 3, 5, 7; chúng đều có số mũ lớn nhất là 1.

Do đó: BCNN(21, 30, 70) = 2 . 3. 5 . 7 = 210. 

Bài 4 trang 58 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Để thực hiện phép tính, trước hết tìm bội chung nhỏ nhất của 48 và 40 để quy đồng mẫu số.

+ Ta có: 48 = 16 . 3 = 2⁴ . 3 

40 = 8 . 5 = 2³ . 5 

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 48 và 40 là 2, 3, 5, tương ứng với các số mũ lớn nhất lần lượt là 4, 1, 1.

Khi đó: BCNN(48, 40) = 2⁴ . 3 .5 = 16 . 3 . 5 = 240.

+ 240 : 48 = 5; 240 : 40 = 6 

$\large \frac{19}{48}=\frac{19.5}{48.5}=\frac{95}{240}$; $\large \frac{3}{40}=\frac{3.6}{40.6}=\frac{18}{240}$

$\large\rightarrow  \frac{19}{48}- \frac{3}{40}= \frac{95}{240}- \frac{18}{240}= \frac{77}{240}$

b) Để thực hiện phép tính, trước hết tìm bội chung nhỏ nhất của 6, 27 và 18 để quy đồng mẫu số.

+ Ta có: 6 = 2 . 3; 27 = 3³; 18 = 2 . 9 = 2 . 3² 

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 6, 27 và 18 là 2; 3, tương ứng với các số mũ lớn nhất là 1; 3. 

Khi đó: BCNN(6, 27, 18) = 2¹. 3³ = 2 . 27 = 54

+ 54 : 6 = 9; 54 : 27 = 2; 54 : 18 = 3

$\large \frac{1}{6}=\frac{1.9}{6.9}=\frac{9}{54}$; $\large \frac{7}{27}=\frac{7.2}{27.2}=\frac{14}{54}$; $\large \frac{5}{18}=\frac{5.3}{18.3}=\frac{15}{54}$

$\large\rightarrow  \frac{1}{6}+ \frac{7}{27}+ \frac{5}{18}= \frac{9}{54}+ \frac{14}{54}+\frac{15}{54}= \frac{38}{54}$

Bài 5 trang 58 sgk toán 6/1 cánh diều

Gọi số cần tìm là x

Ta có: BCNN(x, 5) = 45 

Mà 45 = 5 . 9 = 5 . 3² ; 5 = 5¹ và 5 là số nguyên tố nên x và 5 phải là hai số nguyên tố cùng nhau, mà bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của hai số đó. 

Do đó x = 3² = 9.  

Vậy số cần tìm là 9. 

Bài 6 trang 58 sgk toán 6/1 cánh diều

Gọi a là số học sinh của câu lạc bộ thể thao ($\large a\in \mathbb{N^{*}}$, a ≤ 50)

Vì khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết nên a là bội chung của 5 và 8. 

Ta có: 5 = 5¹; 8 = 2³ 

Do đó: BCNN(5, 8) = 5¹ . 2³ = 5 . 8 = 40

Mà bội chung của 5 và 8 là các bội của BCNN(5, 8) = 40 

Nên BC(5, 8) ={0; 40; 80; 120; …}

Vì a ≤ 50 nên a = 40. 

Vậy câu lạc bộ thể thao đó có 40 học sinh. 

Bài 7 trang 58 sgk toán 6/1 cánh diều

Gọi x là số ngày ít nhất mà ba tàu lại cập cảng cùng nhau. ($\large a\in \mathbb{N^{*}}$)

Vì tàu thứ nhất cứ 10 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 10.

Tàu thứ hai cứ 12 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 12.

Tàu thứ ba cứ 15 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 15.

Do đó x là bội chung của 10, 12 và 15

Mà x là ít nhất nên x là bội chung nhỏ nhất của 10, 12 và 15.

Ta đi tìm BCNN(10, 12, 15)

Ta có: 10 = 2 . 5; 12 = 3 . 4 = 3 . 2²; 15 = 3 . 5

Khi đó: BCNN(10, 12, 15) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60

Hay x = 60 

Vậy sau ít nhất 60 ngày thì ba tàu lại cùng nhau cập cảng. 

 

 

 

Trên đây là bài học về Lý thuyết bội chung và bội chung nhỏ nhất toán 6, qua bài học này, hy vọng các em vận dụng được kiến thức về bội chung để vận dụng giải các bài tập liên quan. Để làm quen với chương trình toán 6, các em có thể tham khảo khóa học DUO của nhà trường VUIHOC, học online cùng các thầy cô và xây dựng lộ trình học cá nhân ngay từ sớm nhé!  

>> Mời bạn tham khảo thêm: 

Dấu hiệu chia hết

Số nguyên tố

Ước chung và ước chung lớn nhất