Lý thuyết định lí Viète toán 9 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 16:56 23/07/2024 948 Tag Lớp 9

Lý thuyết định lí Viète toán 9 chương trình mới, vận dụng định lý Viète để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định lí Viète

- Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a $\neq$ 0) thì:

$\large \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}& \\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}& \end{matrix}\right.$

- Nhận xét:

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a $\neq$ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là $\large x_{2}=\frac{c}{a}$

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a $\neq$ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là $\large x_{2}=-\frac{c}{a}$

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

- Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

x² - Sx + P = 0 (Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P $\geq$ 0)

3. Một số dạng bài tập áp dụng định lý Viète

- Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm dựa vào định lý Viète

Cách giải: Áp dụng hệ thức Viète cho hai nghiệm:

$\large \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}& \\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}& \end{matrix}\right.$

- Dạng 2: Tìm tham số m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Cách giải: Tính biệt thức: $\large \Delta = b^{2}-4ac$ hoặc $\large \Delta '= b'^{2}-ac$ (với b = 2b’) để tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

Áp dụng hệ thức Viète cho hai nghiệm: $\large \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}& \\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}& \end{matrix}\right.$

- Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Cách giải: Để tìm hệ thức giữa các nghiệm x₁; x₂ của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số ta làm như sau:

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x₁; x₂ là $\large \Delta \geq 0$

Áp dụng hệ thức Viète: $\large \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}& \\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}& \end{matrix}\right.$

Biến đổi biểu thức kết quả sao cho không còn chứa tham số.

- Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Cách giải: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x² - Sx + P = 0 (Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P $\geq$ 0)

4. Bài tập về định lí Viète toán 9 chương trình mới

4.1 Bài tập về định lí Viète toán 9 kết nối tri thức

Bài 6.23 trang 24 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

a) x² – 12x + 8 = 0.

Ta có: $\large \Delta$ ’ = (–6)² – 1.8 = 28 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 12; x₁x₂ = 8.

b) 2x² + 11x – 5 =0.

Ta có: $\large \Delta$ = 11² – 4.2.(–5) = 161 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\large x_{1}+x_{2}=-\frac{11}{2}; x_{1}x_{2}=8$

c) 3x² – 10 = 0.

Ta có: $\large \Delta$ ’ = 0² – 3.(–10) = 30 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\large x_{1}+x_{2}=-\frac{0}{3}=0; x_{1}x_{2}=\frac{-10}{3}$

d) x² – x + 3 = 0.

Ta có: $\large \Delta$ = (–1)² – 4.1.3 = –11 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Bài 6.24 trang 24 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

a) Ta có: a + b + c = 2 + (–9) + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁= 1; $\large x_{2}=\frac{7}{2}$ .

b) Ta có: a – b + c = 3 – 11 + 8 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁= –1; $\large x_{2}=\frac{-8}{3}$ .

c) Gọi x₂ là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có: $\large x_{1}x_{2}=\frac{2}{7}$ .

Do đó $\large x_{2}=\frac{2}{7}; x_{1}=\frac{2}{7}:2=\frac{1}{7}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 2 và x₂= 1/7.

Bài 6.25 trang 24 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

a) Vì u + v = 20, uv = 99 nên u và v là hai nghiệm của phương trình x² – 20x + 99 = 0.

Ta có $\large \Delta$ ’ = (–10)² – 1.99 = 1 > 0 và $\large \sqrt{\Delta '}=1$

=> phương trình có hai nghiệm: $\large x_{1}=\frac{10+1}{1}=11; x_{2}=\frac{10-1}{1}=9$ .

Vậy u = 11; v = 9 hoặc u = 9; v = 11.

b) Vì u + v = 2, uv = 15 nên u và v là hai nghiệm của phương trình x² – 2x + 15 = 0.

Ta có $\large \Delta$ ’ = (–1)² – 1.15 = –14 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

Vậy không có số u và v nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 6.26 trang 24 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

$\large \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}& \\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=-a(x_{1}+x_{2}) & \\ c=ax_{1}x_{2}& \end{matrix}\right.$

=> ax² + bx + c = ax² – a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂

= ax² – ax₁x – ax₂x + ax₁x₂

= ax(x – x₁) – ax₂(x – x₁)

= a(x – x₁)(x – x₂). (điều phải chứng minh)

a) x² + 11x + 18.

Phương trình x² + 11x + 18 = 0 có $\large \Delta$ = 11² – 4.1.18 = 49 > 0 và $\large \sqrt{\Delta }=7$ .

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$\large x_{1}=\frac{-11+7}{2.1}=-2; x_{2}=\frac{-11-7}{2.1}=-9$

Vậy đa thức x² + 11x + 18 phân tích được thành nhân tử như sau:

x² + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9).

b) 3x² + 5x – 2.

Phương trình 3x² + 5x – 2 = 0 có $\large \Delta$ = 5² – 4.3.(–2) = 49 > 0 và $\large \sqrt{\Delta }=7$ .

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$\large x_{1}=\frac{-5+7}{2.3}=\frac{1}{3}; x_{2}=\frac{-5-7}{2.3}=-2$

Vậy đa thức 3x² + 5x – 2 phân tích được thành nhân tử như sau:

$\large 3x^{2}+5x-2=3\left ( x-\frac{1}{3} \right )(x+2)$

Bài 6.27 trang 24 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Gọi hai kích thước của bể bơi hình chữ nhật là x₁; x₂ (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích bể bơi hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, bể bơi hình chữ nhật có chu vi 74 m nên nửa chu vi bể bơi hình chữ nhật là 74 : 2 = 37 (m), do đó x₁ + x₂ = 37.

Diện tích bể bơi hình chữ nhật là 300 m², do đó x₁x₂ = 300.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 37x + 300 = 0.

Ta có $\large \Delta$ = (–37)² – 4.1.300 = 169 > 0 và $\large \sqrt{\Delta }=\sqrt{169}=13$ .

Suy ra phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:

$\large x_{1}=\frac{37+13}{2.1}=25; x_{2}=\frac{37-13}{2.1}=12$

Vậy chiều dài và chiều rộng của bể bơi lần lượt là 25m và 12m (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Khóa học trực tuyến ôn thi vào 10 mới nhất của nhà trường VUIHOC giúp các em vững bước vào 10. Đăng ký ngay để nhận tài liệu ôn thi được biên soạn bởi thầy cô đến từ trường chuyên TOP 5 toàn quốc.

4.2 Bài tập về định lí Viète toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 21 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Ta có $\large \Delta$ = (−9)² – 4 . 3 . 5 = 21 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\large x_{1}+x_{2}=\frac{9}{3}=3; x_{1}.x_{2}=\frac{5}{3}$

b) Ta có $\large \Delta$ = (−20)² – 4 . 25 . 4 = 0 nên phương trình có nghiệm kép x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\large x_{1}+x_{2}=\frac{-20}{25}=\frac{-4}{5}$ ; $\large x_{1}x_{2}=\frac{4}{25}$

c) Ta có $\large \Delta$ = (−9)² – 4 . 5 . 15 = –219 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Ta có $\large \Delta =(-2\sqrt{3})^{2}-4.5.(-3)=72>0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\large x_{1}+x_{2}=\frac{x\sqrt{3}}{5}=3; x_{1}.x_{2}=\frac{-3}{5}$

Bài 2 trang 21 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Phương trình 24x² – 19x – 5 = 0 có a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $\large x_{1}=1; x_{2}=-\frac{5}{24}$ .

b) Phương trình 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0 có a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $\large x_{1}=-1; x_{2}=-\frac{47}{25}$ .

c) Phương trình $\large \frac{3}{x}x^{2}+5x+\frac{7}{2}=0$ có $\large a-b+c=\frac{3}{2}-5+\frac{7}{2}=0$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = −1; $\large x_{2}=-\frac{7}{3}$ .

d) Phương trình $\large 2x^{2}-(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}=0$ có a + b + c = 2 - (2 + $\large \sqrt{3}$ ) + $\large \sqrt{3}$ =0 .

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1; $\large x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Bài 3 trang 21 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Điều kiện để có hai số đó là: S²− 4P ≥ 0 suy ra 29² – 4 . 154 = 225 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² − 29x + 154 = 0.

Ta có $\large \Delta$ = 29² -4.1.154 = 225 > 0 => $\large \sqrt{\Delta }=\sqrt{225}=15$ .

$\large \Rightarrow u=\frac{29+15}{2}=22; v=\frac{29-15}{2}=17$

Vậy hai số cần tìm là 22 và 7.

b) Điều kiện để có hai số đó là: S²− 4P ≥ 0 => (–6)² – 4 . (–135) = 576 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² + 6x –135 = 0.

Ta có $\large \Delta '=3^{2}-1.(-135)=144> 0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{144=12}$ .

$\large \Rightarrow u=\frac{-3+12}{1}=9; v=\frac{-3-12}{1}=-15$

Vậy hai số cần tìm là 9 và –15 .

c) Điều kiện để có hai số đó là: S²− 4P ≥ 0 mà 5² – 4 . 24 = –71 < 0.

Vậy không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

Bài 4 trang 21 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Phương trình x² – 19x – 5 = 0 có $\large \Delta$ = (–19)² – 4 . 1 . (–5) = 381 > 0 nên nó có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $\large x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=19; x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=-5$

Bài 5 trang 21 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Gọi x₁, x₂ (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x₁, x₂ < 116).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là: $\large \frac{116}{2}=58(m)$ hay x₁+ x₂= 58.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 805 m² hay x₁. x₂= 805.

Khi đó, x₁, x₂là nghiệm của phương trình x² − 58x + 805 = 0

Ta có $\large \Delta '=(-29)^{2}-14.805=36; \sqrt{\Delta '}=\sqrt{36}=6$

$\large \Rightarrow x_{1}=\frac{29+6}{1}=35; x_{2}=\frac{29-6}{1}=23(tm)$

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m và chiều rộng là 23 m.

4.3 Bài tập về định lí Viète toán 9 cánh diều

Bài 1 trang 64 sgk toán 9/2 cánh diều

Đáp án đúng là D: Theo định lý Viète ta có: $\large \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}& \\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}& \end{matrix}\right.$

Bài 2 trang 64 sgk toán 9/2 cánh diều

Các phát biểu đúng là: a), c) và các phát biểu sai là: b), d).

Bài 3 trang 64 sgk toán 9/2 cánh diều

Theo định lí Viète, ta có: $\large x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ .

Mà ac < 0 nên a và c là hai số trái dấu.

Lại có a ≠ 0 $\large \Rightarrow \frac{c}{a}<0 (x_{1}.x_{2}<0)$

Do đó x₁, x₂ là hai số trái dấu nhau.

Vậy nếu ac < 0 thì phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm là hai số trái dấu nhau.

Bài 4 trang 64 sgk toán 9/2 cánh diều

Xét phương trình: 2x² – 3x – 6 = 0.

a) Phương trình có các hệ số a = 2, b = –3, c = –6.

Ta có: $\large \Delta$ = (–3)² – 4.2.(–6) = 57 > 0.

Do $\large \Delta$ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Bài 5 trang 65 sgk toán 9/2 cánh diều

a) 3x² – x – 2 = 0

Phương trình có các hệ số a = 3, b = –1, c = –2.

Ta thấy: a + b + c = 3 + (–1) + (–2) = 0.

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = 1 và x2=−23.????2=−23.

b) –4x² + x + 5 = 0

Phương trình có các hệ số a = –4, b = 1, c = 5.

Ta thấy: a – b + c = (–4) – 1 + 5 = 0.

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = –1 và $\large x_{2}=\frac{-5}{2\sqrt{3}}=\frac{-5\sqrt{3}}{6}$

Bài 6 trang 65 sgk toán 9/2 cánh diều

a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² – 7x + 12 = 0.

Phương trình có các hệ số a = 1, b = –7, c = 12,

$\large \Delta$ = (–7)² – 4.1.12 = 1 > 0.

Do $\large \Delta$ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là :

$\large x_{1}=\frac{-(-7)+\sqrt{1}}{2.1}=4; x_{2}=\frac{-(-7)-\sqrt{1}}{2.1}=3$

Vậy hai số cần tìm là 4 và 3.

b) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² – x – 6 = 0.

Phương trình có các hệ số a = 1, b = –1, c = –6,

$\large \Delta$ = (–1)² – 4.1.(–6) = 25 > 0.

Do $\large \Delta$ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$\large x_{1}=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2.1}=3; x_{2}=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2.1}=-2$

Vậy hai số cần tìm là 3 và –2.

Bài 7 trang 65 sgk toán 9/2 cánh diều

Gọi hai kích thước của cửa sổ hình chữ nhật là x₁; x₂ (m) (x₁ > 0, x₂ > 0).

Ta có nửa chu vi và diện tích cửa sổ hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, cửa sổ dạng hình chữ nhật có chu vi là 6,4 m nên nửa chu vi của cửa sổ là 6,4 : 2 = 3,2 (m), do đó x₁ + x₂ = 3,2.

Diện tích cửa sổ hình chữ nhật là 2,52 m², do đó x₁x₂ = 2,52.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 3,2x + 2,52 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –3,2, c = 2,52.

Do b = –3,2 nên b’ = –1,6.

Ta có: $\large \Delta$ ’ = (–1,6)² – 1.2,52 = 0,04 > 0.

Do $\large \Delta$ ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$\large x_{1}=\frac{-(-1,6)+\sqrt{0,04}}{1}=1,6+0,2=1,8$

$\large x_{2}=\frac{-(-1,6)-\sqrt{0,04}}{1}=1,6-0,2=1,4$

Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện lớn hơn 0.

Vậy chiều dài và chiều rộng của cửa sổ đó lần lượt là 1,8 (m) và 1,4 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là bài học Lý thuyết định lí Viète toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: