Hàm số mũ và logarit - đầy đủ lý thuyết, chi tiết bài tập

Trước khi đi vào cụ thể các phần hàm mũ và hàm logarit, các em đọc bảng dưới đây để nắm được những nhận định chung của các thầy cô chuyên môn VUIHOC về phần kiến thức hàm số mũ và logarit này:

Chi tiết hơn về hàm số mũ và hàm số logarit, VUIHOC gửi tặng các em học sinh file tổng hợp đầy đủ và chi tiết lý thuyết chuyên đề hàm số mũ và logarit trong chương trình THPT. Các em nhớ tải về để tiện trong việc ôn tập toán 12 hàm số mũ và logarit nhé!

Tải xuống file đầy đủ lý thuyết về hàm số mũ và logarit

1. Ôn tập lý thuyết về hàm số mũ và logarit

Định nghĩa là gốc rễ để giải mọi vấn đề, tính chất và định lý nâng cao sau này của hàm số mũ và logarit. Vì vậy trước khi ôn tập lý thuyết về hàm mũ và hàm logarit, chúng ta cần hiểu về từng định nghĩa căn bản của từng dạng hàm số. 

1.1. Tổng hợp lý thuyết hàm số mũ

1.1.1 Định nghĩa của hàm số mũ

Theo kiến thức THPT đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số $a$.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,...

1.1.2. Đạo hàm và tính chất

Ta có công thức đạo hàm của hàm số mũ như sau:

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

Chúng ta cùng xét hàm số mũ dạng tổng quát $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$ có tính chất sau:

1.1.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dạng tổng quát như sau:

Xét hàm số mũ $y=a^x$ (a > 0; a ≠ 1).

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

• Tập giá trị: T = (0; +∞).

• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0<a<1$ hàm số nghịch biến.

Khảo sát đồ thị:

   + Đi qua điểm $(0;1)$

   + Nằm phía trên trục hoành.

   +Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

• Hình dạng đồ thị:

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như $y=(\frac{1}{2})^x$, $y=10^x$, $y=e^x$, $y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

1.2. Tổng hợp lý thuyết về hàm số logarit

1.2.1. Định nghĩa

Vì đều có “xuất thân” từ hàm số, cho nên hàm mũ và hàm logarit có những nét tương đồng nhau trong định nghĩa. Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$,$x>0$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$. 

1.2.2. Đạo hàm và tính chất

Cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au(x)$. Đạo hàm hàm số logarit là:

1.2.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số logarit

Xét hàm số logarit $y=log_ax$(a > 0; a ≠ 1), ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước sau:

• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: .
• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0<a<1$ hàm số nghịch biến.
• Khảo sát hàm số:

   + Đi qua điểm (1; 0).

   + Nằm ở bên phải trục tung.

   + Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

• Hình dạng đồ thị:

2. Các dạng bài tập hàm số mũ và logarit

Đây là phần quan trọng nhất của bài viết về hàm mũ và hàm logarit. VUIHOC đã tổng hợp cho các em tất cả các dạng bài tập cơ bản và thường gặp nhất của hàm mũ và hàm logarit. Ở mỗi dạng sẽ có ví dụ minh hoạ kèm giải chi tiết để các em tham khảo.

2.1. Tổng hợp các dạng bài tập hàm số mũ

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại

Đây là dạng cơ bản và rất dễ xuất hiện trong các câu trắc nghiệm đề thi đại học hoặc trong chương trình toán 12 hàm số mũ và logarit. Để làm được các bài tập hàm số mũ có đồ thị cho trước, ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận

Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây để hiểu rõ hơn về dạng bài tập hàm số mũ này:

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị

Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn 1

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1

Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số mũ

Đối với dạng bài tính đạo hàm của các hàm số mũ trong chuyên đề toán 12 hàm số mũ và logarit, ta cần nắm vững các công thức đạo hàm của tổng hiệu tích thương để áp dụng giải bài toán. Cụ thể, các em thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

Bước 3: Tính toán và kết luận.

Ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau:

Dạng 4: Tính giới hạn hàm số mũ

Ở dạng này, các em áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

Cách làm cụ thể được minh hoạ ở ví dụ sau:

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn

Đây là dạng toán thuộc chuyên đề hàm số mũ và logarit thường xuất hiện trong các câu hỏi phương trình hàm số mũ, bất phương trình hàm số mũ vận dụng - vận dụng cao của các đề thi. Để làm được các bài tập hàm số mũ dạng này, các em cần thực hiện lần lượt theo 3 bước sau đây:

Bước 1: tính y’, tìm các nghiệm $x_1$, $x_2$,... $x_n$ thuộc $[a;b]$ của phương trình $y’=0$.

Bước 2: Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$,... $f(x_n)$.

Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số

• GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

• GTLN M là số lớn nhất trong các giá trị tính được.

Cụ thể hơn về dạng bài tập hàm số mũ này, ta xét ví dụ sau:

2.2. Các dạng bài tập hàm số logarit thuộc chuyên đề hàm số mũ và logarit

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số logarit

Đây là dạng rất cơ bản trong bài tập hàm số logarit. Khi tiến hành giải, các em dựa vào 2 quy tắc sau:

+ Hàm số $y=a^x$ cần điều kiện: a là số thực dương và a khác 1.

+ Hàm số $y=log_ax$ cần điều kiện: Số thực a dương và khác 1, $x>0$.

Ví dụ minh hoạ:

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số logarit

Ở dạng này, chúng ta vận dụng những công thức đạo hàm, đạo hàm logarit để tiến hành biến đổi. Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ về 1 cách biến đổi tìm đạo hàm logarit sau:

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát đồ thị hàm logarit

Đây là bước nâng cao hơn của các bài tập dạng 2, nghĩa là sau khi tìm đạo hàm bài toán sẽ yêu cầu thêm các em một bước nữa đó là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Ở đây, chúng ta áp dụng những kiến thức về cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… để giải bài toán. 

Để rõ hơn, ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây:

Dạng 4: Cực trị hàm số logarit và min - max nhiều biến

Đây là dạng toán ở mức độ vận dụng - vận dụng cao. Để giải được các bài tập dạng này, các em cần vận dụng tốt các công thức biến đổi và nắm chắc các tính chất của hàm số logarit. 

Cùng VUIHOC xét 2 ví dụ sau đây để hiểu cách làm dạng toán cực trị và min max này nhé!

3. Bài tập áp dụng hàm số mũ và logarit

Để vận dụng tốt hàm mũ logarit hơn cũng như rút ngắn thời gian suy nghĩ hay nhận diện đề bài, chỉ có một cách duy nhất là các em cần luyện tập thật nhiều để quen tay quen mắt. VUIHOC đã biên soạn và tổng hợp riêng cho em bộ tài liệu tổng hợp bài tập hàm số mũ và logarit kèm giải chi tiết cực đầy đủ tất cả các dạng trong chương trình học cũng như đề thi. Các em nhớ tải về để luyện tập hằng ngày nhé!

 Tải xuống file bài tập hàm số mũ và logarit kèm giải chi tiết

Ngoài ra, các em hoàn toàn có thể tham khảo những cách giải hay, tips chọn đáp án chuẩn từ thầy Thành Đức Trung - giáo viên Toán chuyên ôn thi đại học điểm 8+ của nhà VUIHOC. Thầy đã có buổi livestream giải bài tập toán 12 hàm số mũ và logarit cực hữu ích tại video dưới đây, các em nhớ xem để học những cách giải hay ho của thầy nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Bài viết đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết hàm mũ logarit và bài tập chi tiết về phần kiến thức hàm số mũ và logarit. Chúc các em luôn đạt điểm cao và học tốt nhé!