Lý thuyết về vi phân - Toán 11

Tác giả Minh Châu 10:51 06/12/2023 12,103 Tag Lớp 11

Vi phân là khái niệm được xây dựng trên nền tảng đạo hàm áp dụng giải các bài toán liên quan đến nguyên hàm hay tích phân. Bài học hôm nay VUIHOC sẽ cung cấp cho các em định nghĩa vi phân, ứng dụng và các dạng bài tập vận dụng kiến thức này. Mời các em cùng theo dõi nhé!

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định nghĩa vi phân

1.1 Định nghĩa:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x $\large \in$ (a;b)

- Giả sử $\large \Delta$ x là số gia của x sao cho x + $\large \Delta$ x $\large \in$ (a;b)

- Ta gọi f'(x). $\large \Delta$ x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia $\large \Delta$ x và kí hiệu là dy hoặc df(x)

dy = df(x) = f'(x). $\large \Delta$ x

1.2 Chú ý:

- Nếu y = x thì ta sẽ có:

dx = dy = x'. $\large \Delta$ x = 1. $\large \Delta$ x = $\large \Delta$ x

- Vì vậy với mọi hàm số y = f(x), ta có dy = df(x) = f'(x). $\large \Delta$ x = f'(x).dx

2. Ứng dụng của vi phân

- Ứng dụng của vi phân vào phép toán gần đúng:

f(x_o + $\large \Delta$ x) $\large \approx$ f(x_o) + f'(x_o). $\large \Delta$ x

Nắm trọn kiến thức môn Toán 11 cùng khóa học DUO 11 độc quyền của VUIHOC bạn nhé!

3. Các dạng bài tập vi phân

3.1 Dạng toán tìm vi phân của hàm số y = f(x)

a. Phương pháp

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)
Bước 2: Tính vi phân của hàm số y = f(x) tại x là df(x) = f'(x)dx
Bước 3: Tính vi phân của hàm số y = f(x) tại x_o là df(x_o) = f'(x_o)dx

b. Vận dụng

Tìm vi phân của các hàm số sau:

f(x) = sinx -xcosx
y = x³ +2x²
$\large y = \sqrt{3x+2}$
$\large y=\frac{x+3}{1-2x}$ Tìm vi phân của hàm số tại x =-3
y = x³ - 2x² + 2. Tinh vi phân của hàm số tại điểm x_o = 1 ứng với gia số $\large \Delta$ x bằng 0.02
y = f(x) = (x -1)²
y = tan²x

Lời giải:

f'(x) = cosx - (cosx - xsinx) = xsinx nên df(x) = xsinx
Ta có f'(x) = 3x² + 4x => dy = (3x² + 4x)dx
$\large f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x+2}}.(3x+2)'=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$ $\large => dy = \frac{3}{2\sqrt{3x+2}}dx$
$\large y'=\frac{(x+3)'.(1-2x)-(x+3).(1-2x)'}{(1-2x)^{2}}$ $\large =\frac{1(1-2x)-(x+3)(-2)}{(1-2x)^{2}}=\frac{7}{(1-2x)^{2}}$
=> y'(-3) = 1/7 => dy = 1/7dx
Ta có y' = 3x² -4x => df(1) = f'(1). $\large \Delta$ x = (3.1² -4.1). 0,02 = -0.02
f'(x) = 2(x - 1)(x - 1)' = 2(x - 1) => dy = f'(x)dx = 2(x - 1).dx
y' = 2tanx(tanx)' = 2tan. 1/cos²x => dy = d(tan²x) = y'dx = 2tan. 1/cos²xdx

3.2 Dạng bài tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

a. Phương pháp

Bước 1: Lập hàm số y = f(x) và chọn x_o, $\large \Delta$ x thích hợp
Bước 2: Tính đạo hàm f'(x), f'(x_o) và f(x_o)
Bước 3: Tính giá trị gần đúng của biểu thức: P = f(x_o + $\large \Delta$ x) $\large \approx$ f(x_o) + f'(x_o). $\large \Delta$ x

Tham khảo ngay bộ sách tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi bài tập toán trong đề thi Toán THPT Quốc Gia

b. Vận dụng

Tính giá trị gần đúng của các hàm số sau:

$\large \sqrt{4,01}$
sin46^o
$\large \sqrt{16,25}$

Lời giải:

Đặt f(x) = $\large \sqrt{x}$ . Chọn x_o = 4 và $\large \Delta$ x = 0,01. Khi đó 4,01 = 4 + 0,01 = x_o + $\large \Delta$ x $\large f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} => f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$
=> f(4) = 2 => $\large \sqrt{4,01} = f(4+0,01)\approx f(4)+f'(4).0,01=2,0025$
Ta có:
Ta có $\large \sqrt{16,25} = \sqrt{16 + 0,25}$
Xét hàm số f(x) = $\large \sqrt{x} => f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\large => x_{o} = 16 ; \Delta x=0.25$
Ta có: $\large f(x_{o}+\Delta x) \approx f(x_{o}) + f'(x_{o}).\Delta x$
$\large => \sqrt{16+0,25}\approx \sqrt{16}+\frac{1}{2\sqrt{16}}.0,25=4,03125$
$\large => \sqrt{16,25}\approx 4,03125$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức về vi phân và các dạng bài tập vận dụng lý thuyết này. Hy vọng qua bài học này, VUIHOC tin rằng các em có thể vận dụng để giải các dạng bài tập liên quan đến vi phân, đạo hàm trong chương trình toán 11. Để học thêm nhiều bài học bổ ích khác, các em hãy truy cập vào trang web vuihoc.vn hàng ngày nhé!

>> Mời các bạn tham khảo thêm: