Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Tác giả Nhã Lân 10:45 06/12/2023 134,314

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là một dạng bài rất phổ biến trong chương trình Toán 11. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu về kiến thức và các phương pháp tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng thông qua bài viết dưới đây.

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho một điểm M và một mặt phẳng (P) bất kì. Ta có khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa 2 điểm M và H với H là hình chiếu của M đến mặt phẳng (P).

Ký hiệu: d(M,(P)) = MH

Công thức tính khoảng cách điểm đến mặt phẳng trong không gian tọa độ

Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho điểm M có tọa độ như sau: (α; β; γ). Cho mặt phẳng (P) có phương trình dạng ax + by + cz + d = 0. Công thức tổng quát tính khoảng cách từ điểm m đến mặt phẳng (P) được tính như sau:

$\small d(M,(P)) = \frac{|a\alpha + b\beta + c\gamma + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Các phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Phương pháp số 1: Dựa vào định nghĩa

Theo đúng như định nghĩa, để tính được khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) chúng ta sẽ tìm hình chiếu của M trên mặt phẳng (ta gọi là điểm H) rồi tính độ dài MH dựa trên công thức tính khoảng cách

Phương pháp số 2: Tính khoảng cách gián tiếp

Ta tìm một điểm H’ sao cho đường thẳng đi qua M và H’ song song với mặt phẳng P. Vậy từ đó ta có thể suy ra được khoảng cách từ M đến mặt phẳng P bằng khoảng cách từ H’ đến P

d(M, (P)) = d(H’, (P))

Phương pháp số 3: Sử dụng tam giác đồng dạng

Tìm 1 điểm O xác định, ta tìm giao điểm của OA với mặt phẳng (P) là I. Vậy ta tính khoảng cách từ d(O,(alpha))/d(A,(alpha)) = OI/AI (dựa theo định lý Ta-lét)

Với 3 phương pháp đã liệt kê ở trên, các em học sinh hoàn toàn có thể dễ dàng tính được khoảng cách từ điểm bất kì nào đó tới một mặt phẳng cho trước. Về cơ bản, đối với các bài tập của dạng này, các em sẽ phải đưa bài toán về dạng tìm khoảng cách từ điểm đó với hình chiếu của nó trên mặt phẳng hoặc sử dụng định lý Talet, tam giác đồng dạng để tính khoảng cách.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm đạt 27+

Sơ đồ tư duy khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Bài tập luyện tập tính khoảng cách từ một điểm tới 1 mặt phẳng

Bài tập 1

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với đáy là một tam giác vuông cân ABC với BC = BA = a, độ dài cạnh bên AA’ có kích thước là a√2. Gọi trung điểm của đoạn thẳng BC là M, hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM với B’C’.

Hướng dẫn giải

Gọi trung điểm của cạnh bên BB’ là N. Lúc này đoạn thẳng MN là đường trung bình của tam giác BB’C.

Suy ra: B’C song song MN => B'C song song với mặt phẳng (AMN)

Vậy ta có khoảng cách từ B'C đến mặt đến AM là d(B’C; AM) = d(B’C; (AMN)) = d(B’; (AMN))

Mà BB' giao với mặt phẳng (AMN) tại điểm N, mà N là trung điểm của BB’.

Suy ra: d(B’; (AMN)) = d(B; (AMN))

Ta có: Hình chóp A.BMN có BA, BM và BN có một góc vuông

$\small \Rightarrow \frac{1}{d^{2}(B;(AMN))} = \frac{1}{BA^{2}} + \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{BN^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}}$

$\small \Rightarrow d(B;(AMN)) = a\frac{\sqrt{7}}{7}$

Bài tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhất ABCD, biết độ dài cạnh AD = 2a và vuông góc với đáy, cạnh SA có độ dài là a. Hãy tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD)?

Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng (SAD) ta kẻ đường thẳng AH vuông góc với đoạn thẳng SD (với điểm H nằm trên đoạn thẳng SD)

Vì CD vuông góc AD và CD vuông góc SA.

Suy ra: SA vuông góc với mặt phẳng (SAD)

=> CD ⊥ AH

Vì AH vuông góc SD và AH vuông góc CD

Suy ra: AH vuông góc với mặt phẳng (SCD)

$\small \Rightarrow d(A; (SCD)) = AH = \frac{SA.AD}{\sqrt{SA^{2} + AD^{2}}} = \frac{a.2a}{\sqrt{a^{2} + 4a^{2}}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$

Tham khảo ngay bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC tổng ôn kiến thức và nắm trọn phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia

Bài tập 3

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC tại B. Biết rằng độ dài các cạnh BA là a, BC là 2a và cạnh SA có độ dài là 2a, đồng thời cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi điểm K là hình chiếu của A lên đường thẳng SC. Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB)?

Hướng dẫn giải

Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) => SA ⊥ BC (1)

Ta có tam giác ABC có góc vuông tại B => BC ⊥ AB (2)

Từ (1) và (2) => BC song song với mặt phẳng (SAB)

Trong mặt phẳng (SBC), ta kẻ một đường thẳng KH song song với cạnh BC (với điểm H nằm trên cạnh SB)

=> KH vuông góc với mặt phẳng (SAB)

Suy ra: ta có khoảng cách từ điểm K tới mặt phẳng (SAB) là: d(K; (SAB)) = KH

Ta có:

$\small AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4a^{2}} = a\sqrt{5}$

Tương tự như trên ta có:

$\small SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = \sqrt{4a^{2} + 5a^{2}} = 3a$

$\small SA^{2} = SK . SC \Rightarrow SK = \frac{SA^{2}}{SC} = \frac{4a^{2}}{3a} = \frac{4a}{3}$

Do KH song song BC

$\small \Rightarrow \frac{KH}{BC} = \frac{SK}{SC}$

=> KH = SK.BC/SC = $\small \frac{\frac{4}{3}a.2a}{3a} = \frac{8a}{9}$

Vậy khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB) là $\small \frac{8a}{9}$

Bài tập 4

Cho một hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông ABCD có cạnh là a. Biết rằng tam giác SAB là một tam giác đều và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi 2 điểm I và F lần lượt là trung điểm của AB và AD, hãy tính khoảng cách từ điểm I tới mặt phẳng SFC?

Hướng dẫn giải

Gọi điểm K là điểm giao nhau của 2 đoạn thẳng ID và FC

Kẻ đoạn thẳng IH vuông góc với SK (với điểm H nằm trên đoạn thẳng SK) (*)

Ta có: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB) giao với mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng AB và SI ⊂ (SAB)

Suy ra:

SI ⊥ (ABCD) => SI ⊥ FC (1)

Bên cạnh đó, ta xét 2 tam giác vuông AID và DFC có:

AI = DF và AD = DC

=> Δ AID = Δ DFC

=> ta có:

$\small \widehat{AID} = \widehat{DFC}$

và $\small \widehat{ADI} = \widehat{DCF}$

Mà $\small \widehat{AID} + \widehat{ADI} = 90^{o} \Rightarrow \widehat{DFC} + \widehat{ADI} = 90^{o}$

=> FC vuông góc với ID (2)

Từ (1) và (2) ta có: FC vuông góc với mặt phẳng (SID)

=> IH ⊥ FC (**)

Từ (*) và (**) => IH vuông góc với mặt phẳng (SFC)

Vậy khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SFC) là d(I, (SFC)) = IH

Ta có SI = $\small \frac{a\sqrt{3}}{2}$ và ID = $\small \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$\small \frac{1}{DK} = \frac{1}{DC^{2}} + \frac{1}{DF^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$

=> DK = $\small \frac{a\sqrt{5}}{5}$ => IK = ID - DK = $\small \frac{3a\sqrt{5}}{10}$

Do đó ta có: 1/IH2 = 1/SI2 + 1/IK2 = 32/9a2 => IH = 3a√2/8

$\small \frac{1}{IH^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} + \frac{1}{IK^{2}} = \frac{32}{9a^{2}}$

$\small \Rightarrow IH = \frac{3a\sqrt{2}}{8}$

Vậy khoảng cách từ điểm I tới mặt phảng SFC là: d(I, (SFC)) = IH = $\small \frac{3a\sqrt{2}}{8}$

Bài tập 5

Cho một hình chóp S.ABCD có đáy là một hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, biết rằng độ dài cạnh AD = AB = a và độ dài cạnh CD = 2a, SD = a. T có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a, Tính d(D,(SBC))

b, Tính Tính d(A,(SBC))

Hướng dẫn giải

Gọi trung điểm của cạnh CD là điểm M

Gọi giao diện của 2 đường thẳng BC và AD là điểm E

a, Kẻ đoạn thẳng DH vuông góc với SB thuộc mặt phẳng (SBD) với điểm H nằm trên cạnh SB (*)

Do BM = AD = $\small \frac{1}{2}$ CD => Tam giác ∆ BCD vuông tại B => BC vuông góc BD (1)

Mặt khác, vì SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD) => SD ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) => DH vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Suy ra: khoảng cách từ điểm D với mặt phẳng (SBS) là: d(D, (SBC)) = DH

Xét tam giác SBD vuông tại đỉnh D

=> $\small \frac{1}{DH^{2}} = \frac{1}{SD^{2}} + \frac{1}{BD^{2}} = \frac{3}{2a^{2}}$

=> DH = $\small \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBC là d(D, (SBC)) = DH = $\small \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

b, Ta có: d(S, (SBC))/d(D, (SBC)) = AE/DE = AB/CD = $\small \frac{1}{2}$

=> d(A, (SBC)) = $\small \frac{1}{2}$ d(D, (SBC)) = $\small \frac{a\sqrt{3}}{2}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức cũng như các phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong chương trình toán 11. Để tìm hiểu thêm về kiến thức của các môn học khác, các em học sinh có thể truy cập vuihoc.vn. Chúc các em đạt kết quả tốt trong các kỳ thi trong tương lai.

Bài viết tham khảo thêm:

Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 môn toán Kết nối tri thức, chân trời sáng tạo, cánh diều

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 10 môn toán Kết nối tri thức, chân trời sáng tạo, cánh diều

Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 11 môn văn chi tiết

Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 10 môn văn chi tiết