Trong Không Gian Với Hệ Tọa Độ Oxyz Cho 3 Điểm - Toán Lớp 12
Các bài toán trong không gian với hệ tọa độ oxyz là một phần vận dụng kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán lớp 12. Để nắm chắc nội dung phần này, các em cần nhớ công thức, cách giải và hơn hết là làm thật nhiều bài tập. Các em hãy cùng VUIHOC ôn tập lại kiến thức này để tự tin bước vào kỳ thi sắp tới nhé!
Câu 1
Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;0) trong không gian với hệ tọa độ oxyz. a, Hãy chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác; b, Tính diện tích tam giác ABC.
Bài giải:
a, Ta có: $\overline{AB}= (-1; 0; 1) ;\overline{AC}= (1; 1; 0)$
Suy ra:
Vậy 2 vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
Vậy A, B, C không thẳng hàng => ABC tạo thành một tam giác.
b, Diện tích tam giác ABC là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AB};\overline{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}.\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy A, B, C tạo thành một tam giác có diện tích là $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Câu 2
Cho 3 điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3) và C(4;2;5) trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho |MA +MB + MC| có giá trị nhỏ nhất?
Bài giải:
Theo bài ra ta có:
$\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right | =\left | \overline{MG}+\overline{GA}+\overline{MG}+\overline{GB}+\overline{MG}+\overline{GC} \right |=\left | 3\overline{MG}+\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC} \right |$
Đầu tiên ta xác định tọa độ điểm G sao cho: $\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}=\overline{0}$
hay nói cách khác G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
G = $\left (\frac{0+2+4}{3};\frac{-3+4+2}{3};\frac{7-3+5}{3} \right )$ => Tọa độ điểm G (2; 1; 3)
Từ đó: $\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right | = \left | 3\overline{MG} \right | = 3.MG$
$\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right |$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên M là hình chiếu của G lên (Oxy)
=> M(2;1;0)
Vậy tọa độ điểm M(2;1;0) thì $\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right |$ có giá trị nhỏ nhất.
Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và hướng dẫn phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc Gia độc quyền của VUIHOC ngay
Câu 3:
Cho ba điểm A(1;0;1), B(1;2;1), C(4;1;-2) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, và mặt phẳng P : x + y + z = 0. Trong các điểm (1;1;-1), (1;1;1) , (1;2;-1) , (1;0;-1), điểm nào là điểm M trên (P) thỏa mãn $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
G=$\left ( \frac{1+1+4}{3};\frac{0+2+1}{3};\frac{1+1-2}{3}\right )$ => G(2;1;0)
T = $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$
T = $(\overline{MG}+\overline{GA})^{2}+(\overline{MG}+\overline{GB})^{2}+(\overline{MG}+\overline{GC})^{2}$
T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+2\overline{MG}(\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC})$
T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+2\overline{MG}.\overline{0}$
T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$
Do $GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$ cố định nên $T_{min}$ khi $MG_{min}$.
=> Mà M thuộc (P) nên M là hình chiếu vuông góc của G lên (P)
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc (P) => Phương trình đường thẳng d là:
M là giao điểm của d và (P) nên thỏa mãn: 2 + t +1 + t +t = 0 ⇔ t = -1
=> M (1; 0; -1)
Câu 4
Cho ba điểm A(-2;3;1), B(2;1;0) và C(-3;-1;1) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S_{ABCD}=3S_{\Delta ABC}$.
Bài giải:
Vì tứ giác ABCD là hình thang
=> AD//BC => $\overline{u}_{AD} = \overline{u}_{BC} = (-5; -2; 1)$
=> Phương trình đường thẳng AD là :
=$\frac{x+2}{-5}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-1}{1}$
=> D(-5t - 2; -2t + 3; t + 1)
Ta có:
$S_{ABCD}$ = 3S_{ABCD} ⇔ S_{ABC} + S_{ACD} = 3S_{ABC}$
⇔ $S_{ACD} = 2S_{ABC}$
Mà diện tích tam giác ABC là:
$S_{ABC} = =\frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AB}; \overline{AC}\right ] \right |=\frac{\sqrt{341}}{2} => S_{ACD}=\sqrt{341}$
Hay nói cách khác:
$S_{ACD} = \frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AD};\overline{AC} \right ] \right |=\sqrt{341}$
=> $\frac{1}{2}\sqrt{341t^{2}}=\sqrt{341}$
Do ABCD là hình thang => D(-12; -1; 3)
Câu 5
Cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(-2;1;4) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz và mặt phẳng (P): x-y+z+2=0. Biết điểm N ∊ (P). Trong các điểm (-2;0;1), $(\frac{4}{3}; 3;\frac{3}{2})$, $(\frac{1}{2}; 2; 1)$, (-1; 2;1), điểm nào là tọa độ điểm N sao cho S = $2NA^{2}+NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi M(a; b; c) thỏa mãn đẳng thức vectơ $2\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} = 0$
⇔ 2(1-a;1-b;1-c) + (0-a; 1-b; 2-c) + (-2-a; 1-b; 4-c) = 0
⇔ (-4a;4-4b;8-4c) = 0
Khi đó:
S = $2NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}=2\overline{NA}^{2}+\overline{NB}^{2}+\overline{NC}^{2}$
= $2\left ( \overline{MN}+\overline{MA} \right )^{2}+\left ( \overline{MN}+\overline{MB} \right )^{2}+\left ( \overline{MN}+\overline{MC} \right )^{2}= 4MN2 + 2NM.(2MA +MB + MC ) + 2MA2+MB2 + MC2$
= $4MN^{2}+2MA^{2}+MB^{2}+MC^{2} (do 2\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC}=\overline{0})$
Vì $2MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ = const suy ra $S_{min}$ ⇔ $MN_{min}$
⇔ N là hình chiếu của M trên (P) => MN ⊥ (P)
Phương trình đường thẳng MN là:
$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ => N(t; 1 - t; t + 2)
mà $N \in (P)$ suy ra: t - (1 - t) + t + 2 + 2 =0
⇔ t = -1 => N (-1;2;1)
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng làm bài tập Toán hình 12 trong không gian với hệ tọa độ oxyz thật chính xác. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và ôn tập kiến thức Toán 12, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!
>> Xem thêm:
