img
Thông báo
Sắp bắt đầu năm học mới, lớp hiện tại của bạn đang là lớp {{gradeId}}, bạn có muốn thay đổi lớp không?

Trong Không Gian Với Hệ Tọa Độ Oxyz Cho 3 Điểm - Toán Lớp 12

Tác giả Cô Hiền Trần 16:08 27/05/2022 4,078 Tag Lớp 12

Các bài toán trong không gian với hệ tọa độ oxyz là một phần vận dụng kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán lớp 12. Để nắm chắc nội dung phần này, các em cần nhớ công thức, cách giải và hơn hết là làm thật nhiều bài tập. Các em hãy cùng VUIHOC ôn tập lại kiến thức này để tự tin bước vào kỳ thi sắp tới nhé!

Trong Không Gian Với Hệ Tọa Độ Oxyz Cho 3 Điểm - Toán Lớp 12

Hình ảnh trong không gian với hệ tọa độ oxyz

Câu 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;0) trong không gian với hệ tọa độ oxyz. a, Hãy chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác; b, Tính diện tích tam giác ABC.

Bài giải:

a, Ta có: $\overline{AB}= (-1; 0; 1) ;\overline{AC}= (1; 1; 0)$

Suy ra:

Vậy 2 vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. 

Vậy A, B, C không thẳng hàng => ABC tạo thành một tam giác.

b, Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AB};\overline{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}.\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy A, B, C tạo thành một tam giác có diện tích là $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Câu 2: Cho 3 điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3) và C(4;2;5) trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho |MA +MB + MC| có giá trị nhỏ nhất?

Bài giải:

Theo bài ra ta có:

$\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right | =\left | \overline{MG}+\overline{GA}+\overline{MG}+\overline{GB}+\overline{MG}+\overline{GC} \right |=\left | 3\overline{MG}+\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC} \right |$

Đầu tiên ta xác định tọa độ điểm G sao cho: $\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}=\overline{0}$

hay nói cách khác G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

G = $\left (\frac{0+2+4}{3};\frac{-3+4+2}{3};\frac{7-3+5}{3} \right )$ => Tọa độ điểm G (2; 1; 3)

Từ đó: $\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right | = \left | 3\overline{MG} \right | = 3.MG$

$\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right |$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên M là hình chiếu của G lên (Oxy) 

=> M(2;1;0)

Vậy tọa độ điểm M(2;1;0) thì $\left | \overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} \right |$ có giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: Cho ba điểm A(1;0;1), B(1;2;1), C(4;1;-2) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, và mặt phẳng P : x + y + z = 0. Trong các điểm (1;1;-1), (1;1;1) , (1;2;-1) , (1;0;-1), điểm nào là điểm M trên (P) thỏa mãn $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

G=$\left ( \frac{1+1+4}{3};\frac{0+2+1}{3};\frac{1+1-2}{3}\right )$ => G(2;1;0)

T = $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$

T = $(\overline{MG}+\overline{GA})^{2}+(\overline{MG}+\overline{GB})^{2}+(\overline{MG}+\overline{GC})^{2}$

T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+2\overline{MG}(\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC})$

T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+2\overline{MG}.\overline{0}$

T = $3MG^{2}+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$

Do $GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$ cố định nên $T_{min}$ khi $MG_{min}$.

=> Mà M thuộc (P) nên M là hình chiếu vuông góc của G lên (P)

Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc (P) => Phương trình đường thẳng d là:

M là giao điểm của d và (P) nên thỏa mãn: 2 + t +1 + t +t = 0 ⇔ t = -1

=> M (1; 0; -1)

4. Câu 4: Cho ba điểm A(-2;3;1), B(2;1;0) và C(-3;-1;1) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S_{ABCD}=3S_{\Delta ABC}$.

Bài giải:

Vì tứ giác ABCD là hình thang 

=> AD//BC => $\overline{u}_{AD} =  \overline{u}_{BC} = (-5; -2; 1)$

=> Phương trình đường thẳng AD là :

=$\frac{x+2}{-5}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-1}{1}$

=> D(-5t - 2; -2t + 3; t + 1)

Ta có: 

$S_{ABCD}$ = 3S_{ABCD} ⇔ S_{ABC} + S_{ACD} = 3S_{ABC}$

⇔ $S_{ACD} = 2S_{ABC}$

Mà diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC} = =\frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AB}; \overline{AC}\right ] \right |=\frac{\sqrt{341}}{2} => S_{ACD}=\sqrt{341}$

Hay nói cách khác: 

$S_{ACD} = \frac{1}{2}\left | \left [ \overline{AD};\overline{AC} \right ] \right |=\sqrt{341}$

 => $\frac{1}{2}\sqrt{341t^{2}}=\sqrt{341}$

Do ABCD là hình thang => D(-12; -1; 3)

Câu 5: Cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(-2;1;4) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz và mặt phẳng (P): x-y+z+2=0. Biết điểm N ∊ (P). Trong các điểm (-2;0;1), $(\frac{4}{3}; 3;\frac{3}{2})$, $(\frac{1}{2}; 2; 1)$, (-1; 2;1), điểm nào là tọa độ điểm N  sao cho S = $2NA^{2}+NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài giải:

Gọi M(a; b; c) thỏa mãn đẳng thức vectơ $2\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC} = 0$

⇔ 2(1-a;1-b;1-c) + (0-a; 1-b; 2-c) + (-2-a; 1-b; 4-c) = 0

⇔ (-4a;4-4b;8-4c) = 0

Khi đó:

S = $2NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}=2\overline{NA}^{2}+\overline{NB}^{2}+\overline{NC}^{2}$

= $2\left ( \overline{MN}+\overline{MA} \right )^{2}+\left ( \overline{MN}+\overline{MB} \right )^{2}+\left ( \overline{MN}+\overline{MC} \right )^{2}= 4MN2 + 2NM.(2MA +MB + MC ) + 2MA2+MB2 + MC2$

= $4MN^{2}+2MA^{2}+MB^{2}+MC^{2} (do 2\overline{MA}+\overline{MB}+\overline{MC}=\overline{0})$

Vì $2MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ = const suy ra $S_{min}$ ⇔ $MN_{min}$

⇔ N là hình chiếu của M trên (P) => MN ⊥ (P)

Phương trình đường thẳng MN là:

$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ => N(t; 1 - t; t + 2)

mà $N \in (P)$ suy ra: t - (1 - t) + t + 2 + 2 =0

⇔ t = -1 => N (-1;2;1)

Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng làm bài tập Toán hình 12 trong không gian với hệ tọa độ oxyz thật chính xác. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và ôn tập kiến thức Toán 12, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!

>> Xem thêm:

| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}
Hotline: 0987810990