Lý thuyết quan hệ chia hết và tính chất chia hết toán 6

1. Quan hệ chia hết

1.1 Khái niệm về chia hết

- Cho hai số tự nhiên a và b ($\large b\neq 0  $): 

+ Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b. 

+ Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a. 

- Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là a $\large \vdots $ b.

- Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮̸ b.

- Với a là số tự nhiên khác 0 thì: 

• a là ước của a; 
• a là bội của a; 
• 0 là bột của a; 
• 1 là ước của a. 

1.2 Cách tìm bội và ước của một số

- Để tìm các bội của n ($\large n\in \mathbb{N}^{*} $) ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3... Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n. 

- Để tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n. 

2. Tính chất chia hết 

2.1 Tính chất chia hết của một tổng

- Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó. 

- Tổng quát: Nếu a $\large \vdots $ m và b $\large \vdots $ m thì (a + b) $\large \vdots $ m. Khi đó ta có: (a + b) : m = a : m + b : m.

- Mở rộng: a $\large \vdots $ n, b $\large \vdots $ n, c $\large \vdots $ n thì (a + b + c) $\large \vdots $ n

2.2 Tính chất chia hết của một hiệu 

- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó: 

Tổng quát: Với a $\large \geq $ b: 

+ Nếu a $\large \vdots $ m và b $\large \vdots $ m thì (a - b) $\large \vdots $ m.

 Khi đó ta có (a - b) : m = a : m - b : m.

2.3 Tính chất chia hết của một tích

- Nếu một thừa số của tich chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó. 

- Nếu a $\large \vdots $ m thì (a.b) $\large \vdots $ m với mọi số tự nhiên b. 

3. Bài tập về quan hệ chia hết và tính chất

3.1 Bài tập sách kết nối tri thức

Bài 2.1 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

+) Lần lượt chia 30 cho các số tự nhiên từ 1 đến 30, ta thấy 30 chia hết cho 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 nên Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

+) Lần lượt chia 35 cho các số tự nhiên từ 1 đến 35, ta thấy 35 chia hết cho 1; 5; 7; 35 nên  Ư(35) = {1; 5; 7; 35}. 

+) Lần lượt chia 17 cho các số tự nhiên từ 1 đến 17, ta thấy 17 chia hết cho 1; 17 nên  Ư(17) = {1; 17}.

Bài 2.2 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Vì 16 : 4 = 4, 24 : 4 = 6, 35 : 4 = 8 (dư 3)

Nên 16 ⁝ 4; 24 ⁝ 4; 34Bài 2.2 trang 33 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 64

Vậy các số là bội của 4 là: 16; 24.

Bài 2.3 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Lần lượt nhân 7 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được các bội của 7 là: 0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70;…

Ta được B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70;…}

Mà x ∈ B(7) và x < 70 nên x ∈ {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63}.

b) Lần lượt chia 50 cho các số từ 1 đến 50, ta thấy 50 chia hết cho 1; 2; 5; 10; 25; 50 nên 

Ư(50) = {1; 2; 5; 10; 25; 50}

Mà y ∈ Ư(50) và y > 5 nên y ∈ {10; 25; 50}.

Bài 2.4 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Vì 15 ⁝ 5; 1975 ⁝ 5 nhưng 20195 nên (15 + 1 975 + 2 019)5

Vậy tổng 15 + 1 975 + 2 019 không chia hết cho 5.

b) Vì 20 ⁝ 5; 90 ⁝ 5; 2025 ⁝ 5; 2050 ⁝ 5 nên (20 + 90 + 2 025 + 2 050) ⁝ 5

Vậy tổng 20 + 90 + 2 025 + 2 050 chia hết cho 5.

Bài 2.5 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Vì 1008 và 40 ⁝ 8 nên (100 – 40)8

Vậy hiệu 100 – 40 không chia hết cho 8.

b) Vì 8 ⁝ 8 và 16 ⁝ 8 nên theo tính chất chia hết của một hiệu thì (80 - 16) ⁝ 8

Vậy hiệu 80 – 16 chia hết cho 8. 

Bài 2.6 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Vì 7 ⁝ 7 nên (219.7) ⁝ 7 và 87 do đó (219.7 + 8)7.

b) Vì 12 ⁝ 3nên (8.12) ⁝ 3 và 9 ⁝ 3 do đó (8.12 + 9) ⁝ 3.

Vậy khẳng định b là đúng.

Bài 2.7 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Bài 2.8 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Gọi số người mỗi nhóm được chia là x (người)

Ta có mỗi nhóm có ít nhất 2 người và không quá 10 người nên $\large x\in \mathbb{N^{*}}; 2\leq x\leq 10$

Vì đội thể thao của trường có 45 vận động viên và huấn luyện viên chia thành các nhóm mà mỗi nhóm có số người như nhau nên 45 ⁝ x hay x ∈ Ư(45) 

Ta lại có Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Mà 2 ≤ x ≤ 10 do đó x ∈ {3; 5; 9}

Với số người mỗi nhóm được chia là 3 người thì số nhóm là: 45 : 3 = 15 (nhóm)

Với số người mỗi nhóm được chia là 5 người thì số nhóm là: 45 : 5 = 9 (nhóm)

Với số người mỗi nhóm được chia là 9 người thì số nhóm là: 45 : 9 = 5 (nhóm)

Vậy huấn luyện viên có thể chia thành 15 nhóm, 9 nhóm hoặc 5 nhóm

Bài 2.9 trang 33 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Vì 56 - x chia hết cho 8 mà 56 chia hết cho 8 nên theo tính chất chia hết của một hiệu thì x chia hết cho 8

Mà x thuộc tập {23; 24; 25; 26}, trong các số đó, chỉ có số 24 chia hết cho 8 nên x = 24

Vậy x ∈ 24 .

b) Vì 60 + x không chia hết cho 6 mà 60 chia hết cho 6 nên x không chia hết cho 6

Mà x thuộc tập {22; 24; 45; 48}, trong các số đó thì có hai số 22 và 45 không chia hết cho 6 nên x = 22 hoặc x = 45

Vậy x ∈ { 22;45 }.

Lộ trình khóa học DUO sẽ được thiết kế riêng cho từng nhóm học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước đạt điểm 9, 10 trong mọi bài kiểm tra.

3.2 Bài tập sách chân trời sáng tạo 

Bài 1 trang 87 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) (– 45) : 5 = – (45 : 5) = – 9. 

b) 56 : (– 7) = – (56 : 7) = – 8.

c) 75 : 25 = 3.

d) (– 207) : (– 9) = 207 : 9 = 23.

Bài 2 trang 87 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) Ta có: 36 : (– 6) = – (36 : 6) = – 6 < 0 

Vậy 36 : (– 6) < 0.

b) Ta có: (– 15) : (– 3) = 15 : 3 = 5 > 0

(– 63) : 7 = – (63 : 7) = – 9 < 0

Do đó: 5 > – 9

Vậy (– 15) : (– 3) > (– 63) : 7. 

Bài 3 trang 87 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) (– 3) . x = 36 

=> x = 36 : (– 3) 

=> x = – (36 : 3) 

=> x = – 12. 

Vậy x = – 12. 

b) (– 100) : (x + 5) = – 5

=> x + 5 = (– 100) : (– 5) 

=> x + 5 = 100 : 5

=> x + 5 = 20 

=> x = 20 – 5 

=> x = 15. 

Vậy x = 15. 

Bài 4 trang 87 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

Nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày đó là: 

[(– 6) + (– 5) + (– 4) + 2 + 3] : 5 = (– 10) : 5 = – 2 (°C)

Vậy nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày liên tiếp đã cho là – 2 °C. 

Bài 5 trang 87 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) Ta có: – 36 = (– 9) . 4 hay (– 36) : (– 9) = 4 

Do đó: – 36 chia hết cho – 9. 

Vậy phát biểu a) đúng. 

b) Ta có: – 18 = 5 . (– 3) + (– 3) 

Do đó – 18 không chia hết cho 5. 

Vậy phát biểu b) là sai. 

Bài 6 trang 87 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) Vì 4 chia hết cho x nên x là các ước của 4 

Mà các ước của 4 là: – 1; 1; – 2; 2; – 4; 4 

Vậy các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu là: – 1; 1; – 2; 2; – 4; 4.

b) Vì – 13 chia hết cho x + 2 nên x + 2 là ước của – 13

Mà các ước của – 13 là: – 1; 1; 13; – 13

Nên ta có các trường hợp sau:

TH1: x + 2 = – 1  x = – 1 – 2 = – 3 (tm)

TH2: x + 2 = 1  x = 1 – 2 = – 1 (tm)

TH3: x + 2 = 13  x = 13 – 2 = 11 (tm)

TH4: x + 2 = – 13  x = – 13 – 2 = – 15 (tm)

Vậy các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán là: – 3; – 1; 11; – 15.

3.3 Bài tập sách cánh diều 

Bài 1 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

a) m = 15

Để tìm bốn bội của 15, ta lần lượt lấy 15 nhân với 0; 1; 2; 3 

Vậy ta được bốn bội của 15 là: 0; 15; 30 và 45.

b) m = 30

Để tìm bốn bội của 30, ta lần lượt lấy 30 nhân với 0; 1; 2; 3

Vậy ta được bốn bội của 30 là: 0; 30; 60; 90.

c) m = 100

Để tìm bốn bội của 100, ta lần lượt lấy 100 nhân với 0; 1; 2; 3

Vậy ta được bốn bội của 100 là: 0; 100; 200; 300.

Bài 2 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

a) n = 13

Để tìm các ước của số 13, ta lần lượt thực hiện phép chia số 13 cho các số tự nhiên từ 1 đến 13. Các phép chia hết là: 

13 : 1 = 13; 13 : 13 = 1.

Vậy các ước của số 13 là 1 và 13. 

b) n = 20 

Để tìm các ước của số 20, ta lần lượt thực hiện phép chia số 20 cho các số tự nhiên từ 1 đến 20. Các phép chia hết là: 

20 : 1 = 20; 20 : 2 = 10; 20 : 4 = 5; 20 : 5 = 4; 20 : 10 = 2; 20 : 20 = 1.

Vậy các ước của số 20 là: 1; 2; 4; 5; 10 và 20. 

c) n = 26

Để tìm các ước của số 26, ta lần lượt thực hiện phép chia số 26 cho các số tự nhiên từ 1 đến 26. Các phép chia hết là: 

26 : 1 = 26; 26 : 2 = 13; 26 : 13 = 2; 26 : 26 = 1.

Vậy các ước của số 26 là: 1; 2; 13 và 26. 

Bài 3 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

Vì x là bội của 9 nên trước tiên, ta đi tìm các bội của 9, ta lần lượt lấy 9 nhân với 0; 1; 2; 3; 4; 5; …

Ta được các bội của 9 là: 0; 9; 18; 27; 36; 45; …

Mà 20 < x < 40 

Vậy số tự nhiên x thỏa mãn yêu cầu bài toán là 27; 36. 

Bài 4 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

Vì các nhóm có số bạn đều nhau nên số bạn của mỗi nhóm phải là ước của 24.

Ta đi tìm các ước của số 24, ta thực hiện phép chia số 24 cho các số tự nhiên từ 1 đến 24. Các phép chia hết là:

24 : 1 = 24; 24 : 2 = 12; 24 : 3 = 8; 24 : 4 = 6; 24 : 6 = 4; 24 : 8 = 3; 24 : 12 = 2; 

24 : 24 = 1.

Do đó các ước của 24 là 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. 

Vì mội đội có ít nhất hai bạn nên cô phụ trách có thể chia đội thành:

+ Nếu mỗi nhóm có 2 bạn thì số nhóm là: 24 : 2 = 12 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 3 bạn thì số nhóm là: 24 : 3 = 8 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 4 bạn thì số nhóm là: 24 : 4 = 6 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 6 bạn thì số nhóm là: 24 : 6 = 4 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 8 bạn thì số nhóm là: 24 : 8 = 3 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 12 bạn thì số nhóm là: 24 : 12 = 2 (nhóm)

Một nhóm không thể có 24 bạn, vì 24 là tổng sổ bạn của cả đội Sao đỏ. 

Vậy cô có thể chia đội thành:

+ 12 nhóm mỗi nhóm có 2 bạn;

+ 8 nhóm mỗi nhóm có 3 bạn;

+ 6 nhóm mỗi nhóm có 4 bạn;

+ 4 nhóm mỗi nhóm có 6 bạn;

+ 3 nhóm mỗi nhóm có 8 bạn;

+ 2 nhóm mỗi nhóm có 12 bạn.

Bài 5 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Vì m ⁝ 4 và n ⁝ 4 thì m + n chia hết cho 4 (áp dụng tính chất chia hết của một tổng).

Do đó trong bốn đáp án đã cho, ta chọn đáp án D. 

b) Ta có: 6 = 2 . 3 

Mà m ⁝ 6 nên suy ra m ⁝ 2

Lại có n ⋮ 2

Do đó:  m + n cũng chia hết cho 2 (tính chất chia hết của một tổng)

Do đó trong bốn đáp án đã cho, ta chọn đáp án D. 

Bài 6 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

Nếu m chia hết cho p và n chia hết cho p thì tổng m + n chia hết cho p nhưng điều ngược lại chưa chắc đã đúng. 

Nếu tổng m + n chia hết cho p thì chưa chắc m chia hết cho p và n chia hết cho p. 

Bài 7 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

Vì (a+b) ⁝ m nên ta có số tự nhiên k (k ≠ 0) thỏa mãn a + b = m.k (1)

Tương tự, vì a ⁝ m nên ta cũng có số tự nhiên h (h ≠ 0) thỏa mãn a = m.h 

Thay a = m. h vào (1) ta được: m.h + b = m.k 

Suy ra b = m.k – m.h = m.(k – h)  (tính chất phân phối của phép nhân với phép trừ).

Mà m ⁝ m nên theo tính chất chia hết của một tích ta có m(k-h) ⁝ m.

Vậy b ⁝ m

Bài 8 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

Hai loại khay nướng bánh mỗi loại lần lượt chứa 3 chiếc bánh và 6 chiếc bánh.

Vì 3 chia hết cho 3 và 6 cũng chia hết cho 3 và mỗi lần nướng các khay đều được xếp đủ số bánh nên theo tính chất chia hết của một tích và một tổng thì tổng số bánh làm ra sau một số lần nướng bằng cả hai loại khay trên phải là số chia hết cho 3. 

Mà 125 : 3 = 41 (dư 2) hay 125 không chia hết cho 3.

Vậy người bán hàng đã đếm sai số bánh làm được. 

Bài 9 trang 34 sgk toán 6/1 cánh diều

Ban đầu mỗi thuyền chở 5 khách du lịch nên tổng số khách phải là số chia hết cho 5.

Một số khách rời đi bằng thuyền chở 10 khách du lịch nên số khách rời đi chia hết cho 10 mà 10 = 5. 2 nên số khách rời đi phải chia hết cho 5.

Do đó số khách còn lại cũng phải chia hết cho 5 (theo tính chất chia hết của một hiệu).

Mà 21 : 5 = 4 (dư 1) hay 21 không chia hết cho 5.

Vậy kết quả kiểm đếm là sai.

Trên đây là bài học về Lý thuyết quan hệ chia hết và tính chất chia hết toán 6, để làm quen với chương trình toán 6, các em có thể tham khảo khóa học DUO của nhà trường VUIHOC, học online cùng các thầy cô và xây dựng lộ trình học cá nhân ngay từ sớm nhé!   

>> Mời bạn tham khảo thêm:

• Các phép tính trong tập hợp số tự nhiên
• Lũy thừa với số mũ tự nhiên
• Thứ tự thực hiện các phép tính