Lý thuyết tứ giác nội tiếp toán 9 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 14:48 29/07/2024 2,630 Tag Lớp 9

Tứ giác nội tiếp là gì? Nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn và giải thích định lý về tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp, xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông và giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với đường tròn.

Lý thuyết tứ giác nội tiếp toán 9 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Tứ giác nội tiếp đường tròn

- Tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay còn gọi là tứ giác nội tiếp).

- Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng 180^o.

- Ví dụ: Tìm x và y trong hình.

Lời giải: Tứ giác trong hình là tứ giác nội tiếp. Do đó x + 104^o = 180^o => x = 180^o - 104^o = 76^o.

y + 63^o = 180^o => y = 180^o - 63^o = 117^o.

2. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông

- Hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp.

- Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông có tâm là giao điểm của hai đường chéo và có bán kính bằng nửa đường chéo.

- Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$

3. Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn toán 9 chương trình mới

3.1 Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn toán 9 kết nối tri thức

Bài 9.18 trang 83 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ và $\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{C}=180^{o}-\widehat{A}=180^{o}-60^{o}=120^{o}$

$\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{D}=180^{o}-\widehat{B}=180^{o}-80^{o}=100^{o}$

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{A}=180^{o}-\widehat{C}=180^{o}-90^{o}=90^{o}$

$\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{B}=180^{o}-\widehat{D}=180^{o}-70^{o}=110^{o}$

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{A}=180^{o}-\widehat{C}=180^{o}-100^{o}=80^{o}$

$\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{B}=180^{o}-\widehat{D}=180^{o}-60^{o}=120^{o}$

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{C}=180^{o}-\widehat{A}=180^{o}-80^{o}=100^{o}$

$\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{B}=180^{o}-\widehat{D}=180^{o}-110^{o}=70^{o}$

Bài 9.19 trang 83 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

– Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:

$\large \widehat{DCA}+\widehat{ABD}=180^{o}$

Mà $\large \widehat{DCA}+\widehat{ICA}=180^{o}$ (hai góc kề bù) nên $\large \widehat{ABD}+\widehat{ICA}$ hay $\large \widehat{IBD}+\widehat{ICA}$

$\large \widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^{o}$

Mà $\large \widehat{BAC}+\widehat{IAC}=180^{o}$ (hai góc kề bù) nên $\large \widehat{BDC}=\widehat{IAC}$ hay $\large \widehat{IDB}=\widehat{IAC}$ .

– Xét $\large \Delta$ IAC và $\large \Delta$ IDB, có: $\large \widehat{IAC}=\widehat{IDB}$ (chứng minh trên) và $\large \widehat{BID}$ là góc chung

Do đó $\large \Delta$ IAC ᔕ $\large \Delta$ IDB (g.g)

$\large \Rightarrow \frac{IA}{ID}=\frac{IC}{IB}\Rightarrow IA.IB=IC.ID$

Bài 9.20 trang 83 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Vì hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: $\large \widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^{o}(1)$

Vì ABCD là hình bình hành nên hai góc đối bằng nhau, do đó $\large \widehat{ABC}=\widehat{ADC}=180^{o}(2)$

Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ABC}=180^{o}\Rightarrow \widehat{ABC}=90^{o}$

Hình bình hành ABCD có $\large \widehat{ABC}=90^{o}$ nên là hình chữ nhật.

Vậy ABCD là hình chữ nhật.

Bài 9.21 trang 83 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Vì hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: $\large \widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^{o}(1)$

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó $\large \widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180^{o}(2)$

Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

Hình thang ABCD có $\large \widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên là hình thang cân.

Bài 9.22 trang 83 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Giả sử ABCD là hình chữ nhật có AB = 2BC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2,5 cm (hình vẽ).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo AC, BD và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo AC, hay AC là đường kính của đường tròn (O).

Do đó AC = 2 . 2,5 = 5 (cm).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\large \widehat{ABC}=90^{o}$ .

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC²

Suy ra 5² = (2BC)² + BC²

Do đó 25 = 4BC² + BC²

Hay 5BC² = 25, suy ra BC² = 5, nên BC = $\large \sqrt{5}$ cm.

Khi đó, AB = 2BC = 2 $\large \sqrt{5}$ (cm).

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là:

$\large S=AB.BC=2\sqrt{5}.\sqrt{5}=10cm^{2}$

Bài 9.23 trang 83 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Giả sử ABCD là khung cổng hình chữ nhật (AB = CD = 3 m và AD = BC = 4 m) nội tiếp nửa đường tròn (O) (hình vẽ).

Gọi H là trung điểm của CD.

Khi đó $\large HB=HC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.4=2m$ và H nằm trên đường trung trực của BC.

Vì B, C cùng nằm trên nửa đường tròn (O) nên OB = OC, suy ra O nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên OH $\large \perp$ BC.

Mà BC // AD (do ABCD là hình chữ nhật) nên OH $\large \perp$ AD.

Xét tứ giác ABHO có $\large \widehat{OAB}=\widehat{AOH}=\widehat{OHB}=90^{o}$ nên ABHO là hình chữ nhật.

Do đó OH = AB = 3 (m).

Xét ∆OBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OB² = OH² + HB² = 3² + 2² = 13.

Do đó OB = $\large \sqrt{13}$ m.

Nửa chu vi đường tròn (O) là: $\large \pi \sqrt{13} (m)$

Vậy chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó là: $\large \pi \sqrt{13} (m)$ .

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

3.2 Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 73 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ và $\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$

Ta có bảng sau:

Bài 2 trang 74 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Ta có $\large \Delta$ AB'H vuông tại B' và $\large \Delta$ AC'H vuông tại C' cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH.

=> tứ giác AB'HC' nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Tương tự, ta có tứ giác BA'HC' nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HC' nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HB' nội tiếp đường tròn đường kính CH.

Ta lại có $\large \Delta$ AB'B vuông tại B' và $\large \Delta$ AA'B vuông tại A' cùng nội tiếp đường tròn đường kính AB.

=> tứ giác AB'A'B nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Tương tự, ta có tứ giác BC'B'C nội tiếp đường tròn đường kính BC và tứ giác AC'A'C nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HB' nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Bài 3 trang 74 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo và có độ dài đường chéo:

$\large AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10(cm)$

=> đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm I và có bán kính: $\large R=\frac{AC}{2}=5(cm)$

b) Hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo và có độ dài đường chéo AC = 9 cm.

=> đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm I và có bán kính $\large R=\frac{AC}{2}=4,5(cm)$

Bài 4 trang 74 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có tâm I và có bán kính $\large R=\frac{MP}{2}$

=> MP = 2R.

$\large \Delta$ MNP vuông tại Q có:

$\large \sqrt{MQ^{2}+QP^{2}}=MP\Rightarrow \sqrt{2MQ^{2}}=2R\Rightarrow MQ=R\sqrt{2}$

Hình vuông MNPQ có độ dài cạnh và đường chéo lần lượt là R $\large \sqrt{2}$ và 2R.

Bài 5 trang 74 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên MA $\large \perp$ OA hay $\large \widehat{OAM}=90^{o}$ .

Vì I là trung điểm của BC của $\large \Delta$ OBC cân tại O nên OI $\large \perp$ BC hay $\large \widehat{OIM}=90^{o}$ .

Ta có vOAM vuông tại A và $\large \Delta$ OIM vuông tại I cùng nội tiếp đường tròn đường kính MO.

=> AMIO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.

Bài 6 trang 74 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Xét đường tròn đường kính MC có $\large \widehat{MDC}=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có $\large \Delta$ BAC vuông tại A và $\large \Delta$ BDC vuông tại D cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC.

=> ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) Xét đường tròn đường kính MC có $\large \widehat{MNC}=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $\large \Delta$ MBC có NC $\large \perp$ MN, => BC $\large \perp$ MN; MC $\large \perp$ AB; MB $\large \perp$ CD.

Hay MN, AB, CD là các đường cao trong $\large \Delta$ MBC.

Khi đó, MN, AB, CD cùng đi qua một điểm (trực tâm H).

Bài 7 trang 74 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Xét $\large \Delta$ ABM và $\large \Delta$ ADN có:

AB = AD = a;

$\large \widehat{B}=\widehat{D}=90^{o}$ ;

$\large \widehat{MAB}=\widehat{NAD}$ ( cùng phụ với $\large \widehat{DAx}$ )

Do đó $\large \Delta$ ABM = $\large \Delta$ ADN (cạnh góc vuông – góc nhọn).

b) Vì $\large \Delta$ ABM = $\large \Delta$ ADN nên AM = AN (hai cạnh tương ứng), => $\large \Delta$ NAM cân tại A.

Vì O là trung điểmm của MN nên AO là trung tuyến đồng thời là đường cao của $\large \Delta$ NAM hay AO $\large \perp$ MN.

• $\large \Delta$ ABM vuông tại B và $\large \Delta$ AOM vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AM.

=> ABMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.

• $\large \Delta$ ADN vuông tại D và $\large \Delta$ AON vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AN.

=> AODN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AN.

c) Ta có: BA = BC suy ra điểm B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC;

DA = DC suy ra điểm D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Tứ giác AMCN có $\large \widehat{NAM}=\widehat{MCN}=90^{o}$ , => tứ giác AMCN nội tiếp đường tròn đường kính MN.

Điểm O là trung điểm MN nên là tâm đường tròn.

Ta có OA = OC suy ra điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm B, D, O cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.

3.3 Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn toán 9 cánh diều

Bài 1 trang 78 sgk toán 9/2 cánh diều

Ở Hình 28:

⦁ đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD vì đường tròn (O) đi qua các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD;

⦁ đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ABMN vì đường tròn (I) đi qua các đỉnh A, B, M, N của tứ giác ABMN.

Bài 2 trang 78 sgk toán 9/2 cánh diều

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ và $\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{C}=180^{o}-\widehat{A}=180^{o}-60^{o}=120^{o}$

$\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{D}=180^{o}-\widehat{B}=180^{o}-125^{o}=55^{o}$

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{A}=180^{o}-\widehat{C}=180^{o}-67^{o}=113^{o}$

$\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{D}=180^{o}-\widehat{B}=180^{o}-95^{o}=85^{o}$

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{A}=180^{o}-\widehat{C}=180^{o}-75^{o}=105^{o}$

$\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{B}=180^{o}-\widehat{D}=180^{o}-115^{o}=65^{o}$

$\large \widehat{A}+\widehat{C}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{C}=180^{o}-\widehat{A}=180^{o}-117^{o}=63^{o}$

$\large \widehat{B}+\widehat{D}=180^{o}$ $\large \Rightarrow \widehat{B}=180^{o}-\widehat{D}=180^{o}-103^{o}=77^{o}$

Bài 3 trang 78 sgk toán 9/2 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABC có $\large \widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{o}$ (tổng ba góc trong một tam giác)

$\large \Rightarrow \widehat{BAC}=180^{o}-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180^{o}-60^{o}-70^{o}=50^{o}$

Vì $\large \Delta$ ABC nội tiếp đường tròn (O) và D là điểm thuộc cung BC không chứa A nên tứ giác ABDC là tứ

giác nội tiếp, do đó $\large \widehat{BAC}+\widehat{DBC}=180^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{BDC}=180^{o}-\widehat{BAC}=180^{o}-50^{o}=130^{o}$

Bài 4 trang 78 sgk toán 9/2 cánh diều

Giả sử hình chữ nhật ABCD có AD = BC = 3 dm, AB = CD = 5 dm có đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp.

Do đó tâm O là giao điểm hai đường chéo và đường chéo AC là đường kính của đường tròn (O).

Xét $\large \Delta$ ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AD² + DC² = 5² + 3² = 34.

=> AC = $\large \sqrt{34}(dm)$

Do đó bán kính của đường tròn (O) là: $\large R=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{34}}{2}(dm)$

Diện tích hình tròn bán kính $\large R=\frac{\sqrt{34}}{2}(dm)$ là:

$\large S=\pi R^{2}=\pi .\left ( \frac{\sqrt{34}}{2} \right )^{2}=\frac{17\pi }{2}=8,5\pi (dm^{2})$

Bài 5 trang 78 sgk toán 9/2 cánh diều

Vì hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: $\large \widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^{o}(1)$

Vì ABCD là hình thang có AB // CD nên $\large \widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180^{o}(2)$

Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

Hình thang ABCD có $\large \widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên là hình thang cân.

Bài 6 trang 78 sgk toán 9/2 cánh diều

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

a) Xét đường tròn (O), hai góc ABD và ACD là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên $\large \widehat{ABD}=\widehat{ACD}$

b) Xét $\large \Delta$ IAB và $\large \Delta$ IDC có:

$\large \widehat{AIB}=\widehat{ACD}$ (đối đỉnh) và $\large \widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (chứng minh trên).

Do đó $\large \Delta$ IAB ᔕ $\large \Delta$ IDC (g.g).

$\large \Rightarrow \frac{IA}{ID}=\frac{IB}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID$

Bài 7 trang 78 sgk toán 9/2 cánh diều

a) Xét $\large \Delta$ ABC có hai đường cao AM và CN cắt nhau tại H nên AM $\large \perp$ BC và CN $\large \perp$ AB, do đó $\large \widehat{HMB}=90^{o}; \widehat{HNB}=90^{o}$ .

Xét tứ giác HMBN có:

$\large \widehat{MHN}+\widehat{HMB}+\widehat{MBN}+\widehat{HNB}=360^{o}$ (tổng các góc của một tứ giác)

$\large \Rightarrow \widehat{MHN}+\widehat{HMB}=360^{o}-90^{o}-90^{o}=180^{o}$

Hay $\large \widehat{MHN}+\widehat{ABC}=180^{o}$ .

b) Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°.

Do đó $\large \widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180^{o}$

Mà $\large \widehat{MHN}+\widehat{ABC}=180^{o}\rightarrow \widehat{MHN}=\widehat{ADC}$ (câu a)

Lại có $\large \widehat{MHN}=\widehat{AHC}$ (đối đỉnh) nên $\large \widehat{AHC}=\widehat{ADC}$

c) Xét $\large \Delta$ AHN vuông tại N có $\large \widehat{AHC}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh H nên $\large \widehat{AHC}=\widehat{HAN}+\widehat{HNA}=\widehat{BAM}+90^{o}$ (tính chất góc ngoài của một tam giác).

Mà $\large \widehat{AHC}=\widehat{ADC}\rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{BAM}+90^{o}$ .

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là bài học Lý thuyết tứ giác nội tiếp toán 9 chương trình mới được sử dụng rất nhiều trong các dạng bài chứng minh tứ giác nội tiếp. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán 9 THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: