Ứng dụng hình học của tích phân trong giải bài tập toán 12

1. Ứng dụng hình học của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

1.1 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

- Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính bởi công thức: 

$\large S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx$

- Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì: 

$\large S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx=\left|\int_{a}^{b}f(x)dx \right|$

Nếu phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (a;b) thì công thức trên vẫn đúng.

- Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) = x² - 4x + 3, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3. 

Diện tích cần tìm là: $\large S=\int_{0}^{3}|x^{2}-4x+3|dx=$

Ta có: x² - 4x + 3 = 0 $\large \Leftrightarrow $ x= 1 hoặc x = 3. 

Với x $\large \in $ [0;1] thì f(x) $\large \geq $ 0. Với x $\large \in $ [1;3] thì f(x) $\large \leq $ 0. 

Vậy: $\large S=\int_{0}^{3}|x^{2}-4x+3|dx=$

$\large = \int_{0}^{1}(x^{2}-4x+3)dx+\int_{1}^{3}[-(x^{2}-4x+3)dx]$

$\large = \left ( \frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x \right )|_{0}^{1}-\left ( \frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x \right )|_{1}^{3}=\frac{8}{3}$

1.2 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

- Cho hai hàm số y = f₁(x); y = f₂(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f₁(x); y = f₂(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức: 

$\large S=\int_{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|dx$

- Chú ý: Nếu hiệu f₁(x) - f₂(x) không đổi dấu trê đoạn [a;b] thì: 

$\large S=\int_{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}|dx=\left|\int_{a}^{b}f_{1}(x)-f_{2}dx \right|$

- Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = sinx; y = cosx và hai đường thẳng x = 0; x = $\large \pi $/4

Diện tích hình phẳng cần tính là: 

$\large S=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}|sinx-cosx|dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(cosx-sinx)dx $

$\large =(sinx + cosx)|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\sqrt{2}-1 $

2. Ứng dụng hình học của tích phân để tính thể tích vật thể

2.1 Tính thể tích của vật thể 

Trong không gian, cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ($\large a\leq x\leq b $) cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích S(x). 

Khi đó, nếu S(x) là hàm số liên tục trên [a; b] thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức: 

$\large V=\int_{a}^{b}S(x)dx$

2.2 Tính thể tích khối tròn xoay

Cho y = f(x) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Quay D xung quanh trục Ox ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay.

Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với x $\large \in $ [a; b], ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng f(x) và diện tích là S(x) = $\large \pi f^{2}(x) $.

Vậy khối tròn xoay có thể tích là: 

$\large V=\pi \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm với khóa học PAS THPT! 

3. Giải bài tập áp dụng ứng dụng hình học của tích phân

3.1 Bài tập sách toán 12 kết nối tri thức

Bài 4.14 trang 25 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

Diện tích cần tính là:

$\large S=\int_{0}^{4}|5x-x^{2}-x|dx=\int_{0}^{4}|4x-x^{2}|dx$

$\large =\int_{0}^{4}(4x-x^{2})dx=(2x^{2}-\frac{x^{3}}{3})|_{0}^{4}=\frac{32}{3}$

Bài 4.15 trang 25 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

a) 

Diện tích cần tính là:

$\large S=\int_{-1}^{1}|e^{x}-x^{2}+1|dx=\int_{-1}^{1}(e^{x}-x^{2}+1)dx$

$\large =(e^{x}-\frac{x^{3}}{3}+x)|_{-1}^{1}=e+\frac{2}{3}-e^{-1}+\frac{2}{3}=\frac{e^{2}-1}{e}+\frac{4}{3}$

b) Diện tích cần tính là:

$\large S=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }|sinx -x|dx=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }(x-sinx)dx$

$\large (\frac{x^{2}}{2}+cosx)|_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }=\frac{\pi ^{2}}{2}-1-\frac{\pi ^{2}}{8}=\frac{3\pi ^{2}}{8}-1$

c) 

Diện tích cần tính là:

$\large S=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}|9-x^{2}-2x^{2}|dx=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}|9-3x^{2}|dx=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(9-3x^{2})dx$

$\large =(9x-x^{3})|\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}=9\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}-3\sqrt{3}=12\sqrt{3}$

d) 

Diện tích cần tính là:

$\large S=\int_{0}^{1}|\sqrt{x}-x^{2}|dx=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^{2})dx=(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^{3}}{3})|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$

Bài 4.16 trang 25 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:

 $\large S=\int_{0}^{100}|(0,00061x^{2}+0,0218x+1723)^{2}-x|dx$

 $\large =\int_{0}^{100}|(0,00061^{2}x^{4}+4,7524.10^{-4}x^{2}+1723^{2}+2,6596.10^{-5}x^{3}+2,10206x^{2}+75,1228x)-x|dx$

 $\large =\int_{0}^{100}|(0,00061^{2}x^{4}+2,6596.10^{-5}x^{3}+2,10253524x^{2}+74,1228x+1723^{2})|dx$

 $\large =\int_{0}^{100}(0,00061^{2}x^{4}+2,6596.10^{-5}x^{3}+2,10253524x^{2}+74,1228x+1723^{2})dx$

 $\large (7,442.10^{-8}.x^{5}+6,649.10^{-6}.x^{4}+0,70084508.x^{3}+37,0614.x^{2}+1723^{2}x|_{0}^{100})$

 $\large (7,442.10^{-8}.100^{5}+6,649.10^{-6}.100^{4}+0,70084508.100^{3}+37,0614.100^{2}+1723^{2}.100$

= 297945768,2

Bài 4.17 trang 26 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

Thể tích cần tìm là:

 $\large V=\pi \int_{0}^{2}(2x-x^{2})^{2}dx$

 $\large =\pi \int_{0}^{2}(4x^{2}-4x^{3}+x^{4})dx$

 $\large =\pi(\frac{4}{3}x^{3}-x^{4}+\frac{x^{5}}{5})|_{0}^{2}=\frac{16\pi }{15}$

Bài 4.18 trang 26 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

Thể tích cần tìm là:

 $\large V=\pi \int_{R-r}^{R}(R^{2}-x^{2})dx$

Bài 4.19 trang 26 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

a) Xét tam giác OAB vuông tại A, có AB = OA.tanα = a.tanα.

Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy r = AB = a.tanα và chiều cao h = OA = a.

Do đó:  $\large V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi a^{3}tan^{2}\alpha $

b) Có  $\large V'=\frac{1}{3}\pi a^{3}2tan^{2}\alpha.\frac{1}{cos^{2}\alpha } $

Vì  $\large 0< \alpha < \frac{\pi }{4}\Rightarrow 0< tan\alpha \leq 1\rightarrow V'> 0 $. Do đó V là hàm số đồng biến trên  $\large (0;\frac{\pi }{4}) $

Do đó  $\large \underset{(0;\frac{\pi }{4}]}{maxV}=V(\frac{\pi }{4})=\frac{1}{3}\pi a^{3}$

Vậy  $\large \alpha =\frac{\pi }{4}$ thì thể tích khối nón là lớn nhất.

3.2 Bài tập sách toán 12 chân trời sáng tạo 

Bài 1 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạo

a) Diện tích cần tính là:

 $\large S=\int_{-1}^{1}|e^{x}|dx=\int_{-1}^{1}e^{x}dx=e^{x}|_{-1}^{1}=e-\frac{1}{e}=\frac{e^{2}-1}{e}$

b) Diện tích cần tính là:

 $\large S=\int_{1}^{2}|x+\frac{1}{x}|dx=\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx=(\frac{x^{2}}{2}+ln|x|)|_{1}^{2}=2+ln2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+ln2$

Bài 2 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạo

Ta có x³ – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = −1.

Với x ∈∈ [0; 1] thì x³ – x ≤ 0; x ∈∈ [1; 2] thì x³ – x ≥ 0.

Diện tích cần tính là:

Đăng ký ngay combo sổ tay kiến thức các môn học để nhận ưu đãi cực hấp dẫn từ vuihoc nhé!

Bài 3 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạo

Diện tích cần tính là:

Bài 4 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạo

Diện tích cần tính là:  $\large S=\int_{-1}^{2}|x^{3}+1-2|dx=\int_{-1}^{2}|x^{3}-1|dx$

Ta có x³ – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Với x ∈ [−1; 1] thì x³ – 1 ≤ 0, x ∈ [1; 2] thì x³ – 1 ≥ 0.

Do đó: 

 $\large S=\int_{-1}^{1}|x^{3}-1|dx+\int_{1}^{2}|x^{3}-1|dx$

 $\large S=\int_{-1}^{1}(x^{3}-1)dx+\int_{1}^{2}(x^{3}-1)dx$

 $\large =(x-\frac{x^{4}}{4})|_{-1}^{1}+(\frac{x^{4}}{4}-x)|_{1}^{2}=\frac{3}{4}+\frac{5}{4}+2+\frac{3}{4}=\frac{19}{4}$

Bài 5 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạo

Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° nên mặt cắt là tam giác vuông cân. Do đó diện tích của mặt cắt là: 

 $\large S_{x}=\frac{1}{2}(\sqrt{4-x^{2}})^{2}=\frac{1}{2}(4-x^{2})=2-\frac{1}{2}x^{2}$

Thể tích vật thể là:

 $\large V=\int_{-2}^{2}(2-\frac{1}{2}x^{2})dx=(2x-\frac{x^{3}}{6})|_{-2}^{2}=\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$

Bài 6 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạo

Thể tích cần tính là:

 $\large V=\pi \int_{0}^{4}(4-x)dx=\pi (4x-\frac{x^{2}}{2})|_{0}^{4}=8\pi $

Bài 7 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạo

Ta có OABC là hình thang vuông, có đường cao OC nằm trên trục Ox.

Khi quay hình thang OABC quanh trục Ox ta được khối tròn xoay là khối nón cụt, có bán kính đáy bé r₁ = OA = 1, bán kính đáy lớn r₂ = BC = 2 và chiều cao h = OC = 2. Thể tích cần tính là:

 $\large V=\frac{1}{3}\pi (r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})=\frac{1}{3}\pi (1^{2}+1.2+2^{2})=\frac{14\pi }{3}$

Bài 8 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạo

Chọn trục Ox trùng với đường cao của hình chóp đều như hình vẽ, sao cho mặt đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 0.

Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ h) cắt hình chóp đều theo mặt cắt là hình vuông đồng dạng với đáy của hình chóp theo tỉ số x/h.

Do đó :  $\large \frac{S(x)}{a^{2}}=(\frac{x}{h})^{2}\Rightarrow S(x)=(\frac{x}{h})^{2}a^{2}=\frac{a^{2}}{h^{2}}x^{2}$

Do đó thể tích khối chóp tứ giác đều là:

 $\large V=\int_{0}^{h}\frac{a^{2}}{h^{2}}dx=\left ( \frac{a^{2}}{h^{2}}.\frac{x^{3}}{3} \right )|_{0}^{h}=\frac{1}{3}a^{2}h$

3. Bài tập sách toán 12 cánh diều 

Bài 1 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diều

Đáp án đúng: B 

Bài 2 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diều

Đáp án đúng: B

Bài 3 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diều

a) Hình phẳng được tô màu trên Hình 29 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục Ox và hai đường thẳng x = – 1, x = 1.

b) Diện tích hình phẳng đó là:

 $\large V=\int_{-1}^{1}|e^{x}|dx=\int_{-1}^{1}e^{x}dx=e^{x}|_{-1}^{1}=e^{1}-e^{-1}=e-\frac{1}{e}$

Bài 4 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diều

Hình phẳng được tô màu trên Hình 30 được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x + 1,  $\large y=(\frac{1}{2})^{x}$  và các đường thẳng x = 1, x = 2.

b) Ta có x + 1 > $\large (\frac{1}{2})^{x}$ với mọi x ∈ [1; 2].

Vậy diện tích hình phẳng đó là:

Bài 5 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diều

a) Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=1xy=1x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Khi qua hình phẳng này quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay như Hình 31.

b) Thể tích khối tròn xoay đó là:

 $\large V=\pi \int_{1}^{2}(\frac{1}{x})^{2}dx=\pi \int_{1}^{2}x^{-2}dx=\pi .\frac{-1}{x}|_{1}^{2}=\pi (\frac{-1}{2}-\frac{-1}{1})=\frac{\pi }{2}$

Bài 6 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diều

a)

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 2 là hình thang vuông OABC (xem hình dưới).

Ta có:  $\large S_{OABC}=\frac{AB+OC}{2}.BC=\frac{1+2}{2}.2=3$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 2 bằng 3.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 1 là: 

 $\large V=\int_{0}^{1}|f(t)|dt=\int_{0}^{1}f(t)dt=\int_{0}^{1}f(u)du$

Do đó,  $\large \int_{0}^{1}f(u)du$ biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 1.

Bài 7 trang 41 sgk toán 12/2 cánh diều

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái như hình dưới đây.

Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và các điểm (35; 21), (70; 0) nên 

 $\large \left\{\begin{matrix}
c=0 \\
x.35^{2}+b.35+c=21 \\
x.70^{2}+b.70+c=0 \\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=-\frac{3}{175} \\
 b=\frac{6}{5}\\
 c=0\\
\end{matrix}\right.$

 $\large \Rightarrow y=-\frac{3}{175}x^{2}+\frac{6}{5}x$

Diện tích mặt kính cần lắp V là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  $\large  y=-\frac{3}{175}x^{2}+\frac{6}{5}x$ trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 70. Ta có: 

Bài 8 trang 41 sgk toán 12/2 cánh diều

Hình phẳng tô màu xanh trong Hình 34 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), các đường thẳng y = 5, x = – 5, x = 10.

Diện tích hình phẳng này là:

Bài 9 trang 41 sgk toán 12/2 cánh diều

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

 $\large OP=OM.cos\widehat{POM}= l.cos\alpha $

$\large MP=OM.sin\widehat{POM}= l.sin\alpha $

Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α. Thể tích khối nón là:

 $\large V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (l.sin\alpha )^{2} .(l.cos\alpha )$

Bài 10 trang 41 sgk toán 12/2 cánh diều

Thể tích thùng rượu vang đó là:

 $\large V=\pi \int_{-35}^{35}(-0,011x^{2}-0,071x+40)^{2}dx$

 $\large =\pi \int_{-35}^{35}(0,000121x^{4}+0,005041x^{2}+1600+0,001562x^{3}-0,88x^{2}-5,68x)dx$

 $\large =\pi \int_{-35}^{35}(0,000121x^{4}+0,001562x^{3}-0,874959x^{2}-5,68x+1600)dx$

 $\large =\pi (0,0000242x^{5}+0,0003905x^{4}-0,291653x^{3}-2,84x^{2}+1600x)|_{-35}^{35}$

 $\large = \pi [41873,40106-(-47659,41294)]\approx 281275,6307(cm^{2})$

Trên đây là toàn bộ bài học Ứng dụng hình học của tích phân trong giải bài tập toán 12. Hi vọng bài viết này sẽ giúp cho các bạn học sinh áp dụng công thức trong tích phân để tính diện tích, thể tích của các dạng hình khối. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé! 

>> Mời bạn tham khảo thêm:

• Lý thuyết và bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12
• Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm toán 12