Tổng ôn từ A đến Z về hàm số mũ

Tác giả Minh Châu 10:01 18/11/2021 149 Tag Lớp 12

Hàm số mũ tưởng chừng đơn giản nhưng thực tế lại là phần kiến thức khá thách thức đối với các bạn học sinh. Trong bài viết này, cùng VUIHOC ôn lại lý thuyết hàm số mũ và thực hành tất cả các dạng bài tập về hàm số mũ một cách nhanh và thành thạo nhất nhé!

Tổng ôn từ A đến Z về hàm số mũ

Trước khi đi vào chi tiết, VUIHOC sẽ tổng quát cho em có nhận định chung nhất về hàm số mũ và độ khó của các bài tập liên quan đến dạng toán này ở bảng dưới đây:

Tổng quan về hàm số mũ

VUIHOC gửi tặng em bộ tài liệu đầy đủ lý thuyết về hàm số mũ - các công thức áp dụng để giải bài tập hàm số mũ. File lý thuyết này rất đầy đủ, có thể giúp em tiện lợi hơn rất nhiều trong quá trình ôn tập. Nhớ tải về nhé!

Tải xuống file lý thuyết về hàm số mũ siêu đầy đủ và chi tiết

 

1. Lý thuyết tổng quan về luỹ thừa

Tại sao ôn tập về lý thuyết hàm số mũ ta phải học lại từ luỹ thừa? Bởi vì, bản chất của hàm số mũ lấy gốc từ luỹ thừa. Hay nói cách khác, hàm số mũ thuộc phạm trù của luỹ thừa (luỹ thừa phát triển được thành 2 dạng hàm số đó là hàm số luỹ thừa và hàm số mũ). Do vậy, các tính nhất, công thức biến đổi và điều kiện của hàm số mũ đều lấy gốc từ luỹ thừa. Khi ta nắm vững kiến thức về luỹ thừa, việc ôn tập lý thuyết hàm số mũ sẽ trở nên rất dễ dàng và nhanh hơn rất nhiều.

 

1.1. Định nghĩa về luỹ thừa

Lũy thừa (nghĩa là "nhân chồng chất lên") là một phép toán được viết dưới dạng $a^n$, bao gồm hai số, cơ số $a$ và số mũ hoặc lũy thừa $n$, và được phát âm là "$a$ lũy thừa $n$". Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là an là tích của phép nhân n cơ số:

Công thức luỹ thừa - hàm số mũ

Chú ý: Ta có $a^1=a$, và, với mọi số nguyên dương $m$ và $n$, ta có $a^m.a^n=a^{m+n}$. Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, a0 được định nghĩa là 1, $a^{−n}$ (với n là số nguyên dương và $a$ không phải là 0) được định nghĩa là 1an. Đặc  biệt, $a^{-1}$ bằng $\frac{1}{a}$ , nghịch đảo của $a$.

1.2. Tính chất của luỹ thừa có liên quan đến biến đổi hàm số mũ

Các tính chất của luỹ thừa có liên quan trực tiếp đến lý thuyết hàm số mũ, đặc biệt là trong quá trình biến đổi, tính toán. Vì thế, VUIHOC cùng các em ôn lại các tính chất lũy thừa sau:

  • Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

Tính chất của luỹ thừa - hàm số mũ

  • Tính chất về bất đẳng thức: 

    • So sánh cùng cơ số: Cho $m, n \in \mathbb{R}$. Khi đó:

Trường hợp 1: Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$

Trường hợp 2: Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n

 

  • So sánh cùng số mũ:

Trường hợp 1: Với số mũ dương $n>0$: $a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$

Trường hợp 2: Với số mũ âm $n<0$: $a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

 

2. Lý thuyết hàm số mũ

2.1. Định nghĩa và điều kiện của hàm số mũ

Mở đầu về lý thuyết hàm số mũ, ta cần tìm hiểu về định nghĩa cơ bản đầu tiên. Hiểu đơn giản, hàm số mũ là hàm số mà trong đó có chứa biểu thức mũ.

Theo kiến thức THPT đã được học, định nghĩa của hàm số mũ theo công thức tổng quát có dạng: Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số $a$.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,...

 

2.2. Tính chất

Từ định nghĩa, đạo hàm và sau khi khảo sát đồ thị, ta rút ra được tính chất của hàm số mũ như sau:

Xét hàm số $y=a^x$ với a>0, $a\neq 1$:

Tính chất của hàm số mũ

2.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

Đây là là phần kiến thức quan trọng và cũng là dạng bài tập rất phổ biến trong chương trình học và các đề thi, xuất hiện ở nhiều dạng cơ bản lên đến vận dụng cao. Để biết được hàm số mũ đồng biến khi nào, hàm số mũ nghịch biến khi nào, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ là chìa khoá để trả lời cho câu hỏi đó.

Về tổng quát, hàm số mũ được khảo sát như sau:

Tập xác định: $D= \mathbb{R}$

Chiều biến thiên:

  • Nếu $a>1$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

  • Nếu $0<a<1$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Đồ thị:

  • Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0$

  • Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $(0;1)$ và $(1;a)$

  • Đồ thị nằm hoàn toàn trên phía trục hoành vì $a^x>0$, $x\in \mathbb{R}$

Dáng đồ thị:

Đồ thị hàm số mũ

 

3. Một số dạng bài tập hàm số mũ cơ bản

VUIHOC đã tổng hợp cho các em 5 dạng bài tập hàm số mũ và phương trình hàm số mũ đã xuất hiện trong các đề kiểm tra và các kỳ thi quan trọng trong THPT. Các em cần lưu ý rằng dù dạng bài nào thì chúng ta cũng phải nắm vững lý thuyết hàm số mũ và các công thức trước tiên. 

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại

Đây là dạng cơ bản và rất dễ xuất hiện trong các câu trắc nghiệm đề thi đại học. Để làm được các bài toán tìm hàm số mũ có đồ thị cho trước, ta thực hiện theo 2 bước sau:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận

 

 

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn 1

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

 

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số

Đối với dạng bài tính đạo hàm của các hàm số mũ, ta cần nắm vững các công thức đạo hàm của tổng hiệu tích thương để áp dụng giải bài toán. Cụ thể, các em thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

Công thức đạo hàm hàm số mũ

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

 

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số

Ở dạng này, các em áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

Công thức tính giới hạn hàm số mũ

 

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Đây là dạng toán thường xuất hiện trong các câu hỏi phương trình hàm số mũ, bất phương trình hàm số mũ vận dụng - vận dụng cao của các đề thi. Để làm được các bài tập dạng này, các em cần thực hiện lần lượt theo 3 bước sau đây:

  • Bước 1: Tính $y’$, tìm các nghiệm $x_1$, $x_2$,... ,$x_n$ thuộc $[a;b]$ của phương trình $y’=0$

  • Bước 2: Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$,... ,$f(x_n)$

  • Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số

    • GTNN m là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được

    • GTLN M là số lớn nhất trong các giá trị tính được

 

4. Bài tập áp dụng

Để thành thạo hơn trong việc áp dụng lý thuyết hàm số mũ để thực hành giải các dạng bài tập hàm số mũ, phương trình hàm số mũ, VUIHOC đã soạn riêng dành tặng em full bộ bài tập hàm số mũ bao gồm các dạng bài chọn lọc sát các đề thi nhất, kèm giải chi tiết. Các em nhớ tải về để luyện tập hằng ngày nhé!

Tải xuống file full bộ bài tập hàm số mũ chọn lọc, có giải chi tiết

 

Các em vừa cùng VUIHOC ôn lại toàn bộ lý thuyết về phương trình hàm số mũ, hàm số mũ và điểm lại tất cả các dạng bài tập. Chúc các em luôn học tốt và đạt điểm cao!

Khoá học liên quan

Toán 12 | Ôn thi THPTQG 2021 môn Toán

180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.

1.500.000
Chỉ còn 900.000
Chỉ còn 2 ngày
| đánh giá
Bình luận
  • {{comment.create_date | formatDate}}
Toán 12 | Ôn thi THPTQG 2021 môn Toán

1.500.000

Chỉ còn 900.000

Chỉ còn nốt 2 ngày

ĐĂNG KÝ HỌC

Mục tiêu khóa học

  • - HIỂU SÂU 100% kiến thức Toán 12, một phần kiến thức Toán 11 có trong kì thi THPT QG. 
  • - Biết cách giải thông thường và một số cách giải nhanh theo phương thức trắc nghiệm.
  • - Cải thiện tư duy Toán học thông qua hệ thống các dạng bài tập vận dụng và vận dụng cao.
  • - Xâu chuỗi các kiến thức Toán cấp THPT để giúp học sinh hiểu sâu hơn, khả năng tự tìm được phương án giải trong mọi dạng Toán lần đầu gặp.
  • - Rèn luyện kỹ năng làm Toán với hệ thống bài tập ôn tập, luyện tập phân rõ các mức độ nhận thức.
  • - Đạt điểm 8+, 9+, 10 trong kì thi THPT QG 2021.

Thời gian học

  • - 12 tháng kể từ ngày kích hoạt 

Cấu trúc khóa học

  • - 180 clip bài giảng quay sẵn chất lượng cao
  • - Hơn 6700 câu hỏi luyện tập
  • - 20 đề ôn tập có video chữa chi tiết
  • - 30 đề tự luyện có lời giải chi tiết
  • - Các buổi livestream tổng ôn, chữa đề thi thử các tỉnh và thành phố, ...

Hỗ trợ

  • - Luôn có thầy cô trợ giảng trợ giúp trong nhóm facebook.
  • - Giải đáp thắc mắc liên quan dưới mỗi câu hỏi trên web.